Кураев А.А.
Попкова Т.Л.
Синицын А.К.

ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН

Допущено Министерством образования Республики
Беларусь в качестве учебного пособия для студентов
Специальностей «Радиотехника» и «Радиотехнические
системы» учреждений, обеспечивающих
получение высшего образования

Минск
«Бестпринт»
2004

УДК 537.87
ББК 32.86-01
К98
Рецензенты:
Кафедра радиофизики БГУ.
Воропаев Ю.П. доктор технических наук,
профессор Военной Академии Р.Б.

К93

Кураев А.А.
Электродинамика и распространение радиоволн / А.А. Кураев,
Т. Л. Попкова, А. К. Синицын. –Мн.: Бестпринт. 2004-357с.
ISBN 985-6722-89-6

Излагаются основы теории электромагнетизма. Рассматриваются процессы излучения, отражения и преломления волн, дифракция, распространение волн в волноводах различной конфигурации, включая нерегулярные
структуры, в тропосфере и ионосфере, электромагнитные колебания в резонаторах, процессы в интегральных схемах СВЧ. Излагается теория возбуждения регулярных и нерегулярных волноводов и резонаторов с учетом потерь
в стенках. Описываются в виде законов сохранения особенности взаимодействия заряженных частиц с полями, имеющими пространственно-временную
симметрию. Обсуждаются машинно-ориентированные методы оптимизации
и синтеза электродинамических систем.
Книга предназначена для студентов, магистрантов и аспирантов радиотехнических специальностей.

ISBN 985-6722-89-6

УДК 537.87
ББК 32.86-01

2

ПРЕДИСЛОВИЕ
В последнее десятилетие существенно расширилась область использования электромагнитных волн сверхвысоких частот (СВЧ) и крайне высоких
частот (КВЧ). Наряду с традиционными направлениями применения волн
СВЧ и КВЧ диапазонов – наземные и космические телекоммуникационные
системы, радиолокация, телеметрия, радионавигация, телевидение, появились новые области: медицина (диагностика и терапия), промышленность и
сельское хозяйство (системы СВЧ обработки и синтеза материалов, продуктов и т.д.), информатика (тактовые частоты процессоров достигли СВЧ и
КВЧ диапазонов), термоядерный синтез (нагрев термоядерной плазмы в КВЧ
диапазоне), системы ПРО и ПВО нового поколения. Одновременно расширился круг электродинамических задач и методов их решения. Возникли задачи синтеза конфигураций (профилей) электродинамических систем, что
потребовало создания теории произвольно-нерегулярных электродинамических систем с некоординатными границами, развития адекватных методов
решения соответствующих граничных задач электродинамики. Повысились
требования к точности и сходимости методов. Оказалось, что некоторые традиционно входящие в учебники решения не вполне корректны и соответствующие разделы должны быть заменены и изложены на основе современных
достижений электродинамики (в частности, теория возбуждения электродинамических систем с омическими потерями). Кроме того, в истекшее десятилетие приобрели важное значение вычислительные методы, опирающиеся на
использование современных ЭВМ. Применение вычислительного эксперимента, методов оптимизации лежит в основе современных разработок и проектирования радиоэлектронной аппаратуры СВЧ и КВЧ. В этой связи немаловажное значение приобретают математические модели систем и устройств
СВЧ – их точность и адекватность, удобная для применения вычислительных
методов форма становятся необходимыми критериями их оценки. Методы
решения краевых задач электродинамики также должны быть машинноориентированными.
Между тем, за последнее десятилетие учебная литература по электродинамике и распространению радиоволн не издавалась и все перечисленные
достижения в этой области, новые направления, а также и определенная переориентация приоритетов остались вне доступной для студентов литературе. Предлагаемое читателю учебное пособие восполняет в определенной степени сложившийся информационный дефицит в указанной области.
Учебное пособие «Электродинамика и распространение радиоволн»
соответствует типовой программе одноименного курса, утвержденной Министерством образования Республики Беларусь 24 июня 2001г. (регистрационный № ТД-164/тип).
Учебное пособие написано на основе лекций по курсам «Электродинамика и распространение радиоволн», «Электромагнитные поля и волны»,

3

«Основы информационных технологий», читаемых авторами в течение ряда
лет студентам БГУИР, и предназначено для широкого ряда специальностей:
39.01.01 «Радиотехника», 39.01.03 «Радиоинформатика», 31.04.02 «Радиофизика», 39.01.02 «Радиоэлектронные системы», 95.02.31 «Телекоммуникационные системы», 36.04.01 «Электронно-оптическое аппаратостроение»,
36.04.02 «Промышленная электроника», 02.05.01 «Математика», 02.05.03
«Математика. Физика», 31.03.03 «Прикладная математика», 02.05.02 «Физика», 02.05.04 «Физика. Дополнительные специальности», 38.01.03 «Электронные приборы», 53.01.02 «Автоматизированные системы обработки информации».
Авторы придерживались концепции максимально возможного баланса
двух сторон описания электромагнитных явлений – математического и физического. Необходимость первого очевидна: задачи электродинамики составляют неотъемлемую часть математической физики и являются фундаментом
расчета и проектирования систем и устройств СВЧ. Физическое же описание
электромагнитных явлений формирует специфическое «электродинамическое мышление», определяющее творческий подход в решении исследовательских и инженерных задач в области радиоэлектроники и радиоинформатики СВЧ и КВЧ. Для улучшения восприятия физической картины электромагнитных полей и волн в книге принято их описание с помощью потенциалов Герца, которые, после определенных доказательств, позволяют изобразить геометрическую структуру волн целиком, без покомпонентного синтеза.
В книге проведена градация материала по сложности: специальные
главы, содержащие более сложный материал и громоздкие выкладки, помечены звездочкой. Эти главы необходимы для углубленного изучения материала студентами и аспирантами, ведущими научные исследования в области
электромагнитной теории и техники СВЧ и КВЧ. Это также должно помочь
преподавателям оптимальным образом формировать свои курсы лекций. Некоторые второстепенные вопросы, подробно представленные в старой литературе, изложены конспективно. В списке литературы наряду с традиционными учебниками даны специальные монографии, а также прекрасные труды
основоположников электродинамики сороковых-пятидесятых лет прошлого
века. Они дают хороший материал для организации на высоком уровне самостоятельной работы студентов.
Авторы выражают благодарность профессору кафедры радиотехники
Военной академии Республики Беларусь, доктору технических наук Воропаеву Юрию Павловичу и коллективу кафедры радиофизики Белорусского
государственного университета за полезные замечания, которые были учтены при доработке текста рукописи учебного пособия.
А.А. Кураев, Т.Л. Попкова, А.К. Синицын

4

ЧАСТЬ 1
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
ГЛАВА I
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
Под электромагнитным полем (ЭМП) следует понимать среду, пространственно-временное состояние которой полностью определяется (задается) четырьмя векторами:
r
⎡B⎤
E (х,y,z,t) – вектор напряженности электрического поля ⎢ ⎥ .
⎣ м⎦
r
⎡K ⎤
D (x,y,z,t) – вектор электрического смещения ⎢ 2 ⎥ .
⎣м ⎦
r
Bб
B (x,y,z,t) – вектор индукции магнитного поля ⎡⎢ 2 ⎤⎥ .
⎣м ⎦

r
⎡ A⎤
H (x,y,z,t) – вектор напряженности магнитного поля ⎢ ⎥ .
⎣ м⎦
Будем рассматривать ЭМП в объеме V с граничной поверхностью S, на
которой происходит скачок свойств среды.
Во всех внутренних точках V, т.е. точках, не принадлежащих S, векторы поля непрерывны вместе с первой и второй производными по координатам, а также конечны. Эти векторы удовлетворяют четырем уравнениям Максвелла (УМ):

r
r r ∂D
1) rot H = δ +
;
∂t

r
r
∂B
2) rot E = −
;
∂t

r
3) div D = ρ ;

r
4) div B = 0 ;

(1.1)

r
⎡ A⎤
Здесь δ - вектор плотности электрического тока ⎢ 2 ⎥ ,
⎣м ⎦
⎡K ⎤
ρ - объемная плотность электрического заряда ⎢ 3 ⎥ .
⎣м ⎦
УМ являются фундаментальными законами для ЭМП в макроскопическом приближении, и в настоящее время не существует более общих законов,
следствиями которых они бы являлись.
Теория Максвелла содержит ряд постулатов, не следующих из какихлибо опытов, но ее предсказания привели к открытию ЭМП и до сих пор нет
опытов или приборов, опровергающих теорию Максвелла.

5

1.1. Интегральная формулировка УМ
Первое УМ – обобщение закона Ампера, в соответствии с которым
r r
rot H = δ .
В первом же УМ

r
r r ∂D
rot H = δ +
,
∂t
r
∂D
дополнительный член справа
именуется плотностью тока смещения.
∂t
Для перехода к интегральной форме записи первого УМ воспользуемся
теоремой Стокса для некоторой поверхности S, опирающейся на контур l .
Проинтегрируем обе части уравнения по S:
r
r r
r r
∂D r
∫S rot HdS = ∫S δ dS + ∫S ∂ t dS .

Применяя к левой части теорему Стокса, получим
r r
H
∫ dl = I + I см ,

(1.2)

l

r r
где I – электрический ток через поверхность S, I = ∫ δ dS ,
S

r
∂D r
Iсм – ток смещения через эту же поверхность, I см = ∫
dS .
S ∂t
Второе УМ – обобщение закона электромагнитной индукции в том
смысле, что имеется в виду справедливость этого закона для любого (не обязательно проводящего) контура l и любой среды. Интегральная форма этого
уравнения получается из дифференциальной тем же путем, что и первое
уравнение. В результате
применения теоремы Стокса в левой части получаем
r
r r
∂B r
d r r
d
E
d
l
=
−
=
−
d
S
(1.3)
∫
∫
∫ BdS = − Ф м ,
dt s
dt
l
s ∂t
где Фм – магнитный поток через поверхность S. Полная производная в
правой части подразумевает, что S может зависеть от t (меняется во времени).
Третье уравнение Максвелла является обобщением уравнения ГауссаКулона на случай произвольной среды. Применяя интегрирование по V с
границей S к обеим частям уравнения и используя теорему ОстроградскогоГаусса к левой части, получим
6

r r
D
∫ dS = ∫ ρ dV = q ,

S

(1.4)

V

q – полный заряд, содержащийся внутри S.

Четвертое уравнение Максвелла утверждает отсутствие магнитных зарядов и одновременно постулирует его справедливость для любой среды. Те
же действия, как и в предыдущем случае, дают интегральную форму этого
уравнения:

r r
B
∫ dS = 0.
s

(1.5)
1.2.Закон сохранения заряда.
Уравнение непрерывности

Центральным постулатом теории Максвелла является закон сохранения
заряда. Полагается, что сумма электрических зарядов (положительных и отрицательных) в мировом пространстве постоянна.
Заряды не возникают и не исчезают (т.е. могут возникать или исчезать
одновременно равные количества положительных и отрицательных зарядов,
например, при ионизации, рекомбинации, аннигиляции и т.д.). Причиной изменения величины заряда в данном объеме V является перемещение зарядов,
т.е. электрический ток через ограничивающую этот объем поверхность S.
Иначе говоря, можно утверждать для V с границей S:

dq
= −I.
dt

(1.6)

r
Распишем q и I через удельные величины ρ , δ :
r r
q = ∫ ρ dV , I = ∫ δ dS .
V
s
r r
d
Тогда ∫ δ dS = − ∫ ρ dV .
dt v
s
Применим в левой части теорему Остроградского-Гаусса и положим,
что V не изменяется во времени, т.е. V≠V(t). При этом получим
r ∂ρ ⎞
⎛
div
δ
+
⎜
⎟dV = 0.
∫⎝
∂
t
⎠
V

7

Поскольку V произволен, последнее равенство возможно только при
выполнении условия

r
∂ρ
divδ = − .
∂t

(1.7)

Последнее условие называется уравнением непрерывности и является
выражением закона сохранения заряда.
1.3. Физическое содержание первого УМ
Рассмотрим вначале закон Ампера, установленный для стационарных
токов:

r r
rot H = δ .

(1.8)

Применяя
к обеим частям уравнения (1.8) операцию div и учитывая,
r
что div rot H = 0 , получаем

r
div δ = 0.
Для стационарных процессов, когда накопления зарядов нет и

∂ρ
= 0,
∂t

этот результат не противоречит уравнению непрерывности.
Ситуация, однако, меняется в электромагнитных процессах, когда заве∂ρ
домо
≠ 0 и закон Ампера противоречит уравнению непрерывности.
∂t
Теперь проделаем ту же операцию с первым УМ. Тогда получим

r
⎛ r ∂D ⎞
⎟⎟ = 0.
div⎜⎜ δ +
t
∂
⎝
⎠

(1.9)

Считая систему отсчета неподвижной, во втором члене уравнения (1.9)
∂
и div :
поменяем местами операции
∂t

r
r
∂
div δ = − div D.
∂t

8

r
Но в соответствии с третьим УМ div D = ρ . Поэтому получаем
r
∂ρ
- уравнение непрерывности.
div δ = −
∂t
Таким образом, смысл введенной Максвеллом плотности тока смещения, дополняющей в законе Ампера плотность электрического тока, становится понятным: эта величина необходимо возникает, если принять закон сохранения заряда.
С физической точки зрения существование этой величины приводит к
возможности существования ЭМП. Действительно, теперь наряду с электроr
r
⎛
∂B ⎞
магнитной индукцией ⎜⎜ rot E = − ⎟⎟ имеет место симметричное явление
∂t ⎠
⎝
r
r
r ∂D
⎛
⎞
Взаимовоз, при δ = 0 ⎟⎟ .
магнитоэлектрической индукции ⎜⎜ rot H =
t
∂
⎝
⎠
буждение переменных электрического и магнитного полей и образует электромагнитный процесс ЭМП.
Физическое содержание второго, третьего и четвертого уравнений
Максвелла указывалось выше и не требует дополнительных пояснений.
Вернемся к формальной стороне системы УМ – ее полноты.
r
⎛ ∂D r ⎞
+ δ ⎟⎟ = 0.
Применим к первому УМ операцию div . Получим div⎜⎜
∂
t
⎝
⎠
Меняем порядок дифференцирования в первом члене и используем уравнение непрерывности. Тогда получим

(

)

r
∂
div D − ρ = 0.
∂t
∂
≠ 0 (чисто переменные во времени процессы), то мы получаем
∂t r
третье УМ: div D = ρ . Таким образом, для чисто переменных процессов
третье УМ не независимое, т.к. является следствием первого УМ. Точно так
∂
же можно доказать, что при
≠ 0 четвертое УМ следует из второго.
∂t
∂
Таким образом, при
≠ 0 независимы только первые два УМ, а неиз∂t
r
r r r r r
∂ρ
вестных, входящих в них, - пять: E , H , D, B, δ (учитывая, что
= − div δ ).
r
r r ∂t r
Для пустоты (вакуума), однако, имеют место связи D = ε 0 E , B = µ 0 H
( ε 0 , µ 0 - соответственно, диэлектрическая и магнитная проницаемости пусr
тоты), а ток проводимости δ = 0 (электронные конвенционные токи удобно
Если

9

рассматривать как сторонние по отношению к данному полю). Эта ситуация
наводит на мысль, что в любой среде должны быть связи типа
r r r r r r r r r
(1.10)
D = D E , B = B H ,δ =δ E .
Таким образом, УМ следует дополнить уравнениями связи, определяемыми
свойствами среды и называемыми материальными уравнениями.

( )

( )

( )

1.4. Материальные уравнения

r r
В общем случае зависимости D = D
линейный характер.
r
Рассмотрим векторную функцию D

r

r

r r

r r

(E ) и разложим ее в ряд Маклорена:
r

r
r
r r
r
∂D r 1 r T ∂ 2 D r
D E = D(0 ) + r 0 E + E
r 0 E + ...
2
∂E
∂E 2

( )

(1.11)

Здесь
r
⎛E ⎞
r ⎜ x⎟
rT
∂D ⎛ ∂D j
E = ⎜ E y ⎟ = (Ei ), E = E x , E y , E z , r = ⎜⎜
∂E ⎝ ∂Ei
⎜E ⎟
⎝ z⎠

(

r

(E ), B = B(H ), δ = δ (E ) имеют не-

)

r
⎞ ∂ 2 D ⎛ ∂ 2 Di
⎟⎟,
r 2 = ⎜⎜
⎠ ∂E
⎝ ∂E j ∂Ek

⎞
⎟.
⎟
⎠

В rслучаях, когда нет сторонних по отношению к данному полю других
полей, D(0 ) = 0.
Рассмотрим линейный случай, когда квадратичным и высшими членами разложения можно пренебречь:

r
r r ∂D r
D E = r 0 E.
∂E

( )

Или в подробной записи
⎛ ∂Dx ∂Dx ∂Dx
⎜
∂E y ∂E z
⎜ ∂E
⎛ Dx ⎞ ⎜ x
∂D y ∂D y ∂D y
⎜ ⎟
⎜ Dy ⎟ = ⎜
⎜ D ⎟ ⎜ ∂E x ∂E y ∂E z
⎝ z ⎠ ⎜ ∂D
∂Dz ∂Dz
z
⎜⎜
⎝ ∂E x ∂E y ∂E z

(1.12)

⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟⎟
⎠

⎛ Ex ⎞
⎜ ⎟
⎜ Ey ⎟
⎜E ⎟
⎝ z⎠

Обозначим

ε xx =

∂Dx
∂Dx
∂Dx
, ε xy =
, ε xz =
,..., ε
∂E x
∂E y
∂E z

zz =

∂Dz
.
∂E z

(1.13)

10

Введем тензор

⎛ε
⎜
ε a = ⎜ε
⎜ε
⎝
t

xx
yx
zx

ε xy
ε yy
ε zy

ε
ε
ε

⎞
⎟
yz ⎟ .
⎟
zz ⎠

xz

(1.14)

t
Здесь индекс «а» означает абсолютное (полное) значение величины ε a ,
а не относительное (по отношению к ε0) значение, которое мы в дальнейшем
будем записывать без индекса.
t
Используя тензор диэлектрической проницаемости ε a , уравнение для
линейных сред можно записать в форме
r t r
D = εaE .

(1.15)

t
Аналогичным образом вводятся тензоры магнитной проницаемости µ a
t
и удельной проводимости σ .
Соответственно
r t r r t r
B = µ a H , δ = σ E.
(1.16)
Среда называется изотропной, если εij=0, при условии
i ≠ j , ε ii = ε a , µ ij = 0 при i ≠ j , µ ii = µ a и σ ij = 0 при i ≠ j , σ ii = σ .
(1.17)
r r r r r s
Тогда D E , B H , δ E и материальные уравнения имеют вид

r
r r
r
r r
(1.18)
D = ε a E , B = µ a H , δ = σE .
t t t
Среда называется однородной, если ε a , µ a , σ не зависят от координат
в рассматриваемом объеме V. В противном случае
t
t
t
ε a ( x, y, z ), µ a ( x, y, z ), σ ( x, y, z ) и среда – неоднородная.
Обычно рассматриваются случаи, когда элементы среды мгновенно
реагируют на ЭМП, и поэтому обычно ε a , µ a , σ ≠ f (t ) .
Однако важны и противоположные ситуации, которые мы далее отдельно рассмотрим.
Дополним изложенное некоторыми элементарными физическими представлениями.
Как
выше, в вакууме имеют место связи
r
r указывалось
r
r
D = ε 0 E, B = µ0 H .
Во всех других средах имеются связанные (или свободные) заряды, а
также элементарные замкнутые токи, образующие
магнитные диполи. Под
r
действием внешнего электрического поля E происходит смещение связан11

ных зарядов или переориентация электрических диполей элементарных частиц, что приводит к поляризации
в среде, которая характеризуется вектором
r
поляризации среды
r P , который в общем случае (наличие внутренних
r полей)
не коллинеарен E . Точно также под действием магнитного поля H возникает преимущественная ориентация магнитных диполей, т.е. происходит
наr
магничивание среды, характеризуемое вектором намагничивания J . По опr
⎛
⎞ r
r
ределению p = liт ⎜ ∑ Pi ∆V ⎟ , Pi − элементарные электрические момен∆V →0 ⎝ i∈∆V
⎠
r
ты в объеме ∆V , т.е. p - удельный электрический момент в среде, инициr
r r r
руемый внешним полем E . Поэтому разумно предположить, что p = p (E ) и
r
r t r
в линейном приближении p = ℵэ E , где ℵ э - тензор диэлектрической восприимчивости вещества.
r
r
r
⎛
⎞
Аналогично J = liт ⎜ ∑ M i ∆V ⎟ , M i - элементарные магнитные
∆V →0 ⎝ i∈∆V
r t r t ⎠
моменты в объеме ∆V и J = ℵ м H , ℵ м - тензор магнитной восприимчивости вещества.
Таким образом, в отличие от пустоты (вакуума) в среде имеют место
связи

t r t r
r
r r
D = ε 0 E + p = ε 0 + ℵэ E = ε a E ,
r
r r
t r t r
B = µ0 H + J = µ0 + ℵм H = µ a H .

(

)

(

(1.19)

)

Однако существует класс сред, называемых киральными (хиральными,
чиральными
в которых имеют место более общие связи типа
r r r r –r chiral),
r
D E , H , B H , E . Такие среды могут быть естественными (например, биологические – их особые оптические свойства открыты Пастером еще в 1848
г.) или искусственными – композитными. На примере последних проиллюстрируем свойства киральных сред. Пусть в изотропном диэлектрическом наполнителе равномерно расположены упорядоченно (бианизатропная среда)
или стохастически (биизотропная среда) медные спиральки с размерами, зна-

(

) (

)

a)

б)
Рис. 1.1

чительно меньшими рабочей длины волны – рис.1.1. а, б.

12

a)

б)
Рис. 1.2

в)

Механизм образования
киральной поляризации под действием внешнеr
r
го магнитного поля H иллюстрирует рис.1.2. Переменное магнитное поле H
(рис. 1.2а) индуцирует в соответствии законом электромагнитной индукции
Фарадея ЭДС Эi в каждом из витков спиральки (рис. 1.2б).
r В результате
вдоль длины спиральки образуется электрическое поле Ei , которое эквивалентно полю электрического диполя (рис. 1.2б). Таким образом, за счет магr r
r
нитного поля H образуется элементарный диполь Pi H . В результате воз-

( )

никает киральная составляющая вектора поляризованности среды

r r
⎛
r r
pk H = liт ⎜ ∑ Pi H
∆V →0 ⎝ i∈∆V

( )

( )

⎞
∆V ⎟ .
⎠

(1.20)

намагниченНа рис.1.3. иллюстрируется процесс возникновения киральной
r
ности. За счет действия внешнего электрического поля E (рис. 1.3а) в проводящей спиральке возникают токи iϕ (рис. 1.3б), образующие вокруг спиральr
ки магнитное поле H i , аналогичное полю магнитного диполя (рис. 1.3в). В
r
результате возникает магнитный момент М i (рис. 1.3г). Следствием этого
является образование киральной намагниченности
r r
r r
⎛
⎞
J k E = liт ⎜ ∑ M i E ∆V ⎟ .
(1.21)
∆V →0 ⎝ i∈∆V
⎠
Таким образом, в киральных средах следует записывать материальные уравнения в виде

( )

( )

a)

б)

в)

г)

Рис. 1.3

13

(
(

)
)

( ) ( )
( ) ( )

r r r
r r r
r r
D E , H = ε 0 E + P E + Pk H ,
r r r
r r r
r r
B H , E = µ0 H + J H + J k E .

(1.22)

Уравнения Друде-Борна-Федорова дают эти связи в случае биизотропных сред (изотропных киральных сред) в виде

r
r
r
D = ε a E + β ε a rot E ,
r
r
r
B = µ a H + β µ a rot H ,

(1.23)

где β - коэффицент киральности.
Резко возросший в последнее время интерес к киральным средам связан, с одной стороны, с биологическими исследованиями влияния СВЧ излучений и, с другой стороны, с военными технологиями в связи с созданием
«невидимых» бомбардировщиков типа «Стелс», Б-2.

14

ГЛАВА II
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ВЕКТОРОВ ЭМП
Во многих задачах электродинамики вводятся границы раздела двух
сред, обладающих различными электрическими и магнитными свойствами,
т.е. ε a , µ a , σ для двух сред различны (достаточно, конечно, различия и одного из параметров).
В связи с тем, что свойства среды меняются скачкообразно в макроскопическом приближении, вектора ЭМП терпят разрыв на границе раздела двух
сред. Это означает, что дифференциальные соотношения на границе теряют
смысл. Поэтому здесь в дополнение к УМ вводятся граничные условия (ГУ),
связывающие тангенциальные (касательные) и нормальные составляющие
векторов поля на обеих сторонах границы.
Эти ГУ устанавливаются с помощью уравнений Максвелла в интегральной форме.

2.1. ГУ для тангенциальных составляющих векторов ЭМП
Граничные условия для тангециальных
составляющих электрического поля
Рассмотрим границу раздела двух сред (рис. 2.1.)

Рис. 2.1.

Рис. 2.2.

Выделим элементарный плоский прямоугольный участок вблизи границы, отвечающий следующим трем условиям:
1) границу в его пределах можно считать плоской;
2) среды 1 и 2 в пределах этого участка однородны;
3) поля в пределах этого участка не изменяются.
Введем систему векторов, определяющих ориентацию плоскости участка и направление обхода его границы (рис. 2.2):
r
1) n - вектор нормали к S, направление и антинаправление вертикальных перемещений по контуру участка;

15

r
2) τ - тангенциальный к S вектор, направление и антинаправление
горизонтальных
перемещений по контуру участка;
r
участка.
3) N - вектор бинормали, направление вектор-площади
r r
r
Три вектора образуют правую тройку: τ = N , n .
Запишем второе УМ в интегральной форме:

[

]

r
r r
∂B r
∫ Ed l = − ∫ ∂t dSN .
l
s
Применим его к выделенному элементарному участку, используя его
свойства:

r
2 ∂B
r
r
r r
∆lτ E1 − E2 + ∆ hE = − ∑ i h∆lN ,
i =1 ∂t

(

)

(2.1)

r
∆ hE - элемент циркуляции E по вертикальным участкам контура.
Перейдем
к пределу h → 0. Учтем при этом, что на границе
r
r
∂B
E1, 2 →
→
/ ∞,
/ ∞, и поэтому правая часть уравнения и ∆ hE обращаются в
∂t
нуль. В итоге получаем

τ (E1 − E 2 ) = 0 или Е1τ − Е 2τ = 0 ,
r r

r

(2.2)

r
т.е. тангециальные составляющие E непрерывны при переходе границы раздела любых двух сред. Физически это связано с тем, что поверхностных магнитных токов не существует.
Придадим общность полученному реr r
r
зультату. Учтем, что τ = N , n . Тогда

[

]

(E1 − E2 )[ N , nr ] = [ nr, (E1 − E2 )]N = 0.
r

r

r

r

s

r

r
Наши результаты справедливы
для
любой
ориентации
N
площадки.
r
Ввиду произвольности N получаем:

[ nr, (Er1 − Er 2 ) ] s = 0.

(2.3)

Граничные условия для тангециальных
составляющих напряженности магнитного поля
Запишем первое УМ в интегральной форме:

16

r
r
r r
r
r
∂D
Hd
δ
dSN
dSN
.
l
=
+
∫
∫
∫ ∂t
l
s
s
Применим это уравнение к ранее рассмотренному элементарному участку, используя его три свойства:
r
2 ∂D
r
r 2 r
r
r r
∆lτ H1 − H 2 + ∆ hH = ∑ i h∆lN + ∑ δ i ∆lhN .
i =1 ∂t
i =1

(

)

(2.4)

r
r
∂Di
Перейдем к пределу h → 0. При этом H 1,2 →
→
/ ∞ на S.
/ ∞,
∂t
Но для тока такое утверждение неверно, поскольку при определенной
идеализации ток может протекать по поверхности, не занимая объем (поверхностный ток).
Такая ситуация возникает в случае, когда одна из сред предполагается
идеально проводящей. Введем понятие поверхностного тока:
r

r⎡ A ⎤

δ S = liт hδ ⎢ ⎥ .
⎣M ⎦
h →0

(2.5)

С учетом сказанного в пределе h → 0 получаем

r r

r

τ (H 1 − H 2 ) = δ S N , или H 1τ − H 2τ = δ SN ,
r r

r

(2.6)

r
т.е. разрыв тангенциальных составляющих H равен поверхностному
электрическому току.
Проведем обобщение:

[Nr , nr ](Hr 1 − Hr 2 ) = [nr, (Hr 1 − Hr 2 )] Nr = δ S Nr .
r

r
В связи с произвольной ориентацией N имеем

[nr, (Hr 1 − Hr 2 )] = δ S .
r

(2.7)

Физически этот разрыв обусловлен возникновением двойного магнитного слоя на поверхности, где протекает поверхностный ток.

2.2. ГУ для нормальных составляющих векторов ЭМП
r
ГУ для нормальных составляющих векторов D

17

Рассмотрим цилиндрический
объем ∆V с основанием ∆S и высотами h
в 1 и 2 средах (Рис.2.3).
Объем будем считать
элементарным со следующими
признаками:
1) в пределах ∆V - ∆S – плоская;
2) в пределах ∆V среды 1 и 2
однородные;
3) в пределах ∆V поля в средах 1 и
2 не изменяются

Рис. 2.3.

Запишем третье УМ в интегральной
форме:

r r
D
∫ dSn = q =

S

∫ ρ dV .

∆V

Поскольку существуют поверхностные заряды, введем понятие о плотности поверностного заряда:

⎡K ⎤
.
2
⎣ м ⎥⎦

ρ S = liт hρ ⎢
h →0

(2.8)

Перепишем третье УМ, учитывая все признаки элементарности ∆V:

(

)

2
r
r
r
е
n 0 ∆S D1 − D2 + Фбок = ∑ ρ i ∆Sh,

(2.9)

i =1

е
Фбок
- электрический поток через боковую поверхность цилиндра.
r
Перейдем теперь к пределу h → 0 , учитывая, что D1, 2 →
/ ∞ и поэтому
е
Фбок
→ 0 . При этом получим
r
r r
n0 D1 − D2 = ρ S ,
(2.10)
r
т.е. разрыв нормальных составляющих D равен поверхностной плотности
электрического заряда на граничной поверхности.
Если ρ S = 0, то D1п = D2 n или ε a1 E1n = ε a 2 E2 n и имеет место разрыв
r
нормальных составляющих вектора E :

(

E1n ε a 2
=
.
E2 n ε a1

)

(2.11)

18

Аналогичные действия с третьим УМ приводят к следующему результату для H n :
H1n µ a 2
=
.
(2.12)
H 2 n µ a1
Важным частным случаем является тот, когда среда 2 идеализируется
как бесконечно проводящая. В этом случае на любой частоте поле в эту среду
не проникает. Тогда полученная система ГУ преобразуется в следующую:

[nr, Er ]S = 0, [nr, Hr ]S = δ S , D1n = ρ S , H1n S = 0 .
r

(2.13)

В этом случае достаточно двух условий:

Eτ

S

= 0, Н n

S

= 0.

(2.14)

В заключение необходимо отметить, что ГУ, сформулированные выше,
относятся к простейшему случаю: граница S гладкая (т.е. не имеет изломов),
а среды 1 и 2 – изотропные. В общем случае следует обратиться к специальной литературе, например:
Вайнштейн Л.А., Журав С.М., Суков А.И., К расчету омических потерь
на краях тонких металлических полосок. Докл. АН СССР, 1986, т.289, N6, с.
1338-1342. Курушин Е.П., Нефедов Е.И. Электродинамика анизотропных
волноведущих структур. М.: Наука, 1983. – 223 с.

19

ГЛАВА III
ЭНЕРГИЯ ЭМП
3.1. Удельная мощность сторонних источников в ЭМП
Мощность сторонних источников
ЭМП, как один из видов материи, является носителем энергии. Электромагнитная энергия может преобразовываться в любой другой вид энергии: механическую (ускорение зарядов), тепловую, химическую, внутреннюю энергию кристалла, молекулы, атома и т.д. И, наоборот, все перечисленные виды энергии могут преобразовываться в электромагнитную энергию.
rr
Рассмотрим произведение δ E и распишем его в конечных приращениях:

r
rr
∆A
r
r r ∆q ∆ l r
δ E = ρ υE ≡
E=
= рП .
∆V ∆t
∆t∆V

(3.1)

Здесь ∆А – работа силы поля в объеме ∆V за время ∆t, рП – удельная
мощность потерь (в пределе ∆V → 0 ).
r
r
Рассмотрим джоулевы потери: δ = σ E . Тогда

rr
p Пσ = σ EE = σ E 2 .

(3.2)

r
Однако плотность тока δ может создаваться не только рассматриваемым полем, но и сторонними по отношению к этому полю силами, которые
могут иметь и не электромагнитную природу (например, силы инерции движущихся электронов в электронных приборах типа «О»).
r
r
r r
Поэтому плотность тока δ можно представить в виде δ = σ E + δ ст ,
r
где δ cm характеризует действие сторонних источников. Теперь полная
удельная мощность в данном поле может быть записана как
rr
r r
p = δ E = δE 2 + δ ст Е = p Пб − p ст ,
(3.3)
где pcт - мощность сторонних источников, отдаваемая данному полю (этим
определяется знак p cт ). Таким образом, мощность сторонних источников
r r
определяется как p cт = −δ cт E .
3.2. Баланс энергии в ЭМП. Теорема Умова-Пойтинга
Вначале докажем следующее векторное тождество:

20

[

]

r r
r
r r
r
div E , H = H rot E − E rot H

⎡ ↓r r ⎤
⎡ r ↓r ⎤
r r
r r
div E , H = ∇ E , H = ∇ ⎢ E , H ⎥ + ∇ ⎢ E ,H ⎥ =
⎣⎢
⎦⎥
⎣⎢
⎦⎥

[

] [

]

r
r
r
r
r
r r
= H ⎡⎣∇, E ⎤⎦ − E ⎡⎣∇, H ⎤⎦ = Hrot E − Erot

r
H.

Здесь ∇ - вектор-оператор типа

r ∂ r ∂
r ∂
∇ = X0
+ Y0
+ Z0 ,
∂x
∂y
∂z
стрелки сверху указывают вектор, на который действует ∇.
r
−
E
),
Составим
баланс
энергии.
Для
этого
первое
УМ
умножим
на
(
r
второе на H и сложим, используя затем доказанное векторное тождество.
При этом получим

r
r
r
r r
r
r r
⎧ r ∂D r ∂B ⎫ r r
+H
Hrot E − Erot H = div E , H = − ⎨ E
⎬−δ E.
∂
∂
t
t
⎩
⎭

[

]

(3.4)

Перейдем к интегральной формулировке полученного уравнения, интегрируя левую и правую части по объему V с граничной поверхностью S и
используя в левой части теорему Остроградского-Гаусса:

r
r
r r
r r r
⎧ r ∂D r ∂B ⎫
E
,
H
dV
−
δ
H
d
S
E
+
=
−
⎬
⎨
∫
∫ ∂t
∫ EdV =
t
∂
⎭
⎩
s
V
V
r
r
⎧ r ∂D r ∂B ⎫
= −∫ ⎨E
+H
⎬dV + Pcт − PП 6 .
∂t
∂t ⎭
V⎩

[

]

(3.5)

В записанном уравнении нам известен смысл только последних двух
членов справа – это мощность сторонних источников и омических потерь в
объеме V. Для того чтобы установить физический смысл остальных членов,
рассмотрим два следующих предельных случая.
Первый случай.
Пусть имеется объем V, в котором
1) Рсm= 0,

21

2) V изолирован от rвнешнего
пространства непрозрачной S, так что на внешr r
ней стороне S ∫ E , H ndS = 0 .
s
Тогда имеем

[

PП 6

]

r
r
⎧ r ∂D r ∂B ⎫
= −∫ ⎨ E
+H
⎬dV .
∂
∂
t
t
⎩
⎭
V

Но мощность потерь в изолированном объеме V должна быть численно
dW
равна скорости убывания запасенной энергии −
. Следовательно,
dt

r
r
⎧ r ∂D r ∂B ⎫
∂W
∂w
∫ ⎨ E ∂t + H ∂t ⎬dV = dt = ∫ ∂ t dV ,
⎭
V⎩
V
где w – удельная энергия ЭМП.
Таким образом,

r
r
∂w r ∂D r ∂B ∂wЭ ∂w м
=E
+H
.
=
+
∂t
∂t
∂t
∂t
∂t

(3.6)

Положим, что ε a ≠ f ( t ) и µ a ≠ f ( t ) (диэлектрических и магнитных
потерь нет). Тогда

r
r
r ∂E ε a ∂ r r
∂wЭ r ∂ ε a E
∂ ⎛ ε E 2 ⎞⎟
(
=E
= εaE
=
.
EE ) = ⎜⎜ a
∂t
∂t
∂ t 2∂ t
∂t ⎝ 2 ⎟⎠
Таким образом, удельная энергия электрического поля из УМ определяется как

wЭ =

εаЕ2
2

.

(3.7)

Аналогичным путем находим формулу удельной энергии магнитного
поля:
wМ =

µа Н 2
2

.

(3.8)

Второй случай:
1) Pст ≠ 0 ;
22

2) процесс установился, т.е.

dW
= 0;
dt

3) PП 6 = 0 ;
4) S прозрачна для ЭМП.
В этом случае имеем
r r r
E
∫ , H dS = Pcm .
s

[

]

(3.9)

С другой стороны, поскольку в рассматриваемом случае в объеме V нет
потерь и нет накопления электромагнитной энергии, Pcm = PΣ , где PΣ мощность излучения через граничную поверхность S. Следовательно,
r
r
r r
r v
⎡
⎤
где
E
,
H
dS
P
S
dS
S
=
=
∑
0 - плотность потока энергии через S. Та∫⎣
∫ 0
⎦
s
r
r Sr
ким образом, S 0 = E , H . Эта величина называется вектором УмоваПойнтинга. Этот вектор указывает величину плотности потока энергии и направление распространения энергии ЭМП.
Возвращаясь к исходному уравнению баланса энергии ЭМП, имеем

[

]

r r
dW
S
∫ 0 dS + PП 6 + dt = Pcт .
s

(3.10)

Этот закон сохранения энергии для ЭМП носит название теоремы Умова-Пойнтинга.
В дифференциальной форме он выражается в виде

r
∂w
= p ст .
div S 0 + p П 6 +
∂t

(3.11)

Получим теперь выражение для диэлектрических и магнитных потерь,
что соответствует случаю ε a (t ) и µ a (t ) . Будем иметь в виду периодические
электромагнитные процессы с периодом Т. Рассмотрим случай, когда
r r
T
S
∫ 0 dS = 0, PП 6 = 0 , среднее за период значение W постоянно, поэтому средs
T

dW
нее значение
= 0.
dt
Таким образом имеем
p cт

r
r
⎧ r ∂D r ∂B ⎫
= ⎨E
+H
⎬.
∂
t
∂
t
⎩
⎭
23

Найдем среднее за период Т значение величин:
Т
T
r ∂B ⎫
1
1 ⎧ r ∂D
T
p
dt
=
p
=
E
dt
+
H
dt ⎬ =
⎨
ст
cm
∂ t ⎭
T ∫0
T ∫0 ⎩ ∂ t

=

r r 1
r r
1
EdD
+
HdB
= pПT ε + pПТ µ ,
∫
∫
Tl
Tl
M
э

(3.12)

где l Э - контур диэлектрического гистерезиса, l М - магнитного.
1
1
Таким образом, pПТ ε = S Э , рТП µ = S М , т.е. среднее за период Т удельТ
Т
Т

ные диэлектрические потери р Пε пропорциональны «площади» петли

r r
Т
диэлектрического гистерезиса S э = ∫ EdD , магнитные - p Пµ соответственно
lэ
r r
площади S М = ∫ HdB петли магнитного гистерезиса.
lМ

24

ГЛАВА IV
КОМПЛЕКСНЫЕ АМПЛИТУДЫ И ТЕОРЕМА
О КОМПЛЕКСНОЙ МОЩНОСТИ
4.1. УМ в комплексной форме
В большинстве случаев электродинамические задачи решаются, как и в
радиотехнике, в спектральной области и решение ищется для гармонических
процессов. Предполагается, что ЭМП имеет монохроматический характер,
т.е. частота колебаний векторов ЭМП постоянна. В этом случае используется
метод комплексных амплитуд (МКА). При этом имеется в виду

ψ =ψ m cos (ω t + ϕ ) = Reψ m e j (ω t +ϕ ) = Reψ& m e jω t = Reψ& .

(4.1)

Величина ψ& m = ψ m e jϕ называется комплексной амплитудой функции
ψ . Символ Re обозначает выделение действительной части комплексного
числа ψ& .
Аналогично можно записать в комплексной форме и векторную величину

r r
r
r
r
V = Vm cos (ω t + ϕ ) = Re V&m e jω t , V&m = Vm e jϕ .

(4.2)

Для дальнейшего анализа важны следующие свойства комплексных
представлений гармонических процессов.
r
r
1. Дифференцирование V& (t ) по времени t равносильно умножению V&
на jω :

r
r
∂V&
= jω V& .
∂t

(4.3)

r
r
2. Интегрирование V& (t ) по t равносильно делению V на jω :
r
r&
V&
∫ Vdt = jω .

(4.4)

3. Справедливо следующее соотношение:

25

(

)

( )

r
r
r r
r r
T
1
1
V1 (ω t )V2 (ω t ) = Re V&1 V&2* = Re V&1*V&2 ,
2
2
(4.5)
T
2π
T=
, знак
означает усреднение по t в интервале t ∈[0, T ].

ω

В дальнейшем будем пользоваться комплексными векторами
r& r& r& r&
E , D, H , B .
Обратимся к вычислению диэлектрических и магнитных потерь в комплексной форме.
Диэлектрические потери

r
r
В этом случае вектор D запаздывает относительно E на угол диэлектрических потерь ∆Е:

r r
D& Dm − j∆ E
ε&1a = r& = r e
= ε '1a − jε "1a .
E
E
m

(4.6)

Индекс «1» здесь поставлен затем, чтобы выделить диэлектрические потери
из общих электрических потерь, куда входят и джоулевы.
Магнитные потери

r
r
В этом случае вектор B запаздывает относительно H на угол магнитных потерь ∆Н:
r
r
B& Bm − j∆ H
µ& a = r& = r e
= µ ' a − j µ "a .
H
H
m

(4.7)

Таким образом, в комплексной форме УМ сводятся к первым двум и
записываются в следующей форме:

r
r r
⎧⎪rot H& = jωε& E& + δ& ,
1a
⎨
r&
r
⎪⎩rot E = − jω µ& a H& .

(4.8)

r&
r r&
Преобразуем первое УМ с учетом того, что δ = σ E& + δ ст :
r
σ ⎞ r r&
⎛
rot H& = jω ⎜ ε&1a − j ⎟ E& + δ ст .
ω⎠
⎝

26

Обозначим

σ⎞
σ⎞
⎛
⎛&
⎜ ε 1a − j ⎟ = ε&a = ε ' a − jε " a = ε '1a − j ⎜ ε "1a + ⎟,
ω⎠
ω⎠
⎝
⎝
ε ' a = ε '1a , ε " a = ε "1a +

σ
.
ω

С учетом этого обозначения УМ в комплексной форме приобретают
вид

r
r r
⎧⎪rot H& = jωε& E& + δ& ,
a
cm
⎨
r&
r&
⎪⎩rot E = − jω µ& a H .

(4.9)

4.2. Теорема о комплексной мощности
Составим баланс энергии в комплексной форме. Для этого умножим
r
r
первое комплексно сопряженное УМ на − E& , второе – на H& * и сложим. В

( )

результате получим

[ ]

{

}

r& r& *
r& r& *
2
* 2
&
div E, H = − jω µ& a H m − ε a Em − Eδ cm =

{

} {

}

r& * r&
= − jω µ 'a H m2 − ε 'a Em2 − ω µ "a H m2 + ε "a Em2 − δ cm
E.

(4.10)

Определим среднее за период Т величины:

[

]

[

]

r& r&
r T 1
r r
1 r r
S 0 = Re E& , H& * = Re S 0 , S 0 = E& , H& * ,
2
2

r& r& *
⎛
&
1
ε
E
E ⎞
ε a′ Em2
Т
a
wэ =
Re ⎜
,
⎟=
⎜ 2 ⎟
2
4
⎝
⎠
(4.11)

r& r& ∗
⎛
&
1
µ
H
H ⎞ µ 'a H m2
wMT =
Re ⎜ a
,
⎟=
⎜
⎟
2
2
4
⎝
⎠

1
T
pcm
Re
=
2
pПТ =

1
ω
2

(

)

r& r&
−δ * E = Re P&cm ,

{µ "

a

r& r&
Eδ *
pcm = −
= pa + jpr ,
2

H m2 + ε "a Em2 } .

27

Учитывая перечисленное, баланс энергии в дифференциальной форме
можно записать в виде
r&
div S0 + рПТ + 2 jω {wMT − wэТ } = pcm .
В интегральной форме баланс энергии имеет вид

{

}

T
r& r
T
T
S
d
S
+
P
+ 2 jω W M − W э = Pcm .
∫ 0
s

Разделяя действительную и мнимую части уравнения, получаем теорему об активной мощности :

r& r
T
Re ∫ S 0 dS + P П = Pa ,
s
и теорему о реактивной мощности :

{

}

r& r
T
T
Jm ∫ S 0 dS + 2ω W M − W э = Pr .
s
Теорему об активной мощности можно более подробно записать так :

{

}

r r ω
Re ∫ S&dS + ∫ µ " a H m2 + ε " a E m2 dV = Pa .
2V
s

(4.12)

Смысл теоремы об активной мощности : активная мощность Ра , развиваемая в объеме V, расходуется на потери в V и активную мощность излучения через граничную поверхность S.
Для выяснения смысла теоремы о реактивной мощности рассмотрим
случай, когда поток реактивной мощности через граничную поверхность S
отсутствует. Тогда

{

T

T

}

2ω W M − W э = Pr
Если частота источника ω соответствует одной из резонансных частот
T

Т

объема V − ω oi , W M = W э и реактивная мощность Рr=0.
T

T

При ω < ω oi W M > W э и нужен сторонний накопитель электрической
энергии, которым становится источник питания данного объема (причем обмен энергии происходит дважды за период). Таким образом, реактивная
мощность Рr количественно описывает колебания энергии между источником
и нагрузкой при ω ≠ ω oi .
28

ГЛАВА V
ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ И ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ
ПОТЕНЦИАЛЫ
5.1. Волновые уравнения
Запишем четыре УМ в действительной форме, полагая
ε a , µ a , σ = Const . Последнее означает, что среда однородна, а диэлектрических и магнитных потерь нет, есть только джоулевы потери. Систему отсчета
будем считать неподвижной.
r
∂D r
rot H =
+δ ,
∂t

(5.1)

r
r
∂B
,
rot E = −
∂t

(5.2)

r
div D = ρ ,

(5.3)

r
div B = 0 .

(5.4)

Применим к обеим частям уравнения (5.2) операцию rot:

r
r
r
∂
∂
rot rot E = − rot B = − µ a rot H .
∂t
∂t
r
r
r
Используя (5.1), тождество rot rot E = grad div E − ∇ 2 E , а также (5.3), получаем
r
r
2
r
∂
E
∂
1
δ
.
∇ 2 E − µ a ε a 2 = grad ρ + µ a
∂
t
ε
∂t
a

r
r r
Учтем проводимость среды : δ = σ E + δ cm . Тогда имеем
r
r
r
2
r
δ
∂
∂ E
∂E 1
∇ 2 E − µ a ε a 2 − µ aσ
= grad ρ + µ a cm .
∂t εa
∂t
∂t

(5.5)

Векторное
r уравнение Д’Аламбера (5.5) является волновым уравнением
для вектора E ЭМП. Заметим, что в правой части уравнения (5.5) стоят толь-

29

ко функции источников поля, поскольку токи проводимости сами по себе не
создают ρ пров . Докажем это.
В соответствии с уравнением непрерывности
∂ρ пров

r
r
σ
= − divδ пров = −σ divE = − ρ пров .

εa

∂t

В последнем приравнивании учтено (5.3) при условии ρ стор = 0 . Таким
образом, для ρ пров имеем следующее уравнение:

∂ρ пров
∂ t

+

σ
ρ
= 0,
ε a пров

которое имеет такое решение: ρ пров = ρ 0 e

(5.6)

−

σ
t
εa

, где ρ 0 - начальное возмуще-

ние ρ пров . Таким образом, в установившемся режиме (t → ∞ ) ρ пров = 0 . По-

этому ρ пров ≠ 0 только в присутствии сторонних источников, тогда в уравнении (5.6) появляется ненулевая величина −

σ
ρ
.
ε а стор

r
Получим волновое уравнение для вектора Н . С этой целью применим
к обеим частям уравнения (5.1) операцию rot:

r
r ∂
r
rot rot H = rot D + rot δ .
∂t
Далее воспользуемся уравнениями (5.2), (5.4), а также тождеством
r
r
r
r
r r
rot rot H = grad div H − ∇ 2 H . При этом получим, учитывая, что δ = σ E + δ cm

r
r
2
r
r
H
H
∂
∂
∇2 H − ε a µa 2 − σ µa
= − rot δ cm .
∂t
∂t

(5.7)

r
r
Левые части волновых уравнений для вектора E (5.5) и вектора Н (5.7)
идентичны. Это свидетельствует о том, что в пространстве, свободном отrисr
точников (т.е. когда правые части (5.5) и (5.6) равны нулю) вектора E и Н
имеют одинаковый волновой характер. Как следует из теории волновых
уравнений, коэффициент при вторых производных по времени равен Vф−2 ( Vф
- фазовая скорость волнового процесса в среде). Таким образом, фазовая скорость волнового электромагнитного процесса в свободном пространстве
30

Vф =

1

ε a µa

. Коэффициент при первых производных по времени определяет

пространственное затухание волнового процесса в среде с джоулевыми потерями.
Таким образом, из УМ непосредственно следует, что электромагнитные процессы имеют волновой характер и, следовательно, любое ЭМП представимо как некоторое наложение электромагнитных волн.

5.2. Электродинамические потенциалы
Установим
далее формулы, выражающие
напряженность электрическоr
r
го поля E и индукцию магнитного поля B через электродинамические поr
тенциалы A (векторный) и Ф (скалярный). Для этого обратимся к системе
уравнений Максвелла.
r
Четвертое уравнение Максвелла утверждает, что поле B чисто
вихревое:

r
div B = 0 .

(5.8)

r
Из (5.8) следует, что поле B следует определить как

r
r
B = rot A ,

(5.9)

r
так как div rot A = 0 .
Воспользуемся теперь вторым уравнением Максвелла
r
r
∂B
.
rot E = −
∂t

(5.10)

r
Подставляя в (5.10) выражение B (5.9) и имея в виду, что координаты и
время в используемой лабораторной системе отсчета независимы, получим

r
⎛ r ∂A ⎞
⎟⎟ = 0 .
rot ⎜⎜ E +
∂
t
⎠
⎝

(5.11)

Из (5.11) с учетом того, что rot grad Ф = 0 ,следует

r
r
∂A
E=−
− gradФ .
∂t

(5.12)

31

r r
r
Введенные таким образом функции координат и времени A(r , t ), Ф(r , t )
(с традиционным следованием знаков), как известно, и являются векторным
r
r r
A и скалярным (Ф) потенциалами электромагнитного поля E , B .
Заметим, что такое определение потенциалов
r r является очевидным
образом неоднозначным. Действительно, поле E , B не изменяется, если
r
r
вместо исходных A , Ф использовать A′, Ф′ , определенные следующим
образом:

()

r r
∂f ( x, y, z , t )
.
A′ = A + grad f ( x, y, z , t ), Ф′ = Ф −
∂t

(5.13)

Таким образом, векторный потенциал определен с точностью до
градиента произвольной функции f ( x, y, z , t ) , а скалярный – с точностью до
∂f ( x, y, z , t )
. Это означает, что
производной той же функции по времени
∂t
электродинамические потенциалы могут быть доопределены путем
наложения на них любого условия связи, ненарушающего (5.13). Это весьма
важный момент, позволяющий существенно улучшить вычислительную
процедуру при решении электродинамических задач путем
соответствующего выбора указанного условия.
Налагаемые на электродинамические потенциалы условия или связи
называются условиями калибровки потенциалов. Из (5.13) очевидно, что
всегда можно f ( x, y, z, t ) выбрать так, что Ф′( x, y, z, t ) = 0 , (т.е. чисто
r r
∂f
≠ 0 , может быть в
переменное электромагнитное поле E , B , когда
∂t
r
принципе описано полностью одним векторным потенциалом A′ ).
Сформулируем теперь уравнения, определяющие электродинамические
r
потенциалы A , Ф. Для этого используем первое и третье уравнения
Максвелла
r
r
∂E r
rot B = ε a
+δ ,
∂t
µa

(5.14)

r ρ
div E = .

(5.15)

1

εa

Здесь ε a , µ a - соответственно диэлектрическая и магнитная
проницаемости пространства, которые при записи (5.14), (5.15) считались
r
постоянными, δ - плотность электрического тока, ρ - плотность
электрического заряда.

32

Подставляя в уравнение (5.14) выражения (5.9) и (5.12), а в уравнение
r
(5.15) – (5.12), получим уравнения, определяющие A , Ф:

r
r
r
∂2 A
∂
ε
µ
µ
δ
rot rot A + ε a µ a
=
−
grad
Ф
+
a a
a ,
∂ t
∂ t2

(5.16)

r
∂A ρ
∇ Ф = − div
− .
∂ t εa
2

(5.17)

Наиболее простой вид принимает уравнения (5.16), (5.17), если
использовать условие калибровки Лоренца:

r
∂Ф
divA + ε a µ a
= 0.
∂t

(5.18)

При условии (5.18) получим
→

→
∂2 А
2
∇ А− ε a µa 2 = − µa δ
∂t

(5.19)

∂ 2Ф
ρ
∇ Ф − ε a µa 2 = − .
εa
∂t

(5.20)

→

2

При записи (5.19) использовано векторное тождество:
→

→

→

rot rot A = grad div A− ∇ 2 A .
Однако в случае, когда необходимо выделение содержащей разрыв на
границах
источников квазистатической составляющей электрического поля
r
E , можно воспользоватся кулоновской калибровкой потенциалов:

r
div A = 0 .

(5.21)

В этом случае уравнения (5.16), (5.17) принимают вид

r
r
r
∂2 A
∂Ф ⎞
⎛r
∇ A − ε a µ a 2 = − µ a ⎜ δ − ε a∇
=
−
µ
δ
⎟
а ′,
∂t ⎠
∂t
⎝
2

∇ 2Ф = −

ρ
.
εа

(5.22)

(5.23)

33

r
Соответственно квазистатическая часть электрического поля Е1
r
r
определяется только через Ф, а динамическая Е 2 - только через А :
r
r1
r2
∂А r r 1 r 2
E = −∇Ф, Е = − , E = E + E .
∂t

(5.24)

В дальнейшем мы будем использовать калибровку Лоренца (5.18),
поскольку уравнения (5.19), (5.20) в этом случае наиболее просто связывают
r
электродинамические потенциалы с их источниками - δ и ρ .

5.3. Электричеcкий вектор Герца или
поляризационный потенциал
r

Определим векторный потенциал через электрический вектор Герца П e
следующим образом:
r
∂П е
A = ε aµa
.
∂t
r

Скалярный потенциал Ф определим через П e так, чтобы выполнялось
условие калибровки Лоренца (5.18) :

ε a µa

r
r
∂Ф
∂
= −div A = −ε a µ a div П е ,
∂t
∂t

r
тогда Ф = − div П е .
Подчеркнем, что указанные определения возможны только при

∂
≠ 0,
∂t

т.е. для чисто переменных полей. В общем случае, когда имеются статические и стационарныеr компоненты ЭМП, нужны все четыре составляющие
потенциалов, т.е. и A , и Ф.
r
r r
При введении П e поля E , H определяются только через один вектор
r
Пe :

r
r
r 1
⎛ ∂П е ⎞
H=
rot A = ε a rot ⎜
⎟,
µa
⎝ ∂t ⎠

(5.25)

34

r
r
r
rе
∂A
∂2 П e
E=−
− grad Ф = −ε a µa
+
grad
div
П
.
∂t
∂t2

(5.26)

r

Выясним физический смысл П e . Для этого установим его источник.
r
Обратимся к понятию поляризованности среды и вектору поляризации p .

r r
p
∫ dS = − qсвяз = − ∫ ρ связ dV .

S

(5.27)

V

Здесь qсвяз - связанный заряд, пересекающий S при поляризации.
Уравнение (5.27) можно переписать, используя теорему Остроградского –
Гаусса:

r
div
p
dV = − ∫ ρ связ dV .
∫

V

V

Ввиду произвольности V получаем дифференциальный эквивалент
(5.27):

r
div p cm = − ρ связ .

(5.28)

r
Если действуют сторонние источники, создающие р cm и ρ ст , то между
ними, очевидно, должна существовать идентичная (5.28) связь:
r
div p cm = − ρ cm .

(5.29)

Дифференцируя по времени (5.29) и, используя уравнение непрерывности, имеем

r
r
∂ρ
∂p
div
= − cm = divδ cm .
∂t
∂t

(5.30)
r

Из уравнения (7.6) с учетом тождества div rot a ≡ 0 получаем

r

δ cm

r
∂p cm
r r P r3
+ rot a = δ cm
+ δ cm .
=
∂t

r
r3
∂p cm
Здесь δ cm =
- разомкнутая плотность тока, образующая ρ cm , δ ст
∂t
r3
замкнутая, вихревая плотность тока, для которой div δ cm
= 0.
rP
Рассмотрим далее процессы, связанные только с δ ст . Для этого случая
УМ принимают вид
rP

35

r
r
r
∂E ∂Pcm
+
,
rot H = ε a
∂t
∂t

(5.31)

r
r
∂H
rot E = − µ a
.
∂t

(5.32)

Рассматриваемый случай может соответствовать, например, возбуждению ЭМП с помощью системы диполей, образованных разомкнутыми проводниками с возбужденным в них от источника
сторонним током.
r r
Подставим в (5.31) выражения H , E (5.25) и (5.26):

εa

r
r
r
r е ⎞ ∂Рст
⎛ ∂П е ⎞
∂ ⎛
∂2П е
⎟ = ε a ⎜ − ε a µa
.
rot rot ⎜⎜
+ grad div П ⎟⎟ +
2
⎟
⎜
∂
∂
∂
t
t
t
∂
t
⎝
⎠
⎝
⎠

Используя в левой части записанного уравнения тождество
r
r
r
rot rot П е = grad div П е − ∇ 2 П е , получаем

r
r
r
∂ ⎧
∂ 2 П е p cm ⎫
2 е
−
⎨− ∇ П + ε а µ а
⎬ = 0.
∂t ⎩
εa ⎭
∂t2
В случае, который мы рассматриваем

∂
≠ 0 , и поэтому окончательно
∂t

имеем

r
r
rе
pcm
∂2 П е
∇ П − ε а µа
=−
.
εa
∂t
2

(5.33)
r

Полученное волновое уравнение для П e (5.33) по структуре не отличаr r r
r
ется от уравнения для E , H , A, Ф . Источником же П e , как следует из (5.33),
r
является сторонняя поляризация p cm , откуда и название этого вектора – поr
r
ляризационный потенциал. Простая связь П e и p cm весьма полезна при реr
r
r
шении конкретных задач. Например, если p cm = Z 0 p cm (т.е. p cm имеет только Z – компоненту) из (7.9) очевидно, что для описания возбуждаемого ЭМП
r
достаточно использовать только одну компоненту П е − Z 0 П ze . Т.е. в этом
случае векторная задача сводится к скалярной!
Заметим, что в этом случае
r
ЭМП имеет только пять компонент: в H отсутствует в соответствии с (5.25)
продольная компонента Hz. Такое поле можно назвать поперечно – магнитным.
36

5.4. Фиктивные магнитные точки и заряды.
Перестановочная двойственность УМ.
Магнитный вектор Герца
Обратимся теперь к замкнутым токам. Как известно из решения задач
магнитостатики, магнитное поле рамки с rтоком i соответствует полю магнитного диполя, т.е. магнитный момент M замкнутого тока определяется как

r
r
M = iµ a S n ,
r
где Sn - вектор-площадка, охватываемая током i. С другой стороны,
можно представить, что
r
r r
M = iµ a S n = l q m ,
r
где qm – магнитные заряды диполя длиной l .
dq
В свою очередь, im = m , где im – разомкнутый магнитный ток.
dt
Таким образом, замкнутый ток i создает поле, подобное тому, которое
возбуждает разомкнутый магнитный ток im. Такие эквивалентные qm и im называются фиктивными магнитными зарядами и токами. В ряде случаев такая
замена эффективна, поскольку позволяет не решать непосредственно поставленную задачу, а воспользоваться уже решенной с соответствующими переобозначениями.
При введении фиктивных магнитных токов и зарядов УМ переписываются следующим образом:
r
r
∂E
rot H = ε a
,
∂t

(5.34)

r
r
∂H r
rotE = − µa
− δm ,
∂t

(5.35)

r
div D = 0 ,

(5.36)

r
div B = ρ m .

(5.37)

Очевидно от системы (5.34)...(5.37) можно перейти к исходным УМ путем следующих переобозначений:

r
r
r
r r
r
E → H , H → E , ε a → − µa , µ a → −ε a , δ m → −δ , ρ m → − ρ .

37

Это свойство называется перестановочной двойственностью УМ. Это
свойство позволяет, как указывалось выше, не решать ряд задач непосредственно, а воспользоваться переобозначениями в решении, относящемся к
“двойственной” задаче. В частности, очевидно, что задачу возбуждения ЭМП
замкнутыми токами решать нет смысла как самостоятельную, т.к. она формулируется как задача возбуждения ЭМП разомкнутыми магнитными токами, т.е. в виде двойственной уже решенной задаче возбуждения ЭМП разомкнутыми электрическими токами.
Для разомкнутых магнитных токов, как и в электрическом случае, имеет место связь

rP

δm

r
∂J cm
,
=
∂t

r
r
где J cm - намагниченность среды, создаваемая δ mP .
Второе УМ при этом записывается в виде
r
r
r
∂H ∂J cm
rot E = − µ a
.
−
∂t
∂t

(5.38)

По аналогии с “электрической” задачей введем магнитный вектор Герrт
ца П :

r
r
⎛ ∂П т ⎞
⎟,
E = − µ a rot ⎜⎜
⎟
∂
t
⎝
⎠

(5.39)

r
r
rт
∂2П т
+
grad
div
П
.
H = −ε a µ a
∂t2

(5.40)

Подставляя (5.39), (5.40) в (5.38), получаем при

r
новое уравнение для П т :
r
r
2 т
r
J
П
∂
= − cm .
∇2 П т − ε а µа
2
µa
∂t

∂
≠ 0 следующее вол∂t

(5.41)

Структура уравнения (5.41) полностью идентична (5.33), что непосредственно может быть использовано при решении двойственных задач путем
переобозначений.

38

Опять можно отметить, что если специфика задачи такова, что при
r
r
r
r
J cm = Z 0 J cm , достаточно использовать только одну компоненту П т = Z 0 П zm .
Компонентой П zm определяются в соответствии с (5.39) ЭМП, в которых отсутствует компонента Ez. Такие поля называются поперечно-электрическими.

5.5. Граничные условия для

П zm

и

П ze

на идеально

проводящих продольных и поперечных поверхностях
Для большой группы задач, относящихся к регулярным волноводам и
резонаторам, ЭМП может быть представлено в виде суперпозиции поперечно-электрических (ТЕ) и поперечно-магнитных (ТМ) полей (Самарский А.А.,
Тихонов А.Н. «О представлении полей в волноводе в виде суммы полей ТЕ и
ТМ, ЖТФ 1948 – т.18, №7 – с.959-970»). Поскольку эти поля выражаются соответственно через П zm и П ze , важнейшее значение приобретает формулировка граничных значений (ГУ) для этих функций на идеально проводящих
продольных и поперечных стенках указанных устройств.
Введем обобщенно-цилиндрическую систему координат q1 , q2 , Z , где
q1 , q2 - обобщенные криволинейные в общем случае координаты в поперечной к Z плоскости Q3.
Координатные поверхности в этой системе определяются следующим
образом :

Q1 : q1 = Const ; Q2 : q2 = Const ; Q3 : Z = Const .
Соответственно направляющие вектора системы определяются как

r
r r
r r
e1 dq1 Q , e2 dq2 Q , Z 0 .
1

2

ГУ для П ze .
r
Будем исходить из того, что тангенциальная составляющая E на идеально проводящей поверхности S равна нулю. Таким образом,

Ez

Q1 , Q 2

= 0, Eq1 , q 2

Q3

= 0.

r
r
Запишем E , выраженное через Z 0 П ze :

r
⎛ ∂П ze ⎞
∂ 2 П ze r
⎟.
E = −ε a µ a
Z 0 + grad ⎜⎜
⎟
z
∂
∂t2
⎝
⎠

39

⎛∂
⎞
Полагая процессы гармоническими ⎜⎜ = jω ⎟⎟ , имеем
⎝ ∂t
⎠
r
r e
⎛ ∂ П ze ⎞ 2
2
⎟ , k = ω 2ε a µ a ,
E = k Z 0 П z + grad ⎜⎜
⎟
⎝ ∂z ⎠
⎛ ∂П ze ⎞ r 1 ∂ ⎛ ∂П ze ⎞ r 1 ∂ ⎛ ∂П ze ⎞ r ∂ 2 П ze
⎟ = e1
⎜
⎟
⎜
⎟
grad ⎜⎜
⎟
⎜ ∂ z ⎟ + e2 h ∂q ⎜ ∂ z ⎟ + Z 0 ∂ z 2 ,
∂
z
h
∂
q
1
1⎝
2
2⎝
⎝
⎠
⎠
⎠
h1, h2 – соответственно метрические коэффициенты Ламэ обобщенных
координат q1, q2.
Таким образом, имеем

Ez

Q1 , Q 2

⎛ 2 ∂2 ⎞ e
= ⎜⎜ k + 2 ⎟⎟ П z
∂z ⎠
⎝

Q1 , Q 2

= 0.

Это условие должно выполняться при любых Z, q1 или Z, q2, следовательно, необходимо потребовать
П ze

Q1 , Q 2

= 0.

(5.42)

Иначе говоря, на идеально проводящих боковых стенках Q1, Q2 П ze обращается в ноль.
Условие на поперечной стенке Q3 имеет вид

Eq1 , q 2

Q3

1 ∂ ⎛⎜ ∂П ze ⎞⎟
=
h1, 2 ∂q1, 2 ⎜⎝ ∂ z ⎟⎠

Таким образом, если

∂П ze
∂ z

Q3

∂П ze
=
r
∂ n

Q3

Q3

= 0.

∂
≠ 0 , получаем
∂q1, 2

= 0.

(5.43)

ГУ для П zm .
v
Будем исходить из ГУ для нормальной составляющей H на идеально
проводящей поверхности:

H q1

Q1

= 0, H q 2

Q2

= 0, H z

Q3

= 0.

40

Для составляющей Hz имеем

Hz

Q3

⎛ 2 ∂2 ⎞ m
= ⎜⎜ k + 2 ⎟⎟ П z
∂z ⎠
⎝

= 0,

Q3

⎛
∂2 ⎞
Откуда ввиду того, что ⎜⎜ k 2 + 2 ⎟⎟ ≠ 0 , получаем
∂z ⎠
⎝
П zm Q3 = 0 .

(5.44)

Для составляющих H q1 , H q 2 можно записать

H q1

H q2

1 ∂ ⎛⎜ ∂П zm ⎞⎟
Q1 =
h1 ∂q1 ⎜⎝ ∂ z ⎟⎠

Q2

Q1

1 ∂ ⎛⎜ ∂П zm ⎞⎟
=
h2 ∂q2 ⎜⎝ ∂ z ⎟⎠

Из этих условий при
1 ∂П zm
h1, 2 ∂q1, 2

Q1 , Q2

∂ ⎛⎜ 1 ∂П zm ⎞⎟
=
∂ z ⎜⎝ h1 ∂q1 ⎟⎠

Q2

Q1

∂ ⎛⎜ 1 ∂П zm ⎞⎟
=
∂ z ⎜⎝ h2 ∂q2 ⎟⎠

= 0,

Q2

= 0.

∂
≠ 0 следует
∂z

= 0 .или

∂П zm
r
∂ n

Sбок = 0

(5.45)

ГУ (5.42)..(5.45) вместе с уравнениями (5.33) и (5.41) формулируют
краевую задачу для определения ЭМП в регулярных волноводах и резонаторах.

41

ЧАСТЬ 2
НАПРАВЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ ИЛИ ВОЛНОВОДЫ
ГЛАВА VI
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РЕГУЛЯРНЫХ ВОЛНОВОДОВ
6.1. Типы направляющих систем
Для минимизации потерь в устройствах СВЧ используются направляющие системы или волноводы (ВВ). Волны в ВВ занимают конечное поперечное сечение, они неоднородны в этом сечении и не рассеиваются в окружающее пространство. Назначение ВВ: линии связи; связь элементов СВЧ
устройств; электродинамические системы в электронных приборах СВЧ; ускорители; системы СВЧ обработки в машиностроении, деревообработке, пищевой промышленности, сельском хозяйстве.
Рассмотрим некоторые типы ВВ. Вообще говоря, ВВ можно разделить
на «открытые», в которых замкнутый внешний экран отсутствует, а поле
концентрируется вблизи направляющих структур, и «закрытые», в которых в
той или иной форме присутствует экран, ограничивающий поперечное распределение поля. Конечно, это разграничение достаточно условно: в «открытых» ВВ может быть поставлен экран, в «закрытых» - экран в определенных
диапазонах может быть «прозрачным».
Начнем с систем, условно относимых к «открытым».
На рис.6.1. изображена двухпроводная линия.

Рис. 6.1.

Рис. 6.2.

При h << λ ввиду противофазности токов в проводах линии излучение
в окружающее пространство весьма мало. На рис. 6.2 показана симметричная
полосковая линия: 1 – токонесущая полоска, 2 – экран.
Несимметричная полосковая линия или микрополосковая изображена
на рис.6.3. Здесь 1 – токонесущая полоска, 2 – диэлектрическая подложка, 3 –
экран. Все поперечные размеры весьма малы по сравнению с длиной волны,
излучение во внешнее пространство практически отсутствует. Указанные
структуры нашли очень широкое распространение в микромощной технике.

42

1

2
3
Рис. 6.3.
Нетрудно увидеть развитие структуры микрополосок: экранированная
микрополосковая линия (рис.6.4), щелевая линия (рис.6.5), копланарная линия (рис.6.6), полосково – щелевая экранированная линия (рис.6.7),

1
2
Рис. 6.4.

Рис. 6.5.

Рис. 6.6.

Рис. 6.7.

z

Рис. 6.8.
Рис. 6.9.
двущелевая линия (рис.6.8). В коротковолновом диапазоне (вплоть до светового) используются диэлектрические волноводы (рис.6.9), на рабочих часто-

Рис. 6.10.

43

Z
Рис. 6.11.
тах которого на границе диэлектрика имеет место полное внутреннее отражение волн.
К открытым относятся и лучевые ВВ: зеркальный ВВ (рис. 6.10), линзовая
линия (рис.6.11).
На рис.6.12 показана экранированная двухпроводная линия – «закрытая» система. Естественное ее развитие – коаксиальная линия (рис.6.13),
весьма широко распространенная. Дальнейшее развитие ВВ большой мощности – полые ВВ.

Рис. 6.12.
Рис. 6.13.
На рис.6.14 изображен ВВ круглого сечения, на рис.6.15 – прямоугольного.

Рис. 6.14.
Рис. 6.15.
Находят применение и волноводы специального сечения: эллиптические (рис.6.16), ребристые: П – (рис. 6.17) и Н – образного сечения (рис.6.18).

Рис. 6.16.

Рис. 6.17.

44

a

z
h

Рис. 6.18.

Рис. 6.19.

В СВЧ электронных приборах с черенковским излучением (лампы бегущей и
обратной волн) используются замедляющие системы.
На рис.6.19 изображена широко применяемая в приборах средней
мощности спиральная замедляющая система. Ее замедление можно оценить
V
приближенно чисто геометрически: ф = h , где Vф - фазовая скорость
c
πa
распространения основной пространственной гармоники вдоль оси системы
Z, c – скорость электромагнитных волн в пустоте. В мощных приборах используются системы типа гофрированных или диафрагмированных волноводов.
Такие же системы используются и в ускорителях заряженных частиц.

6.2. Постановка и схема решения волноводных
задач (регулярные ВВ)
ВВ будем называть регулярным в случае, когда конфигурация попе, a не заречного сечения ВВ S⊥ и свойства заполняющей ВВ среды
a
висят от координаты Z, отождествляемой с осью волновода, т.е.
s⊥ , ε&a , µ&a ≠ f (Z ) , но может быть ε a , µ a = f (q1 , q2 ) , где q1, q2 – обобщенные координаты в S⊥.
Как указывалось выше, все поля в регулярных волноводах могут быть
представлены как суперпозиция волн ТМ (Е) и ТЕ (Н). В свою очередь, ТМ
или Е – волны определяются функцией П zl , ТЕ или Н – функцией П zm . Та-

ε µ

ким образом, совокупность П zl , П zm - полностью определяет волны в ВВ.
Введем следующие условия и упрощения.
1. Рассматриваем собственные волны ВВ, которые существуют вне области,
занятой источниками, т.е. в волновых уравнениях для П zl, m Pcm = 0 и
J cm = 0 .
2. Стенки волновода можно считать идеально проводящими, т.е. на них
справедливы ГУ (5.42) и (5.45).
3. Электромагнитные процессы гармонические, т.е. можно использовать метод комплексных амплитуд.

45

При перечисленных условиях волноводные задачи сводятся к следующим краевым задачам для П zl, m .

∇ 2 П& zl , m + K 2 П& zl , m = 0 ,

K 2 = ω 2 ε&a µ& a ,

(6.1)

П& zl Sбок = 0 ,

(6.2)

∂П& zm
r Sбок = 0 .
∂п

(6.3)

Воспользуемся условием регулярности волновода: +Z и -Z направления
равноправны, а постоянная распространения волн вдоль Z (Г) постоянна. Тогда представим искомые решения для П& zl,m в форме

П& zl,m = A& l,m ψ l,m (q1, q2 ) em jΓ Z .

(6.4)

Здесь A& l ,m - комплексная амплитуда волны, ψ l, m (q1 , q2 ) - функция сечения или мембранная функция, Г – постоянная распространения; верхний
знак соответствует попутной (относительно z) волне, нижний – встречной.
Решение записано в обобщенно – цилиндрической системе координат q1, q2,
Z.
Представим
∂ 2 & l ,m
2 & l ,m
2 & l ,m
∇ Пz = ∇⊥ Пz + 2 Пz ,
∂Z

∇ ⊥2 П& zl,m

⎪⎧ ∂ ⎛ h2 ∂П& zl,m ⎞ ∂ ⎛ h1 ∂П& l,m ⎞ ⎪⎫
=
⎨
⎜
⎟+
⎜
⎟⎬ ,
h1 h2 ⎪⎩ ∂q1 ⎝ h1 ∂q1 ⎠ ∂q2 ⎝ h2 ∂q2 ⎠ ⎪⎭
1

h1(q1, q2), h2(q1, q2) – метрические коэффициенты Ламэ для q1, q2.
∂ 2 & l, m
Учтем, что
П z = − Г 2 П& zl, m . Тогда (6.1) приобретает вид
2
∂Z

(

)

&
∇ ⊥2 П& Zl, m + K 2 − Г& 2 П& Zl, m = 0 .

(6.5)

Учитывая структуру решения (6.4), сокращаем в (6.5) общие множите. В результате исходная трехмерная краевая задача (6.1)..(6.3) рели A e
дуцируется к двухмерной:

& l,m m jΓZ

∇ 2ψ l, m + ℵ2ψ l, m = 0, ℵ2 = K& 2 − Г& 2 ,

(6.6)

46

ψ l (l ) = 0 ,

(6.7)

∂ψ m
r (l ) = 0 .
∂n

(6.8)

Здесь l - контур поперечного сечения волновода.
Поставленная краевая задача (6.6)..(6.8) известна как задача ШтурмаЛиувилля. Ее содержание можно сформулировать так: найти значения ℵ2 ,
при которых существует нетривиальные (т.е. ненулевые в данном случае)
решения (6.6) при ГУ первого рода (6.7) или ГУ второго рода (6.8) на контуре
сечения волновода l . Значение ℵv , при которых имеются нетривиальные
решения задачи Штурма-Лиувилля называются собственными значениями, а
отвечающие им функции ψ v (q1 ,q2 ) называются собственными функциями.
Каждому собственному значению ℵv соответствует одна собственная функция ψ v . Если это не так, то такой случай называется вырожденным. Собственные значения ℵv можно расположить в виде бесконечного упорядоченного ряда:

ℵ0 < ℵ1 < ℵ2 < ... < ℵv < ...
Собственные значения и собственные функции задачи ШтурмаЛиувилля обладают рядом специальных свойств. Остановимся на наиболее
важных из них.
1. ℵv – действительные числа. Для доказательства этого воспользуемся
первой теоремой Грина:

∂Ф
2
∫ ∇Ф∇ψ dS ⊥ + ∫ψ ∇ ФdS ⊥ = ∫ψ ∂nr dl .

S⊥

S⊥

(6.9)

l

Положим Ф = ψ = ψ vl, m , причем в соответствии с (6.6) имеет место равенство

∇ 2ψ vl, m + ℵv2ψ vl, m = 0 .
Умножая это равенство скалярно на ψ vl, m , получаем
ℵv2 ψ v

2

= −ψ v ∇ 2ψ v .

(6.10)

Учтем также, что в связи с ГУ (6.7) или (6.8) имеем

47

∫ψ

v

l

∂ψ v
r dl = 0 .
∂n

(6.11)

Учитывая (6.10) и (6.11) из (6.9) (при Ф = ψ = ψ vl, m ), получаем

ℵv2

=

∫ ∇ψ v

S⊥

2

dS ⊥

2

∫ ψ v dS ⊥

.

(6.12)

S⊥

Из полученного результата (6.12) непосредственно следует исходное
утверждение: справа стоит вещественное, строго положительное число, следовательно, и ℵv - действительное число.
2. Собственные функции ψ v (q1 ,q2 ) взаимно ортогональны на S ⊥ (l ) .
Докажем это. Пусть известны две собственные функции ψi и ψj, отвечающие
собственным значениям ℵi2 и ℵ2j , причем ℵi2 ≠ ℵ2j . Запишем уравнение (6.6)
сначала для ψi, затем для ψj. Первое уравнение умножим скалярно на ψj, второе – на ψi и из первого результата вычтем второй. В результате получим

(

)

ψ j ∇ 2ψ i − ψ i ∇ 2ψ j = ℵ2j − ℵi2 ψ iψ j .
Проинтегрируем получившееся по S ⊥ (l ) :

∫ (ψ j∇ ψ i −ψ i∇ ψ j )
2

2

(

dS ⊥ = ℵ2j −ℵi2

S⊥

) ∫ ψ ψ dS
i

j

⊥

.п

(6.13)

S⊥

Применяя к левой части уравнения (6.13) дважды первую теорему Грина (6.9) (сначала Ф = ψ i , ψ = ψ j , затем Ф = ψ j , ψ = ψ i ), получаем

∂ψ j
⎛ ∂ψ i
ψ
ψ
−
r
r
j
i
⎜
∫l ⎝ ∂n
∂n

⎞
2
2
⎟ d l = (ℵ j −ℵi )
⎠

∫ψψ
i

j

dS ⊥ .

(6.14)

S⊥

В силу ГУ (6.7) или (6.8) левая часть в (6.14) равна нулю (заметим, что
этот результат получится и при ненулевых ГУ).
Поэтому при ℵ2j ≠ ℵi2 из (6.15) получаем искомый результат

∫

ψ i ( q1, q2 ) ψ j ( q1, q2 ) dS⊥ = 0

при i≠j.

S⊥ ( l )

48

3. Собственные функции ψ ve, m (q1 , q2 ) составляют полную на S ⊥ (l )
систему функций, т.е. нельзя найти такую новую функцию ϕ (q1 , q2 ) , которая

была бы ортогональна на S ⊥ (l ) всем функциям ψ ve, m . Это означает, что любая функция ϕ (q1 , q2 ) может быть представлена на S ⊥ (l ) в виде разложения
в базисе {ψ v (q1 , q2 )} .

6.3. Общие свойства электрических (Е) волн
в регулярных волноводах

{ }

e
Весь набор Е-волн определяется системой решений П& zv
краевой задачи (6.1), (6.2). Т.е. для любой конкретной задачи
∞

&
e
e
П& ze = ∑ П zv
, где П& zv
= A& veψ ve e − jГV Z ,
v =1

Г& v = k& 2 − ℵv2 .

Краевая задача для ψ v2 , ℵv2 сформулирована в предыдущем разделе.
Рассмотрим компоненты полей Е-волн:
e
r&
r e
∂П& zv
2
&
&
,
Ev = k Z 0 П zv + grad
∂z

r&
r e
H v = jωε&a rot Z 0 П& zv

(

e
∂П& zv
e
, k& 2 = ω 2ε&a µ& a
= − jГ v П& zv
∂z

)

Продольная составляющая есть только у электрического поля Е-волны:
&
e
E& vz = ℵv2 П& zv
= ℵv2 A&vee m jГV Zψ ve ( q1 , q2 ) .

e
Отметим, что П& zv
с точностью до постоянного (но размерного!) множителя ℵv2 совпадает с E& vz .

Проанализируем далее поперечные составляющие полей.

r
r
e
e
r&
⎫
& Z ⎧ e1 ∂ψ v
e
−
jГ
e
e
2 ∂ψ v
V
&
&
&
&
Evt = − jГ v grad t П zv = − jГ v Av e
+
⎨
⎬.
h
q
h
q
∂
∂
1
1
2
2
⎩
⎭

(6.15)

r
r
e
r&
r&
r e
e2 ∂ψ ve ⎫
e − jГ&V Z ⎧ e1 ∂ψ v
&
&
H v = H vt = jωε&a rot Z 0 П zv = jωε&a Av e
−
⎨
⎬.
h
q
h
q
∂
∂
1
1 ⎭
⎩ 2 2

(

)

Получим некоторые следствия записанных формул

49

(

)

r r
1. Составим скалярное произведение E& vt , H& vt :

(Er&

) ( ) Г& ωε& e

r&
&e
,
H
vt
vt = Av

2

v

a

− j 2 Г&V Z

×

⎧⎪ 1 ∂ψ ve 1 ∂ψ ve 1 ∂ψ ve 1 ∂ψ ve ⎫⎪
−
×⎨
⎬ ≡ 0.
⎪⎩ h1 ∂q1 h2 ∂q 2 h1 ∂q1 h2 ∂q 2 ⎪⎭
r
r
r
Таким образом, E& vt ⊥H& vt . Но как следует из (6.15), E& vt определяется
r
градиентом собственной функции e , иначе говоря, графически поле E&

ψv

vt

ψ ve .

совпадает с градиентом собственной функции
r
r
Поскольку же H vt ⊥E vt , линии напряженности магнитного поля явля-

ются линиями уровня ψ ve (q1 , q 2 ) . Таким образом, мы получили эффективное
правило графического построения полей волны типа Е волновода:
r
1) ψ ve (q1 , q 2 ) является мембранной функцией E z ;
r
2) силовые линии Etv являются линиями градиента ψ ve (q1 , q 2 ) ;
r
3) силовые линии H tv являются линиями уровня ψ ve (q1 , q 2 ) .
2. Введем и рассчитаем волновое сопротивление Wve для волн типа Е:

Wve =

E& vt
H& vt

1
2 ⎫2

⎧⎛
e ⎞
⎛ 1 ∂ψ ve ⎞ ⎪
e − jГV Z ⎪⎜ 1 ∂ψ v ⎟
&
⎟ ⎬
jГ v Av e
+⎜
⎨⎜
⎟
⎟
⎜
⎪⎩⎝ h1 ∂q1 ⎠
⎝ h2 ∂q 2 ⎠ ⎪⎭
=
2

1
2 ⎫2

=

⎧⎛ ∂ψ e ⎞ 2 ⎛ ∂ψ e ⎞
1
⎪ 1
v ⎟
v ⎟ ⎪
+⎜
jA& ve e − jГV Z ωε& a ⎨⎜
⎟
⎜ h ∂q ⎟ ⎬
⎜
2 ⎠ ⎪
⎪⎩⎝ h1 ∂q1 ⎠
⎝ 2
⎭

2
2
Г& v
k&
⎛ ℵv ⎞
⎛ ℵv ⎞
0
=
=
1− ⎜ & ⎟ = W 1− ⎜ & ⎟ ,
ωε&a ωε&a
⎝ k ⎠
⎝ k ⎠
µ& a
- волновое сопротивление свободного пространства с
где W 0 =
ε&a
характеристиками εa, µa. Наиболее просто записывается W e , когда k& - дейст-

вительное число (тогда k = ω ε a µ a =

ω 2π
).
=
υ
λ

v

В этом случае, учитывая, что ℵv - действительная величина, можно ввести
одно из важнейших понятий в теории ВВ – критическую длину волны v-го
типа волн:

50

λvkp =

2π
.
ℵv

(6.16)
2

⎛ λ ⎞
(6.17)
Тогда Wve = W 0 1 − ⎜ v ⎟ .
⎜λ ⎟
⎝ kp ⎠
Подробный анализ полученного результата проведем далее, в разделе
6.6.
6.4. Общие свойства магнитных (Н) волн
в регулярных ВВ
В случае магнитных волн имеем

r&
r m
∂П& zvm
2
&
&
H v = k Z 0 П zv + grad
,
∂z
r&
r
Ev = − jωµ& a rot Z 0 П& zvm ,

(

)

&
где П& zvm = A&vmψ vm ( q1, q2 ) e m jГV Z - решение краевой задачи (6.15), (6.17).
Продольная составляющая магнитной напряженности волны выражается как
&
H& vz = ℵv2 П& zvm = ℵv2 A&vme m jГV Zψ vm ( q1, q2 ) .

Поперечные же компоненты полей можно записать в виде

r
&
H& vt = m jГ& v A& vm e m jГV Z grad ψ vm ,
r
r
E& vt = − jωµ& a A& vm e m jГV Z rot Z 0ψ vm .
Как и в предыдущем случае Е-полей нетрудно показать, что
r&
r
r
r
H vt , E& vt = 0 , т.е. E vt ⊥H vt и правила графического изображения Н-полей
можно сформулировать так:
1) ψ vm (q1 , q 2 ) является мембранной функцией H& z ;
r
2) силовые линии H tv являются линиями градиента ψ vm ;
r
3) силовые линии Etv являются линиями уровня ψ vm .

(

(

)

)

Вводя волновое сопротивление WvH для волн типа Н, получим

51

WvH

E&
ωµ& a
= vt =
=
H& vt
Г& v

W0
⎛ λ
1− ⎜ v
⎜λ
⎝ kp

⎞
⎟
⎟
⎠

2

λvkp =

,

2π
ℵvm

.

6.5. Т-волны в направляющих системах
Т или ТЕМ – волнами называются такие, в которых отсутствует продольные составляющие как магнитного, так и электрического полей (поперечные волны).
Рассмотрим условия существования Т-полей. В соответствии с общей
теорией имеем

(

)

e
E& vz = k& 2 − Г& v2 П& zv
,

(

)

H& vz = k& 2 − Г& v2 П& zvm

Для того чтобы в волне E& vz = 0, H& vz = 0 , необходимо потребовать
k 2 = Г& v2 , т.е. постоянная распространения Т-волны в ВВ должна быть равна
k& , т.е. постоянной распространения в свободном
r rпространстве.
Запишем уравнения Гельмгольца для E v , H v :

r
r
r
r
∇ 2 E& v + k& 2 E& v = 0, ∇ 2 H& v + k& 2 H v = 0 .
Разделим оператор ∇2 на поперечную и продольную части:
2

∇ =

∇ 2⊥

+

∂2
∂z

2

= ∇ ⊥2 − Г& v2 .

r r
Тогда уравнения для E v , H v принимают вид

r&
r&
∇ 2⊥ Ev + k& 2 − Г& v2 Ev = 0,

(

)

r&
r&
∇ ⊥2 H v + k& 2 − Г& v2 H v = 0 .

(

)

Для Т-волн k& 2 = Г& v2 и записанные для этих волн уравнения редуцируются к виду

r
r
∇ ⊥2 E& v = 0, ∇ 2⊥ H& v = 0 .
Таким образом, Т-волны являются решением поперечных уравнений
Лапласа. Как известно, нетривиальное решение этих уравнений при граничных условиях типа Eτ (l ) = 0 , Hn(l)=0 существует только в многосвязных областях. Поэтому в полых волноводах, поперечное сечение которых представ-

52

ляет односвязную область, Т-волны существовать не могут. В ВВ с двухсвязным сечением (коаксиальная линия, например) возможна одно решение, отвечающее разным направлениям продольных токов на них. При трехсвязном
сечении (экранированная двухпроводная линия, например) возможны две
комбинации раздельных ГУ и соответственно два типа Т-волн (синфазный и
противофазный). В общем случае m-связной области, очевидно, возможно
существование m-1 типов Т-волн – поr числу
r комбинаций раздельных ГУ. Во
всех случаях структура поперечных E и H для Т-волнrявляется
лапласовой,
r
т.е. такой же, какой получается структура двумерных E и H при решении
статических задач для той же конфигурации границ с заданным распределением зарядов и стационарных токов.

6.6. Дисперсия собственных волн в
регулярных ВВ. Докритический и
закритический диапазоны волновода
Дисперсией собственных волн называется зависимость от рабочей длины волны (рабочей частоты) фазовой и групповой скорости распространения
волн, а также частотная зависимость волнового сопротивления.
В свободном пространстве, а также в случае Т-волн в многосвязных
линиях постоянная распространения Г& = k& = ω ε& a µ& a . Если потерь нет и
µ& a = µ a , ε&a = ε a , то постоянная распространения действительна:
ω
ω
1
Г = k = ω ε a µa =
=
. При этом VФ = V Г =
и от рабочей часVФ V Г
ε а µа
тоты не зависят, т.е. для Т-волн в среде без потерь дисперсия отсутствует.
Иная ситуация имеет место в волноводах. Здесь
2

⎛ λ ⎞
2π
2
2
&
&
Г v = k − ℵv = k 1 − ⎜ v ⎟ , где λvkp =
- критическая длина вол⎜λ ⎟
ℵ
v
⎝ kp ⎠
ны для v-го типа волн ВВ.
ω 2π
=
, где VФv - фазовая скорость распространения
Поскольку Г v =
VФv Λ v
v-й волны в ВВ, Λ v - длина волны того же типа волн вдоль оси ВВ, для этих
величин имеем
VФv =

V0
⎛ λ ⎞
1− ⎜ v ⎟
⎜ λkp ⎟
⎝
⎠

2

,

(6.17)

53

Λv =

Здесь V0 =

λ
⎛ λ
1− ⎜ v
⎜λ
⎝ kp
1

⎞
⎟
⎟
⎠

2

.

- скорость распространения волн в свободном про-

ε a µa

странстве, λ - рабочая длина волны – длина волны в свободном пространстве
на рабочей частоте ω. Из формул (6.17) следует, что диапазон длин волн в
точке λ = λvkp разделяется для данного v-го типа волн на две различающиеся
области:
1) λ < λvkp . Здесь Гv - действительная ненулевая величина, поэтому

VФv =

ω

- конечная величина, вдоль волновода распространяется v-го типа
Гv
волна. Это докритический диапазон;
2) λ < λvkp . Здесь Гv - чисто мнимая величина (по-прежнему мы полага-

ω

− jα v и действительная
VФV
часть Гv равна нулю, VФV → ∞ , т.е. волновой процесс на v-м типе отсутствует, а поле убывает с расстоянием от источников экспоненциально с постоянной затухания αv. Этот диапазон длин волн называется закритическим.
Рассмотрим более подробно оба диапазона.
1. Докритический диапазон ( λ < λvkp ).
ем отсутствие потерь в линии). Поскольку Г v =

⎛ λ
1− ⎜ v
Здесь
⎜λ
⎝ kp
V
1
( f = 0 , V0 =

λ

2

⎞
⎛ f kpv ⎞
⎟ = 1− ⎜
⎟
⎟
⎜ f ⎟
⎝
⎠
⎠

ε a µa

2

-

действительная

величина

). Соответственно действительны и положительны ве-

личины:

⎛ λ
2π
Гv =
1− ⎜ v
⎜λ
λ
⎝ kp
WvE = W 0

2

2

⎞
⎛ v ⎞
⎟ = ω 1 − ⎜ f kp ⎟ = 2π = 2π ,
⎟
⎜ f ⎟
V0
VФV Λ v
⎠
⎝
⎠

⎛ λ
1− ⎜ v
⎜λ
⎝ kp

2

⎞
⎟ , WH =
v
⎟
⎠

W0
⎛ λ
1− ⎜ v
⎜λ
⎝ kp

⎞
⎟
⎟
⎠

2

,

54

Рассчитаем групповую скорость волны (т.е. скорость передачи энергии
и сигналов) VГv:

VГv

1
=
,
∂Г v
∂ω

2

⎛ω ⎞
Г v = ⎜ ⎟ − ℵv2 ,
⎝ V0 ⎠

ω

∂Г v
ω
=
=
∂ω V 2 k 2 − ℵ2
0
v

V02

ω
V0

⎛ λ
1− ⎜ v
⎜λ
⎝ kp

⎞
⎟
⎟
⎠

2

1

=
V0

⎛ λ
1− ⎜ v
⎜λ
⎝ kp

⎞
⎟
⎟
⎠

2

.

Таким образом,

V Гv = V0

⎛ λ
1− ⎜ v
⎜λ
⎝ kp

2

⎞
⎟ .
⎟
⎠

(6.18)

Рис. 6.20.
Используя (6.17) и (6.18), убеждаемся, что (Рис. 6.20)

VФvV Гv = V02 .
(6.19)
Такая характерная связь VФ и VГ имеет место для дисперсных направляющих систем.

55

Характер частотных зависимостей VФv, VГv, Λv в волноводе хорошо поясняет концепция парциальных волн Бриллюэна. В соответствии с этой концепцией распространения волн по волноводу происходит путем последовательных отражений плоских, (тех же, что в свободном пространстве) волн от

Рис. 6.21.
стенок волновода (Рис.6.21).
Плоские волны отражаются от стенок под углом Θ, который определяется
взаимным согласованием отражений от противоположных стенок, при котором возможна стационарная картина интерференции (при соответствующем
выполнении граничных условий на стенках волновода). Из геометрической
картины зигзагообразного распространения плоских волн, изображенной на
Рис.6.21, следует, что групповая скорость VГv=V0 sin Θ v, где V0 - скорость
распространения волн в свободном пространстве. Сравнивая этот результат с
2

⎛ λ ⎞
формулой (6.18), приходим к выводу, что siп Θ v = 1 − ⎜ v ⎟ . Фазовая же
⎜λ ⎟
⎝ kp ⎠
скорость в ВВ в соответствии с формулой (6.17), определяется как

Рис. 6.22.

V0
. Более подробно это поясняет Рис.6.22. Здесь прямыми линияsiп Θ v
ми изображены положения равных фаз плоской волны, расстояние между
ними равно λ - длине волны в свободном пространстве. Расстояния между
теми же положениями равных фаз Λv вдоль оси волновода вычисляется как
VФv =

56

Λv =

λ
siп Θ v

, что соответствует полученным ранее результатам (

Λv

λ

=

VФv
).
V0

Как и в общем анализе, из картины Бриллюэна следует V Гv VФv = V02 .
Рассмотрим энергетические соотношения – перенос энергии в ВВ в доктрическом режиме. Составим Z - составляющую вектора Умова-Пойтинга для v моды:

1 r& r& r 1 & & *
S&0vz = ⎡⎢ Ev H v* ⎤⎥ Z 0 =
Evt H vt
⎦
2⎣
2
Вычислим S& 0vz отдельно для Е и для Н-волн. Для Е-волн Hz=0 a
E& vt = WvE H& vt . В этом случае имеем

S& 0Ez

⎛ λ
1 &E 2
1 0
= Wv H vtm = W 1 − ⎜ v
⎜λ
2
2
⎝ kp

2

⎞
⎟ H2 .
⎟ vtm
⎠

(6.20)

Таким образом, в отсутствие потерь, как следует из (6.20), в докритическом режиме (т.е. при λ < λvkp ) поток энергии вдоль оси волновода имеет вещественное значение, т.е. чисто активный характер. Согласованный волновод в этом диапазоне является чисто активной нагрузкой.
E& vt* ⎞
* ⎛
*
*
&
Для Н-волн, выражая H vt через Evt ⎜ H vt = H * ⎟ , имеем
Wv ⎠
⎝

2
1 E vtm
H
&
S 0vz =
2 WvH *

⎛ λ
1− ⎜ v
⎜λ
1
⎝ kp
=
2
W0

⎞
⎟
⎟
⎠

2

2
E vtm
.

(6.21)

Как и в предыдущем случае, из (6.21) следует, что и для Н-волн в доктрическом режиме S 0Hvz - действительная величина, волновода представляет
собой в отсутствии отражении чисто активную нагрузку.
В обоих случаях при λ → λvkp S 0Evz, H ⇒ 0 и переносе энергии вдоль волновода прекращается. Поэтому критическая частота

f kpv =

1

λvkp ε a µ a

часто называется частотой отсечки.

57

2. Закритический диапазон ( λ > λvkp ).

⎛ λ
В этом случае Г v = ± jk ⎜ v
⎜λ
⎝ kp

ω

Поскольку β Фv =

2

⎞
⎟ − 1 = ± jα + 0 .
v
⎟
⎠

= 0, VФv → ∞ , то поля в закритической области
VФv
имеют квазистатический, а не волновой характер. Они убывают экспоненци2

⎛ λ ⎞
ально с удалением от источника с постоянной затухания α v = k ⎜ v ⎟ − 1 .
⎜λ ⎟
⎝ kp ⎠
Исходя из этого, в приведенном выражении для поля справа от источника
⎛ λ
следует выбрать нижний знак, т.е. k 1 − ⎜ v
⎜λ
⎝ kp
этого знака имеем
2

W = − jW0
E
v

⎛ λ ⎞
⎜⎜ v ⎟⎟ − 1,
⎝ λkp ⎠

jW 0

W =
H
v

2

2

⎞
⎟ = − jk
⎟
⎠

.

⎛ λ
⎜
⎜ λv
⎝ kp

2

⎞
⎟ − 1 . С учетом
⎟
⎠

(6.22)

⎛ λ ⎞
⎜⎜ v ⎟⎟ − 1
⎝ λkp ⎠
Из (6.22) следует, что в закритическом диапазоне волны Е-типа имеют
емкостный характер волнового сопротивления, Н-волны – индуктивный. Соответственно для источника закритические Е-волны создают емкостную нагрузку, Н-волны – индуктивную, что следует учитывать при согласовании
возбуждающих элементов с волноводным трактом.
WvE , H
λ
Графики зависимостей
от
приведены на Рис.6.23.
W0
λvkp
Штриховыми линиями указаны мнимые значения волновых сопротивлений в
закритическом режиме. Естественно, приведенные зависимости соответствуют случаю, когда потери в ВВ отсутствуют.
Для плотности потока энергии в Z-направлении получаем, используя
(6.20) и (6.21),
2

S& 0Evz

⎛ λ ⎞
1
j
2
2
= W& vE H vtm
= − W 0 ⎜ v ⎟ − 1 ⋅ H vtm
.
⎜
⎟
2
2
λ
⎝ kp ⎠
2

2
1 E vtm
H
&
S 0vz =
2 W& vHe

⎛ λ ⎞
⎜
⎟ −1
⎜ λv ⎟
j ⎝ kp ⎠
2
=
⋅ E vtm
.
0
2
W

58

Рис. 6.23.

В обоих случаях поток энергии имеет чисто реактивный характер.

6.7. Электрические (Е) типы волн в
прямоугольном волноводе
Для решения краевой задачи в прямоугольной области воспользуемся
прямоугольной системой координат и сориентируем её так относительно
конфигурации волновода, как показано на рис. 6.24. Размер широкой стенки
– a, узкой – b.

Рис. 6.24.
Краевая задача для собственной функции ψe в рассматриваемом случае
имеет вид

∇ 2ψ ve + ℵv2ψ ve = 0 .

(6.23)

ψ ve = 0 при x=0,a; y=0,b.

(6.24)

Воспользуемся методом разделения переменных (метод Фурье). Предψ ve = X ( x) ⋅ Y ( y ) и подставим в уравнение (6.23):
ставим

59

Y

d2X
dx 2

+X

d 2Y
dy 2

+ ℵv2 XY = 0 .

(6.25)

Разделим обе части (16.3) на XY, разделяя одновременно переменные:

1 d2X
1 d 2Y
2
+ ℵv = −
= ℵ2y .
2
2
Y dy
X dx

(6.26)

Поскольку слева и справа в (6.26) разные переменные, обе эти части
могут быть при выполнении равенства только константой, которая обозначена как ℵ2y . Эта константа имеет смысл постоянной разделения. Положим
также ℵv2 − ℵ2y = ℵ2x . Тогда получим из двойного равенства (6.26) два уравнения:

d2X
dx

+ ℵ2x X
2

= 0,

d 2Y
dy

2

+ ℵ2y Y = 0 .

(6.27)

Запишем общее решение пары уравнений (6.27):

ψ ve = XY = ( A1 cos(ℵ x x ) + B1 sin (ℵ x x )) ⋅

(

(

)

))

(

⋅ A2 cos ℵy y + B2 sin ℵy y .
Используя граничные условия (6.24), получаем
e
ψ ve = ψ mn
= sin

mπx
nπy
⋅ sin
,
a
b

(6.28)

m=1,2,3....., n=1,2,3..... .
e
Общий множитель в ψ mn
положен равным единице. Поскольку
mπ
nπ
ℵ x = ℵ xm =
, a ℵ y = ℵ ym =
, для собственного значения ℵev = ℵemn
a
b
имеем

ℵemn

2

2

⎛ mπ ⎞
⎛ nπ ⎞
= ⎜
⎟ +⎜
⎟ .
⎝ a ⎠
⎝ b ⎠

Критическая длина волны λemn при этом рассчитывается как

60

λemn =

2π
ℵemn

=

2ab

(na )

2

+ (mb )

2

(6.29)

.

Используя приведенные выше правила (поперечное распределение Ez
r
e
e
( x, y ) , линии H tmn совпадают с линиями уровня ψ mn
, линии
совпадает с ψ mn
r
e
Etmn соответствуют gradψ mn
) построим структуру поля волн Е-типа в прямоугольных волноводах при низших индексах.
1. Наибольшая критическая длина волны оказывается у Е11-волны:
e
λ11
=

2ab
a2 + b2

e
, ψ 11
= sin

πx
a

sin

πy
b

e
, получаем структуру поля волны Е11 в поперечИспользуя рельеф ψ 11
ном и продольном сечениях волновода, изображенную на Рис.6.25 (сплош-

Рис. 6.25.
r
r
ные линии напряженности E , штриховые - H ).
2. При увеличении индексов m и n картина поля Е11 мультиплицируется
m раз по Х и n раз по Y. Для примера на Рис.6.26 изображена структура поля
Е33.

Рис. 6.26.

6.8. Магнитные волны в прямоугольном волноводе
Краевая задача для ψ vm имеет вид

∇ 2ψ vm + ℵv2ψ vm = 0 ,

(6.30)
61

∂ψ vm
∂ψ vm
= 0 при х=0,а;
= 0 при y=0,b.
∂x
∂y

(6.31)

Используя, как и ранее, метод разделения переменных, получаем общее
решение (17.1) в виде

ψ vm = ( A1 cos(ℵ x x ) + B1 sin (ℵ x x ))(A2 cos(ℵ y y ) + B2 sin (ℵ y y )) .
Применяя граничные условия (17.2), имеем
m
ψ mn
= cos

ℵm
mn

mπx
nπy
cos
, m=0,1,2,3....., n=0,1,2,3......,
a
b
2

2

⎛ mπ ⎞
⎛ nπ ⎞
= ⎜
⎟ ,
⎟ +⎜
⎝ a ⎠
⎝ b ⎠

λmmn =

2π
ℵm
mn

=

2ab

(na )2 + (mb )2

Построим структуру полей Н-волн в прямоугольном волноводе, используя установленные выше правила: поперечное распределение Нz совпаr
r
m
m
( x, y ) , линии Etmn совпадают с линиями уровня ψ mn
, линии H tmn
дает c ψ mn
m
соответствуют grad ψ mn
.

1. При a>b наибольшей критической длиной волны λmmn обладает волна
m
H 10 = λ10
= 2a . Распределение силовых линий волны представлено на
рис. 6.27.

Рис. 6.27.
2. Волна Н01 имеет критическую длину волны λm
01 = 2b . Её структура
изображена на Рис.6.28, она аналогична структуре волны Н10, но развернута
на 90° относительно плоскости XZ.
3. На Рис.6.29 изображена поперечная структура волны Н11. Её крити2ab
m
.
ческая длина λ11
=
2
2
a +b

62

Рис. 6.28.

Рис. 6.29.

Рис. 6.30.

4. Поперечная структура волны Н22 изображена на Рис.6.30. Она представляет собой двухкратную мультипликацию структуры волны Н11 в Х- и Yнаправлениях.

6.9. Вырождение волн в прямоугольном волноводе.
Доминантная волна и рабочий диапазон
прямоугольного волновода
Как указывалось раньше, случай, когда одному собственному значению
ℵv соответствует две и более различных собственных функций ψ v , называется вырождением. Для прямоугольного волновода при ненулевых индексах
m и n имеет место именно такой случай:
H
ℵmn

E
= ℵmn

2

2

⎛ mπ ⎞
⎛ nπ ⎞
= ⎜
⎟ +⎜
⎟ ,
⎝ a ⎠
⎝ b ⎠

т.е. граничные условия первого рода (6.24) и второго рода (6.30) дают одинаe
m
и ψ mn
различны. С технической
ковые собственные значения. При этом ψ mn
точки зрения существенно, что критические длины волны λemn и λmmn одинаковы:

λemn = λmmn =

2ab

(na )

2

+ (mb )

2

= λ mn .

63

Вследствие этого и дисперсионные зависимости постоянных распространения волн Нmn и Emn одинаковы:
2

H
Г mn

=

E
Г mn

⎛ λ ⎞
⎟⎟ = Г mn .
= k ⋅ 1 − ⎜⎜
λ
⎝ mn ⎠

Таким образом, можно говорить о ЕН волнах, хотя возможно раздельное возбуждение Emn и Нmn волн ввиду различия структуры полей этих волн.
Однако существующие в реальных устройствах неоднородности (специальные или случайные) приведут к преобразованию Emn волн в Нmn и наоборот.
Благодаря одинаковым фазовым скоростям эти преобразования будут иметь
кумулятивный характер.
При конструировании СВЧ-устройств рабочий диапазон волновода
следует выбирать так, чтобы в нем распространялась только одна волна, другие же были закритическими. В качестве такой волны волновода должна
быть выбрана доминантная (основная) волна волновода с наибольшей критической длиной волны. В случае a>b в прямоугольном волноводе такой волной является волна Н10. Если a>2b (что выполняется для всех стандартных
конфигураций прямоугольного волновода), то ближайшей мешающей (параH
зитной) волной будет Н20. Следовательно, в диапазоне λ10
= 2a < λ < λ H
20 = a
может распространятся только доминантная волна Н10. Рабочий диапазон,
однако, меньше октавы: вблизи λ=2а слишком сильна дисперсия и связанные
с ней фазовые искажения сигналов и критичность настроек, вблизи λ=а усиливается реактивность, связанная с высшими типами волн и возникает опасность паразитной связи между элементами тракта на этих волнах, которые
становятся слабо закритическими и медленно затухают вдоль оси волновода.

6.10. Электрические (Е) волны в волноводах
с круговыми сечением
Воспользуемся цилиндрической системой координат, как это показано
на рис.6.32.

Рис. 6.32.

64

Краевая задача для функции ψ ve (r , ϕ ) в рассматриваемом случае имеет
вид

∇ 2ψ ve + ℵv2ψ ve = 0 ,

(6.32)

ψ ve (a ) = 0 ,

(6.33)

а – внутренний радиус волновода.
В полярной системе координат r, ϕ (h1=1, h2=r) имеем

∇

2

ψ ve

e
1 ⎧⎪ ∂ ⎛⎜ ∂ψ v
r
= ⎨
r ⎪⎩ ∂r ⎜⎝ ∂r

⎞ ∂ ⎛ 1 ∂ψ ve
⎜
⎟+
⎟ ∂ϕ ⎜ r ∂ϕ
⎝
⎠

2 e
⎞⎫⎪ ∂ 2ψ ve 1 ∂ψ ve
1 ∂ ψv
⎟⎬ =
.
+
+ 2
2
⎟⎪ ∂r 2
r
∂
r
r
∂
ϕ
⎠⎭

Таким образом, уравнения (6.32) в системе координат r, ϕ записываются как
2 e
∂ 2ψ ve 1 ∂ψ ve
1 ∂ ψv
+
+ 2
+ ℵv2ψ ve = 0 .
(6.34)
2
2
r ∂r
∂r
r ∂ϕ
Воспользуемся методом разделения переменных и представим искомые
решения ψ ve = R(r ) ⋅ Φ(ϕ ) . Подставляя его в (6.34), получаем

⎡ d 2 R 1 dR ⎤
R d 2Φ
2
.
Φ⎢ 2 +
⎥ + ℵv RΦ = − 2
2
r
dr
dr
r
d
ϕ
⎣
⎦

(6.35)

r2
, получаем разделенные по переменУмножая обе части (6.35) на
RΦ
ным уравнения:
r2
R

⎡ d 2 R 1 dR ⎤
1 d 2Φ
2 2
= λ2
⎢ 2 +
⎥ + ℵv r = −
2
r dr ⎦
Φ dϕ
⎣ dr

Здесь λ2 - постоянная разделения. Запишем уравнения для Ф:

d 2Φ
dϕ

2

+ λ2 Φ = 0 .

Решение этого уравнения имеет вид

Φ = cos(λϕ + α ) .

65

Поскольку условие замкнутости по ϕ требует

Φ(ϕ ) = Φ(ϕ + 2π ) ,
заключаем, что λ=n, n=0,1,2,... .
Для краткости записи положим также постоянную отсчета по ϕ α=0. Таким
образом, частное решение для Ф запишем как Фn(ϕ)=cos nϕ .
Уравнение для R теперь имеет вид

d 2 Rn
dr 2

1 dRn ⎛⎜ 2 n 2 ⎞⎟
+
+ ℵn − 2 ⎟ Rn = 0 .
r dr ⎜⎝
r ⎠

(6.36)

Уравнение (6.36) представляет собой известное уравнение Бесселя, имеющее
в качестве решений функции Бесселя первого рода n-го порядка Jn(ℵ n r) и
функции Бесселя второго рода n-го порядка Nn(ℵ n r) (функции Неймана). На
Рис.6.33 представлен характер зависимостей Jn(ℵ n r) и Nn(ℵ n r).

Рис. 6.33.
Очевидно, что поскольку Nn(ℵ n r)→ - ∞ при r→ 0, эти функции должны быть
исключены из решения, поскольку ψ ne при r→ 0 не должна обращаться в бесконечность. Таким образом, Rn= Jn(ℵ n r) и соответственно

ψ ne = J n (ℵn r ) cos nϕ .
Используем теперь граничное условие (6.33):
66

J n (ℵn a ) = 0 .
Обозначим v ni i-й корень функции Бесселя Jn (x) : Jn (vni)=0. Тогда ℵeni a = v ni
и собственное значение ℵeni находится как

ℵeni =

v ni
.
a

(6.37)

Критические длины волн типов E ni в соответствии с (19.6) определяются в виде

λeni =

2πa
e
v ni

,

(6.38)

а собственная функция имеет следующую форму:

ψ nie

e
⎛ v ni
⎜
= Jn
⎜ a
⎝

⎞
r ⎟ cos nϕ .
⎟
⎠

(6.39)

Используя (6.39) и правила изображения поля, проанализируем структуру некоторых типов Е-волн.
1. Структура волны E01 в поперечном и продольном сечениях изображена на рис.6.34.

Рис. 6.34.
Это основная волна типа Е с наибольшей критической длинной волны
2πa
λe01 =
. Первый нулевой индекс указывает, что волна азимутальноv 01
симметричная.
2. Волна Е11 – несимметричная. Её структура в поперечном и продольном сечениях изображена на рис.6.35.

67

Рис. 6.35.
3. Увеличение азимутального индекса n приводит к азимутальному
развитию структуры поля. Поперечные структуры волн Е21 и Е41 приведены
соответственно на Рис.6.36 и 6.37.

Рис. 6.36.

Рис. 6.37.

4. Увеличение радиального индекса i дает радиальное развитие структуры поля. Для иллюстрации на рис.6.38 приведен сектор структуры волны
Е24.
/

Рис. 6.38.

6.11. Магнитные (Н) волны в круглом волноводе
В рассматриваемом случае краевая задача для ψ vm имеет вид

∇ 2ψ vm + ℵv2ψ vm = 0 ,

(6.40)

68

∂ψ vm
∂n

r =a

= 0,

(6.41)

где а – внутренний радиус волновода.
Общее решение (6.40) получено в предыдущем разделе:

ψ nim = J m (ℵni r ) cos nϕ .
Подчиним это решение условию (6.41):

J m′ (ℵni a ) = 0 ,

µ ni

, где µ ni - i-й корень производной по аргументу
a
J m′ (µ ni ) = 0 . Таким образом, в рассматриваемом случае Н-волн собственная

откуда следует, что ℵni =

функция ψ vm выражается как

⎛ µni ⎞
r ⎟ cos nϕ
⎝ a ⎠

ψ nim = J n ⎜

(6.42)

Собственное значение ℵni =
волны λmni

µ ni

, соответственно критическая длина
a
определяется следующим образом:

λmni =

2π

χ ni

=

2πa

µ ni

.

Используя (6.42) и правила построения структуры Н-волн, рассмотрим
структуру некоторых типов Н-волн в круглом волноводе.
1.Структура волны Н01 изображена на Рис.6.39. Нулевой азимутальный
индекс указывает на то, что волна – азимутально-симметричная.

Рис. 6.39.

69

Рис. 6.40.
2. Несимметричная волна Н11 изображена на Рис.6.40. Это волна явля2πa
m
=
максимальна среется доминантной – её критическая длина волны λ11

µ11

ди других, как Нni, так и Еni волн.
3. Азимутальное развитие структуры Н-волн с увеличением азимутального индекса n иллюстрируется на Рис.6.41 (Н21 волна) и Рис.6.42 (Н41 волна).

Рис. 6.41.

Рис. 6.42

Н-волны с высоким азимутальным индексом нашли применение в гиротронах – сверхмощных генераторах миллиметрового диапазона на циклотронном резонансе. Эти волны также называются модами шепчущей галереи – по
аналогии с известным акустическим феноменом Тадж-Махала.
4. Радиальное развитие структуры поля Н-волн с увеличением радиального индекса i иллюстрируется на Рис.6.43, где приведен сектор распределения поля волны Н24.

Рис. 6.43.
Остановимся на спектре собственных волн круглого волновода и определим его рабочий диапазон. Как следует из (6.38) и (6.43), распределение

70

2πa m 2πa
, где
, λ ni =
µ ni
vni
vni , µ ni - соответственно корни функций Бесселя n-го порядка (v ni ) и их производных (µ ni ) . Поскольку J 0′ ( x ) = − J 1 ( x ), µ 0i ≡ v1i и критические длины
волн Н0i и Е1i одинаковы. Для других значений n вырождение отсутствует.
2πa
m
=
. БлиНаибольшую критическую длину волны имеет волна Н11: λ11
1,84
2πa
. Поэтому максимальный рабожайшая к ней – волна Е01. Для нее λe01 =
2,405
2πa
2πa
. При
чий диапазон круглого волновода определяется как
<λ<
2,405
1,84
критических длин волн определяется формулами λeni =

этом отношение

λ max
= 1,3 . Нетрудно заметить, что доминантная волна кругλ min

лого волновода является прообразом волны Н10 прямоугольного. На Рис.6.44
показана трансформация круглого волновода в прямоугольный и соответственно волны Н11 круглого волновода в волну Н10 прямоугольного.

Рис. 6.44.

6.12. Потери и затухание волн в волноводах
Можно выделить три группы факторов, приводящих к потерям электромагнитной энергии в волноводе.
1. Потери в среде, заполняющей волновод P cp .

( )

( )

2. Неидеальная проводимость стенок P σ .
3. Излучение через щели и окна связи в стенках, а также через элементы связи с внешними цепями P Σ .
Третий вид потерь имеет специфический характер и связан с конкретными
конструкциями. Поэтому мы остановимся на первых двух видах потерь.
P cp . Полагаем P σ = 0, P Σ = 0 .
1. Потери в среде
В случае электрических и магнитных потерь в среде εa и µa являются комплексными:

( )

( )

ε&a = ε a′ − jε a′′ = ε a e − j∆ E ,
71

µ& a = µ a′ − jµ a′′ = µ a e − j∆ M ,
где ∆E, ∆M - соответственно углы диэлектрических и магнитных потерь.
Волновое число для свободного пространства также оказывается комплексным:
−j
k& = ω µ& a ε&a = ω µ a ε a e

∆ E +∆M
2

.

Соответственно постоянная распространения для любой собственной
волны в волноводе также будет комплексной:

Γ& v = k& 2 − ℵv2 = β v − jα v .

(6.44)

Обратим внимание на то, что ℵv2 , как было доказано выше, действительное положительное число.
Под индексом собственной волны v понимается сочетание индексов m,
n (прямоугольный волновод) или n, i (круглый волновод).
Из (6.44) получаем

β v2 − α v2 − j 2α v β v = ω 2ε a µ a e− j( ∆

E +∆ M

)

−ℵv2 ,

или

2α v β v = ω 2ε a µ a siп(∆ E + ∆ M ) ,

β v2 − α v2 = ω 2ε a µ a cos(∆ E + ∆ M ) − ℵv2
В практически важных случаях αv<<βv, cos(∆E+∆M)→1, sin(∆E+∆M)≈
∆E+∆M. В этом случае получаем

β v = ω 2ε a µ a − ℵv2 ,

ω 2ε a µ a (∆ E + ∆ M ) π
αv =
=
λ
2β v

∆E + ∆M
⎛ λ ⎞
⎟
1− ⎜
⎜ λ kpv ⎟
⎠
⎝

2

.

( )

2. Потери в металле P σ . P cp = 0, P Σ = 0 .
Применим энергетический подход, основанный на использовании теоремы
об активной мощности.
Представим компоненты собственной волны следующим образом:

72

&
E& v = Ev0 ( q1 , q2 ) e− jΓ v Z = Ev0 ( q1 , q2 ) e− jβv Z e−αV Z ,
&
− jβ Z
H& v = H v0 ( q1 , q2 ) e − jΓv Z = H v0 ( q1 , q2 ) e v e −αV Z .

где q1, q2 - поперечные, в общем случае криволинейные координаты.
Рассчитаем мощность, переносимую v-й волной через поперечное сечение волновода S⊥, используя определение плотности потока энергии – век1
тор Умова-Пойнтинга S&0 v = ⎡ E& v , H& v* ⎤ :
⎦
2⎣
r
r
r&
r&
r
1
&
P&zv = Re ∫ S0 v Z 0 dS⊥ = e −2α v Z Re ∫ ⎡⎢ E0 v , H 0*v ⎤⎥ Z 0 dS⊥ .
⎦
2S ⎣
S
⊥

Образуем производную

⊥

dPzv
:
dz

dPzv
= −2α v Pzv (считаем, что S⊥=Const).
dz
Таким образом, постоянную затухания α v можно определить как
dPzv
1
α v = − dz .
(6.45)
2 Pzv
dP
Для определения zv , входящей в (6.45), воспользуемся теоремой об
dz
активной мощности для собственной волны в волноводе (источники находятся вне рассматриваемого объема, Pa=0).
Рассмотрим элементарный объем внутри волновода (Рис.6.45)

Рис. 6.45.
Полная замкнутая поверхность, ограничивающая выделенный элементарный объем,
S=dSбок+S⊥1+S⊥2.

73

r
r
r
r
r
r
причем S ⊥1 = n S ⊥1 = − Z 0 S ⊥1 , S ⊥ 2 = n S ⊥ 2 = Z 0 S ⊥ 2 .
Применим в рассматриваемом случае теорему об активной мощности

r& r
Re ∫ S 0v dS = 0 ,
S

или

[

]

r r r
1
− Pzv1 + Pzv 2 + Re ∫ E& v H& v* n dldz = 0 ,
2 l

(6.46)

где l - контур сечения волновода.
Ввиду бесконечной малости dz можно записать

Pzv 2 = Pzv1 +

dPzv
dz .
dz

Тогда из (6.44) получаем
r&
r&
dPzv
1
r
= − Re ∫ ⎡⎢ Ev , H v* ⎤⎥ nd l .
⎦
dz
2l⎣

(6.47)

Воспользуемся приближенным граничным условием Леонтовича на
поверхности неидеального проводника:

r r& ⎤
r r& ⎤ ⎤
⎡ nE
& 0 ⎡ nr ⎡ nH
=
−
W
.
σ
S
⎢⎣ ⎥⎦
⎢⎣ ⎢⎣ v ⎥⎦ ⎥⎦ S
где W&σ0 =

µa

σ
ε a′ − j
ω

(6.48)

- волновое сопротивление неидеального проводника.

С учетом (6.48) подинтегральное выражение в уравнении (6.47) можно
преобразовать следующим образом:

[Er , Hr ]nr = −W&σ (nrH&
v

*
v

0

vn

)

r r
− H& v H& v* = W&σ0 H v2τ m .

Учитывая также, что для хорошо проводящей среды ε a′ <<

σ
и поэтоω

π fµ a
му W&σ0 ≈ (1 + j )
, окончательно получаем вместо (6.47)
σ

74

dPzv
1 πfµ a
=−
H v2τ m dl .
∫
dz
2 σ l
Используя полученный результат в (6.45), приходим к следующей
формуле постоянной затухания, связанной с потерями в металлических стенках волновода:
H v2τ m d l
∫
1 π f µa
l
.
(6.49)
αv =
r r r
2
σ Re ⎡ E& H& * ⎤Z dS
∫ ⎢⎣ v v ⎥⎦ 0 ⊥
S⊥

Заметим, что поскольку плотность поверхностного тока в стенках волr
r r
2
новода δ sv = n , H v , то H v2τ m ≡ δ Svm
, что несколько поясняет физический
смысл формулы (6.49): потери обусловлены токами, текущими в неидеально
проводящих стенках волновода.
Типичные частотные зависимости αv для различных типов волн приведены на Рис. 6.46:

[

]

Рис. 6.46.
1 – волна Н10 для прямоугольного волновода,
2 – Н11 для круглого волновода,
3 – Н01 для круглого волновода.
f
= 1 α v резко возрастает для всех волн. Формально это свяВблизи
fv
r& r& r
зано с тем, что знаменатель в формуле (6.49) 2 Pvz = Re ∫ ⎡⎢ Ev H v* ⎤⎥Z 0 dS ⊥ суще⎣
⎦
S⊥
r r
ственно уменьшается (если принять, что E& v H& v те же, что и в волноводе без
потерь, то 2 Pvz ≈ 1 −

fv
f
→ 0 при v → 1 ).
f
f

75

Картина парциальных волн Бриллюэна дает в этом случае простое фиf
зическое объяснение: при v → 0 угол отражения от стенок Θv→ 0 и число
f
отражений парциальных волн от стенок неограниченно возрастает на конечном отрезке волновода; при каждом отражении малая, но конечная часть
энергии проходит в стенку. В результате погонные потери неограниченно
возрастают. Это, конечно, идеализированные представления, не учитывающие изменение структуры поля вблизи неидеального проводника. На самом
f
деле αv не обращается в бесконечность при v = 1 и остается конечной, хотя
f
и достаточно большой величиной. Строго говоря, частота отсечки fv при конечной проводимости стенок не существует, поскольку при любой частоте
есть поток энергии в направлении стенок, а следовательно, и продольный поток энергии.
f
При увеличении
α v для волн Н10 (1) и Н11 (2) начинает вновь моноfv
тонно возрастать. Это связано с тем, что с ростом частоты возрастает Wσ0 и
поэтому улучшается «согласованность» стенки и внутренней среды, заполняющей волновод. В результате все большая часть энергии уходит в стенку.
Однако для симметричной волны Н01 в круглом волноводе это не так: с
f
α v асимптотически стремится к нулю. Такая аномальная зависиростом
fv
мость связана со структурой поля волны Н01 у стенки волновода: здесь имеf
непрерывно
ется только одна составляющая Нz, которая при росте
fv
уменьшается по отношению к составляющей Нt, определяющей продольный
поток мощности волны. Соответственно при заданной переносимой волной
мощности уменьшаются и азимутальные токи в стенках. Конечно, на практике реализовать такое уникальное свойство волны Н01 (и вообще волн Н0i) не
просто: незначительная эллиптичность волновода или его изгиб приводят к
преобразованию волн Н0i в несимметричные, которые имеют значительные
потери. За счет такого преобразования α01 волны Н01 возрастает.

76

ГЛАВА VII
ВОЗБУЖДЕНИЕ РЕГУЛЯРНЫХ ВОЛНОВОДОВ
СТОРОННИМИ ИСТОЧНИКАМИ
7.1. Лемма Лоренца. Теорема взаимности
Выведем из уравнений Максвелла тождество, связывающее два гармонических поля, не существующие одновременно, но возбуждаемые в одном и
том же пространстве.
r&
r&
Пусть источник сторонних токов с плотностью δ e1 , δ m1 возбуждает
r&
r&
r r
r r
поле E&1 , H& 1 , а источник δ e 2 , δ m 2 - поле E& 2 , H& 2 . Запишем для того и другого поля систему УМ в комплексной форме:

r
r
r
⎧⎪ rot H& = jωε& E& + δ& ,
a 1
r&e1
r& 1
r&
⎨
⎪⎩rot E1 = − jωµ& a H 1 − δ m1 ,

(7.1)

r
r
r
⎧⎪ rot H& = jωε& E& + δ& ,
a 2
r&e 2
r& 2
r&
⎨
⎪⎩rot E 2 = − jωµ& a H 2 − δ m 2 .

(7.2)

r&
Умножим скалярно первое уравнение системы (7.1) на E2 , второе на
r&
r&
r&
H 2 ; первое уравнение (7.2) - на - E1 , второе - на - H1 и получившееся сложим. В результате получим

{

}(

) (

)

r& r&
r& r&
r& r&
r& r&
r&
r&
r&
r&
div ⎡⎢ E1 , H 2 ⎤⎥ − ⎡⎢ E2 , H1 ⎤⎥ = δ e1E2 − δ e 2 E1 − δ m1H 2 − δ m 2 H1 .
⎣
⎦ ⎣
⎦

(7.3)

Перейдем к интегральной формулировке, используя теорему Остроградского-Гаусса:

∫{
S

=∫
V

r
=
} ndS

r
r
r
r
⎡ E& , H& ⎤ − ⎡ E& , H& ⎤
2⎥ ⎢ 2
1⎥
⎣⎢ 1
⎦ ⎣
⎦

{(

)}

) (

r& r
r& r
r& r
r& r
δ e1E& 2 − δ e 2 E&1 − δ m1H& 2 − δ m 2 H& 1 dV .

(7.4)

Уравнение (7.4) и представляет собой формулировку леммы Лоренца.
Заметим, что при выводе леммы Лоренца полагались равными нулю
r& r&
r& r&
r& r&
r& r&
разности µ& a H1 H 2 − µ& a H 2 H1 , ε&a E1 E2 − ε&a E2 E1 .

(

)

(

)

( ) ( )

77

Это справедливо лишь при выполнении двух условий:
r&
r&
1) ε&a ≠ ε&a E1,2 , µ& a ≠ µ& a H1,2 ;

(t )t

( )

2) ε&α ≠ ε& , µ& α ≠ µ& α .
Таким образом, лемма Лоренца в приведенной формулировке справедлива только для линейных и изотропных сред, что не следует забывать при ее
применении.
Рассмотрим лемму Лоренца в безграничном пространстве, т.е. при S→ ∞.
В соответствии с теоремой единственности все источники должны оставаться
на конечном расстоянии от центра S, а

∫{
S

}

r r
r r
r
⎡ E& , H& ⎤ − ⎡ E& , H& ⎤ ⋅ ndS
→ 0 при S→ ∞ ,
1
2
2
1
⎣⎢
⎦⎥ ⎣⎢
⎦⎥

тогда получаем

∫ {(

V

r& r

r& r

) (

r& r

r&

r

)}

δ e1E& 2 − δ e 2 E&1 − δ m1H& 2 − δ m 2 H& 1 dV = 0 .

(7.5)

Уравнение (7.5) представляет собой общую формулировку теоремы
взаимности. Чтобы прояснить ее смысл и возможности, рассмотрим частный
r&
r&
случай: δ m1 = δ m 2 = 0 , а электрические токи заданы на элементарных диполях:
r
r
r&
l1,2 I&m1,2
P1,2 = l1,2 q&1,2 =
и l << λ. Тогда из (7.5) следует
jω
r& r&
r& r&
jω P1E2 (1) − jω P2 E1 ( 2 ) = 0

(7.6)

или

r& r&
r& r&
P1E2 (1) − P2 E1 ( 2 ) .
r&
r& r&
r&
Здесь E2 (1) - поле E2 в точке 1, где расположен диполь P1, E1 ( 2 )
r&
r&
r&
поле E1 в точке 2, где расположен диполь P2 , E2 возбуждается диполем
r&
r& r&
P2 , E1 − P1 .
r&
r&
r& r&
P1E2 (1) - действие диполя P2 на диполь P1 посредством возбуждаеr&
r&
r&
r& r&
мого им поля E2 , P2 E1 ( 2 ) - действие диполя P1 на P2 .
Таким образом, смысл теоремы взаимности: действие диполя 1 на диполь 2 равно действию диполя 2 на диполь 1. Использование этой теоремы
может быть очень широким, особенно в антенной технике. В частности, из
78

теоремы единственности следует, что свойства антенны при работе на прием
и на передачу одинаковы. Соотношения типа (7.6) имеют место и для магнитных диполей:
r& r&
r& r&
M 1H 2 (1) = M 2 H1 ( 2 ) .
Имеют место, естественно, и смешанные теоремы единственности для
электрических и магнитных диполей:
r& r&
r& r&
P1E2 (1) = − M 2 H1 ( 2 ) .
Не следует, однако, забывать, что теорема взаимности, как и лемма Лоренца, из которой она следует, справедлива только для линейных и изотропных сред.

7.2. Ортогональность собственных волн в
регулярных волноводах

r
Напомним, что регулярный волновод, такой, что ε&a = ε&a ( r⊥ ) ,
r
µ a = µ a (r⊥ ) и не зависит от Z, и контур сечения волновода l≠ l(z). Собственные волны – свободно распространяющиеся волны в регулярном волноводе
на частоте ω вне области источников. Их можно представить упорядоченно и
каждой приписать номер S.
r&
r&
Волна с номером S имеет компоненты H S , ES и постоянную распространения в +Z направлении hS (ω). Волне того же типа, но распространяющейся в -Z направлении, припишем номер -S. Её постоянная распространения
h-S= - hS.
Запишем компоненты попутной (+Z) и встречной (-Z) волн в следующей форме:
r&
r
r&
r
ES = ES0 ( q1, q2 ) e − jhS Z , H S = H S0 ( q1, q2 ) e − jhS Z ;
r&
r
r&
r
E− S = E−0S ( q1, q2 ) e jhS Z , H − S = H −0S ( q1 , q2 ) e jhS Z ,

r
r
r
r
причем, E−0 S = m E S0 , H −0 S = ± H S0 .
Собственные волны на боковой металлической поверхности Sδ волновода
удовлетворяют условиям
r r& ⎤
⎡ nE
(7.7)
⎢⎣ S ⎥⎦ Sδ = 0
в идеальном случае.
Запишем лемму Лоренца для двух собственных волн с индексами S и
r&
r&
r&
r&
r&
r&
r
r
S’. В качестве E1, H1 возьмем ES , H S , в качестве E2 , H 2 - E S' , H S' . Учr
r
r
r
тем, что для собственных волн δ e1 = δ e 2 = δ m1 = δ m 2 = 0 .
Тогда из (7.4) имеем

79

∫{
S

r
=0
} ndS

r r
r r
⎡ E& H& ⎤ − ⎡ E& H& ⎤
⎣⎢ S S ′ ⎦⎥ ⎣⎢ S ′ S ⎦⎥

(7.8)

Выберем объем V и границу S в волноводе, как показано на рис.7.1

Рис. 7.1.
Как следует из рис.7.1, S=Sδ+S⊥1+S⊥2. Используя (7.7), получаем:

{

}

r r
r r
r
⎡ E& H& ⎤ − ⎡ E& H& ⎤ ndS
=
′
′
S
S
S
S
⎢⎣
⎥⎦ ⎢⎣
⎥⎦

{

}

r r& ⎤ r&
r r& ⎤ r&
⎡ nE
⎡ nE
H
(7.9)
−
′
S
S
∫
∫ ⎢⎣ ⎥⎦
⎢⎣ S ′ ⎥⎦ H S dS = 0
Sδ
Sδ
r
Учитывая (7.9), а так же тот факт, что на S⊥1 n = − Z 0 получаем из (7.8)
J SS ′ (Z 2 ) − J SS ′ (Z1 ) = 0 ,
J SS ′ =

∫{

S⊥

(7.10)

}

r r
r r
⎡ E& H& ⎤ − ⎡ E& H& ⎤ Z dS ,
⎢⎣ S S ′ ⎥⎦ ⎢⎣ S ′ S ⎥⎦ 0 ⊥

S⊥ - площадь поперечного сечения волновода.
Для регулярного волновода ни S⊥, ни поперечные распределения полей
не зависят от Z. Поэтому можно записать

J SS ′ (Z 2 ) = J SS ′ (Z1 )e − j (hS + hS ′ )(Z 2 − Z 1 ) .
Таким образом, (7.10) может выполняться только в двух случаях:
1) J SS ′ (Z ) = 0 при любых Z;
2) hS ′ = −hS или S ′ = − S .
В результате получаем условие ортогональности собственных волн регулярных волноводов в форме

J SS ′ =

∫{

S⊥

}

r r
r r
⎡ E& H& ⎤ − ⎡ E& H& ⎤ Z dS = 0 при S ′ ≠ − S .
⎣⎢ S S ′ ⎦⎥ ⎣⎢ S ′ S ⎦⎥ 0 ⊥

80

Назовем нормой S-й волны значение NS = JS, -S = -J-S, S .
Рассмотрим физический смысл NS и введем полезное для дальнейших
расчетов энергетическое соотношение. Составим выражение для NS:

NS =

∫{

S⊥

=

r
{
[
E
∫

}

r r
r r
r
⎡ E& H& ⎤ − ⎡ E& H& ⎤ Z dS =
⎣⎢ S − S ⎦⎥ ⎣⎢ − S S ⎦⎥ 0 ⊥
r

0 0
S HS

] + [Er Hr ]}Zr dS
0
S

0
S

0

⊥

S⊥

(7.11)

{[

]}

r r r
= 2 ∫ E S0 H S0 Z 0 dS ⊥ .
S⊥

С другой стороны, средняя за период мощность, переносимая S-й волной с комплексной амплитудой C& S через поперечное сечение волновода S⊥
рассчитывается через вектор Умова-Пойнтинга как

r&
r& r
r& r& r
1
1
2 NS
PS = Re ∫ ⎡⎢C& S ES , C& S* H S* ⎤⎥ Z 0 dS ⊥ = ∫ C& S C& S* ⎡⎢ ES , H S* ⎤⎥ Z 0 dS ⊥ = CSm
⎦
⎣
⎦
2 S ⎣
2S
4

(

⊥

)

⊥

Таким образом, N S =

4 PS
2
C Sm

.

7.3. Уравнения возбуждения регулярных
волноводов сторонними токами
Представим вектора поля и тока в виде суммы поперечных и продольных составляющих:
r& r&
r&
E = Et + El ,

r& r&
H = H t + H& l ,

r&

r&

r&

δ e = δ et + δ el ,

r&

r&

r&

δ m = δ mt + δ ml ,

где вектора с верхними индексами t-поперечные, l-продольные.

r r
Теперь воспользуемся свойствами собственных функций: E& St , H& St для
S⊥ образуют полную систему в классе поперечных векторов (М.В. Келдыш,
r r
ДАН СССР. 1951, т.87, с.95). Ввиду этого свойства решение для E& t , H& t

{ } { }

r
r
можно искать в виде разложения по полной системе E& St и H& St :

)

(

r
r
r
E& t = ∑ C& S E& St + C& − S E& −t S ,
S

(

(7.12)

)

r
r
r
H& t = ∑ C& S H& St + C& − S H& −t S .
S

(7.13)

81

Здесь C& ± S - амплитуды возбужденных волн.
Используя поперечные и продольные составляющие уравнений Максвелла можно показать (см. А.А. Кураев, «Сверхвысокочастотные приборы с
периодическими электронными потоками», Мн., Наука и Техника, 1971, с.2223), что разложение для продольных составляющих имеет вид:

r& l
r& l
r& l
r& l
δ
E = ∑ C& S ES + C& − S E− S − e ,
jωε&a
S

(7.14)

r& l
r& l
r& l
r& l
δ
H = ∑ C& S H S + C& − S H − S − m
jωµ& a
S

(7.15)

)

(

)

(

Полное разложение поля теперь может быть записано в виде

⎧ r&
⎪ E=∑
⎪
S
⎨
⎪ r&
⎪H = ∑
S
⎩

r& l
r&
r&
δ
C& S ES + C& − S E− S − e ,
jωε&a
r& l
r&
r&
δ
C& S H S + C& − S H − S − m .
jωµ& a

(

)

(

)

(7.16)

Для определения C& ± S (Z ) воспользуемся леммой Лоренца.
Рассмотрим отрезок волновода, включающий весь объем источников
V=V2+V2 между поперечными сечениями Z=0, Z0. Текущее сечение Z делит V

Рис. 7.2.
на V1 и V2 (Рис.7.2).
Запишем
лемму
r&
r&
r& r&
r& r& r&
E1, H1 → E , H , δ1e = δ e , δ 1m
r r
r
r
⎡ E& , H& ⎤ − ⎡ E& , H& ⎤
∫ ⎣⎢ − S ⎦⎥ ⎣⎢ − S ⎦⎥
S1

{

}

Лоренца
для
объема
V 1,
полагая
r&
r&
r&
r& r&
r&
r&
= δ m , E2 , H 2 → E− S , H − S , δ e 2 = 0, δ m 2 = 0 :
r& r&
r& r&
r
ndS = ∫ δ e E− S − δ m H − S dV1 .
(7.17)
V1

(

)

Аналогичным образом запишем лемму Лоренца для объема V2, полагая
r&
r&
r&
r&
r&
r&
r& r&
r& r&
r& r&
r& r&
E1, H1 → E , H , δ1e = δ e , δ 1m = δ m , E2 , H 2 → ES , H S , δ e 2 = δ m 2 = 0 :

82

∫{

S2

}

r r
r r r
⎡ E& , H& ⎤ − ⎡ E& , H& ⎤ ndS
=
S⎥ ⎢ S
⎣⎢
⎦ ⎣
⎦⎥

∫(

r& r

r& r

)

δ e E& S − δ m H& S dV2 .

V2

(7.18)

Учтем следующие три обстоятельства

r&
r&
1) По условиям излучения на S⊥0 есть только C& − S E− S , C& − S H − S , на
r&
r&
r&
r&
S ⊥ Z 0 − C& S ES , C& S H S ; на S⊥ есть C& S ES , C& S H S излучаемые из V1 и
r&
r&
C& − S E− S , C& − S H − S , излучаемые из V2;
2)

∫{

Sδ

(7.7);
.

}

r r
r r r
⎡ E& , H& ⎤ − ⎡ E& , H& ⎤ ndS
= 0 в соответствии с граничным условием
S
⎢⎣
⎥⎦ ⎢⎣ S ⎥⎦

r r& r&
r&
r r&
3) Z 0 ⎡⎢δ el , H m S ⎤⎥ = H m S ⎡⎢ Z 0 , δ el ⎤⎥ ≡ 0,
⎣
⎦
⎣
⎦

r r& r&
Z 0 ⎡⎢δ ml , H m S ⎤⎥ ≡ 0 .
⎣
⎦

Тогда, подставляя (7.16) в (7.17), имеем

r&
r& ⎤ ⎡ r&
r& ⎤ ⎫⎪ r r
⎧⎪ ⎡
− ∫ ⎨ ⎢ ∑ C& − S E− S , H − S ⎥ − ⎢ E− S , ∑ C& − S H − S ⎥ ⎬ Z 0 dS +
(7.19)
⎪
⎪
S
S
⎣
⎦
⎣
⎦
⎩
⎭
S⊥0
r&
r& r&
r& r& ⎤ ⎡ r&
r& ⎤ ⎪⎫ r r
⎪⎧ ⎡
+ ∫ ⎨ ⎢ ∑ C& S ES , H − S ⎥ − ⎢ E− S , ∑ C& S H S ⎥ ⎬ Z 0 dS = ∫ δ e E& − S − δ m H − S dV1 .
⎪⎣ S
S
⎦ ⎣
⎦ ⎭⎪
S⊥ ⎩
V1

(

)

Используя условие ортогональности собственных волн, из (22.19) получаем
r& r&
r& r&
1
C& S =
δ
E
−
δ
(7.20)
e −S
m H − S dV1 =
N S V∫

)

(

1

=

1
NS

∫∫(

Z

r& r

r& r

)

δ e E& − S − δ m H& − S dS⊥ dz

0 S⊥

Аналогичным образом, подставляя (7.16) в (7.18) и учитывая условия
ортогональности, имеем
Z
r& r&
r& r&
1 0
&
C− S =
δ
E
−
δ
(7.21)
e S
m H S dS ⊥ dz .
N S Z∫ S∫

)

(

⊥

Уравнения возбуждения (7.20), (7.21) можно записать в дифференциальной форме:

dC& ± S
1
=±
dz
NS

∫(

S⊥

r& r

r& r

)

δ e E& m S − δ m H& m S dS⊥ .

(7.22)

83

7.4. Способы возбуждения волноводов (примеры)
1. Штырь (вибратор Герца).
Схема этого возбуждения изображена на рис.7.3.
В данном случае вдоль линейного проводника длинной L и направле-

Рис. 7.3.

()

r
r r
r
нием l задан линейный сторонний ток I cm = l 0 I& l .
Используя уравнение возбуждения (7.20) и (7.21) в рассматриваемом
случае, получаем
L
r& r&
1
1 r r& & r
&
l0 Em S I l d l =
C± S =
δ e Em S dV1,2 =
N S V∫
N S ∫0

()

1,2

Lr

r
r& 0 r
r
r
1
& l d l, E& = E& 0 ( rr ) e m jhS Z , но Z=0=const (в точке
E
r
I
l
(
)
0 S ⊥
±S
S ⊥
N S ∫0
расположения штыря).
Полагая I&(l ) = I&m e jω t ϕ (l ) и используя формулу PS , полученную ранее,
имеем
2
I m2 U эфф
2 NS
=
,
PS = C Sm
NS 4
4
где
Lr r
r
2
U эфф
= ∫ l 0 E S0 (r⊥ )ϕ (l )dl .

=

()

0

1
RS I m , где RS - сопротивление излучения для
2
2
U эфф
. Учитывая, что
попутной или встречной волн. Таким образом, RS =
2N S
излучаются одновременно (и равноценно) попутная и встречная волны, полное сопротивление излучения
С другой стороны, PS =

84

RΣS = 2 RS =

2
U эфф

NS

.

2. Петля (рамка с током).
Схема такого способа возбуждения приведена на рис.7.4.
Сторонний магнитный момент, создаваемый рамкой

с

током

Рис. 7.4.

r& r
M = nSI&µa . Фиктивный линейный ток I& m
можно ввести как
r
r
r
I& m n l = jω M = jωnSI&µ a , где l - длина фиктивного магнитного диполя, S площадь рамки. Производя те же действия, что и в предыдущем примере для
электрического диполя, получаем
1 r r&
C& ± S = −
nH m S (1) jω SI&µ a .
NS
Предполагается, что рамка мала по сравнению с длиной волны λ, и поэтому ток в ней имеет одинаковую амплитуду по всей рамке. Запишем сопротивление излучения петли:

RS =

2
C Sm
NS

2 I m2

rr

=

0
1 ω Sµ a n H S

2

NS

2

Φ
1
= ω 2 MS
2
NS

2

,

где ФMS - магнитный поток S-моды через рамку. Полное сопротивление излу2
ω 2 Φ MS
чения (двустороннее) RΣS = 2 RS =
. Поскольку поворот петли (изNS
r
менение направления n ) меняет ФMS, сопротивление излучения RΣS тоже меняется. Иначе говоря, связь источника с S-й модой можно менять поворотом
плоскости петли.
3. Узкая щель в стенке волновода.

85

Пусть щель имеет длину L. Тогда, если введен линейный магнитный
r& m r m
ток I = l 0 I m ϕ (l ) , амплитуда возбуждаемых волн может быть записана как

1 1 m L r r 0 m jhS Z
&
Cm S = −
I m ∫ l0 H S e
ϕ (l )dl .
NS L 0
4. Окно.
Конфигурация окна в стенке волновода изображена на рис.7.5.

Рис. 7.5.
Вводя фиктивные сторонние поверхностные токи через поля возбужr&
r&
r r&
r r&
дающего источника на окне δ ecm = ⎡⎢ n , H cm ⎤⎥ , δ mcm = − ⎡⎢ n , Ecm ⎤⎥ , получаем
⎣
⎦
⎣
⎦

1
C& ± S =
NS

∫∫ (
ab

00

)

r
r
r
r
⎡ nr, H& ⎤ E 0e m jhS Z + ⎡ nr, E& ⎤ H 0e m jhS Z dzdx .
cm ⎥ S
cm ⎥ S
⎢⎣
⎣⎢
⎦
⎦

r
r
Здесь Ecm , H cm - поля источника в плоскости окна.
5. Возбуждение регулярной замедляющей системы электронным потоком.
Пусть сгруппированный электронный поток приходит по оси замедляющей системы Z. Первая гармоника тока в пучке может быть задана как
r
r
ω
δ e = Z 0δ e ( z, q1, q2 ) e j(ω t −he Z ) , he = , V0 - средняя скорость электронов. ТоV0
гда, используя уравнение возбуждения (7.22), получаем

dC& S e jω t
=
dz
NS

∫ δ& e ( z,

0
q1 , q2 ) EZS
( q1, q2 ) e j( hS −hе )Z dS⊥

S⊥

Полагая C& S = A& S e jω t для тонкого пучка, когда его расслоением можно
пренебречь, получаем
0 j ( hS − he ) Z
dA& S J&l ESZ
e
=
dz
NS

86

0
- усредненная по сечению
Здесь J&l - первая гармоника тока пучка, E SZ
пучка Z - составляющая электрической напряженности волны S-го типа замедляющей системы.

ГЛАВА VIII
*

НЕРЕГУЛЯРНЫЕ ВОЛНОВОДЫ

8.1. Неортогональные координатные системы
Пусть в заданной области V(S) введены обобщенные криволинейные
координаты u1, u 2 , u 3 , так, что любая точка P ∈ V определяется однозначно
набором значений u1, u 2 , u 3 . В точке Р определены три координатные поверхности:

u1 = const , u 2 = const , u 3 = const .

(8.1)

Пересечение двух поверхностей образует координатную кривую, вдоль
которой меняется только одна координата.
r
Положение точки Р определяется радиусом-вектором r , проведенным
r
из начала отсчета. Как и точка Р, r является функцией криволинейных координат
u1, u 2 , u 3 :
r r
r = r (u1, u 2 , u 3 ) .
(8.2)
r
Приращение вектора r в соответствии с (2) определяется как

r
r
r
∂r
∂r
∂r
r
1
2
dr ( p ) = 1 du + 2 du + 3 du 3 .
∂u
∂u
∂u
Частные производные

r
∂r

(8.3)

r
представляют собой приращение r вдоль

∂u 1
касательных к координатным кривым в точке Р
r
r ∂r
a1 = 1 ,
∂u

r
r
∂r
a2 = 2 ,
∂u

r
r
∂r
a3 = 3 .
∂u

(8.4)

Длина и размерность координатных векторов зависят от характера криволинейных координат u1 , u 2 , u 3 . Смешанные произведения базисных векr r r
торов a1, a2 , a 3 дают объем V координатного параллелепипеда:

87

r r r
r r r
r r r
V = a1[a2 ,a 3 ] = a2[a3 ,a1] = a3[a1,a 2 ] .
r r r
Взаимную систему векторов a1, a2 ,a 3 определим как
1 r r
1 r r
r
r 1 r r
r
a 1 = [ a 2 ,a 3 ], a 2 [ a3 ,a 1 ], a 3 = [ a1 ,a 2 ] .
V
V
V

(8.5)

r
В соответствии с (8.5) a1 перпендикулярен плоскости, определяемой
r r
r
r r
r
rr
парой (a2 , a 3 ), a 2 − (a3 , a1 ), a 3 − (a1a2 ) . Из определения (8.5) следует:
⎧1, i = j
r r
a i a j = δ ij , δ ij = ⎨
.
⎩0, i ≠ j

(8.6)

Основная система векторов выражается через взаимную аналогично
(8.5):

r 1 r r
r
1 r r
r
1 r r
a1 = [a 2 , a 3 ], a2 = [a 3 , a1 ], a3 = [a1, a 2 ] .
V
V
V

(8.7)

r
Дифференциал dr во взаимной системе записывается через приращения du1 , du2 , du 3 в направлении взаимных векторов:

r r
r
r
dr = a 1du1 + a 2 du2 + a 3du 3 .

(8.8)

Дифференциалы du1, du2 , du 3 могут быть не полными в неортогональных системах. Приравнивая (8.3) (с учетом (8.4)) и (8.8), имеем

r 3 r
dr = ∑ ai du i =
i =1

3

r

∑ a j du j .

(8.9)

j =1

r
r
Используя (8.6) и умножая (8.9) скалярно на a i и затем на a j , получим
3 r r
du j = ∑ a j ai du i ; du i =
i =1

3

r r

∑ a i a j du j .

(8.10)

j =1

Обозначим скалярные произведения основных и взаимных векторов, входящие в (8.10):

r r
r r
g ij = ai a j = g ji , g ij = a i a j = g ji .

(8.11)

88

r
Тогда компоненты dr в основной и взаимной базисных системах будут связаны следующим образом:
3

3

i =1

j =1

du j = ∑ g ji du i ; du i = ∑ g ij du j .

(8.12)

r
r
Любой вектор F , как и dr , может быть разложен на компоненты как в
основной, так и во взаимной базисных системах:

r 3 ir
F = ∑ f ai =
i =1

3

r

∑ f ja j ,

(8.13)

j =1

rr
rr
где f i = Fa i , f j = Fa j .
Последнее поясним:
3
rr
r r
Fa i = ∑ f j a j a i = (с учетом (6))= f i ,
i =1

3
rr
rr
Fa j = ∑ fi a i a j = f j .

(8.14)

i =1

Аналогично (8.10) связи fj и f i выражаются в виде:
3

f j = ∑ q ji f ,
i

i =1

3

f = ∑ q ij f j .
i

(8.15)

j =1

Итак, можно записать
3
r 3 r ri v
rr r
F = ∑ ( Fa )ai = ∑ ( Fa j )a j .
i =1

(8.16)

j =1

r
Проекции fi называются ковариантными компонентами вектора F , f i контравариантными.
r
Введем безразмерные единичные векторы I i :
v
Ii =

v
ai
v v =
a i ai

1 r
ai .
g ij

(8.17)

Тогда

89

r
r
r
r
F = F1I1 + F2 I 2 + F3 I 3 ,

(8.18)
r
где Fi = g ii f i - физические компоненты вектора F , имеющие ту же разr
мерность, что и сам вектор F .

8.2. Дифференциальные операторы
Приведем без доказательства формулы основных дифференциальных
операторов электродинамики.
Градиент скалярной функции ϕ (u1, u 2 , u 3 ) в т. Р

r ∂ϕ
gradϕ = ∑ a i i .
∂u
i =1
3

(8.19)

Здесь градиент записан с использованием взаимной системы базисных вектоr
r
ров. Естественно, a i могут быть выражены через ai путем преобразования
3
r
r
a i = ∑ g ij ai .

(8.20)

i =1

r
Дивергенция векторной функции F (u1, u 2 , u 3 ) в точке Р
r
1
divF =
g

3

∂

∑ ∂u i ( f i

g) .

(8.21)

i =1

r
Здесь f i – контравариантные проекции F ,
g 11 g 12 g 13
g = g 21 g 22 g 23 ,

rr
f i = Fa i

r r r
g = a1 [ a 2 , a 3 ] = V .

g 31 g 32 g 33

r
Ротор вектора F ,
r
1
∂f
∂f r
∂f
∂f r
∂f
∂f r
rotF =
{( 32 − 23 )a1 + ( 13 − 31 )a2 + ( 21 − 12 )a3} . (8.22)
∂u
∂u
∂u
∂u ∂u
g ∂u
rr
r
Здесь fi = Fai - ковариантные проекции F .
Оператор Лапласа от скалярной функции ϕ (u1, u 2 , u 3 )

90

1
∆ϕ = divgradϕ =
g

3

3

∂

∑∑ ∂ui ( g ij
i =1 j =1

g

∂ϕ
∂u j

).

(8.23)

8.3. Продольно-азимутально нерегулярный волновод.
Контравариантные компоненты уравнений Максвелла
Рассмотрим произвольно нерегулярный прямолинейный волновод
(продольно-азимутально нерегулярный волновод). Пусть внутренняя граница
такого волновода задается следующей произвольной гладкой функцией:

b = b(ϕ , z ) ,

(8.24)

где ρ = r / b .
Тогда радиус-вектор внутренней точки Р (8.2) может быть задан как

r
r
r
r
r ( ρ ,ϕ , z ) = zz0 + ρ b{x0 cos ϕ + y0 sin ϕ ) .

(8.25)

В соответствии с (8.4) тогда имеем
r
r ∂r
r
a1 =
= br0 ,
∂ρ

r
∂r r
r
r ∂b
,
a2 =
= ϕ0 ρb + r0 ρ
∂ϕ
∂ϕ
r
r ∂r r r ∂b
= z0 + r0 ρ
a3 =
.
∂z
∂z

(8.26)

r r r
r r r
r r r
Соответственно V = a1[a2 ,a 3 ] = a2 [a3 ,a 1] = a3[a1 ,a 2 ] = b 2 ρ . Тогда в соответствии с (8.5) система взаимных векторов имеет вид
r ∂b r
r
1 r
∂b
a1 = 2 (r0b − ϕ0
− z0 ρ b ) ,
∂ϕ
∂z
b
r
r
r r
a 2 = ϕ0 / bρ , a 3 = z0 .

(8.27)

Запишем первое уравнение Максвелла, используя основную (8.26) и
взаимную (8.27) системы векторов. При этом для сохранения привычных выражений для компонент rotH в цилиндрической системе координат введем
r
r
r
r
«расчетные» (со штрихом) компоненты векторов H = H ρ′ a1 + ρ Hϕ′ a 2 + H z′ a 3

91

(т.е. ковариантные
проекции векторов
связаны
с расчетными
rr
r
r1
r2
r
как H 2 = Ha2 = ρHϕ′ , H ′ρ = H 1 , H ′z = H 3 ), E = Eρ′ a + ρ Eϕ′ a + Ez′ a 3 и т.д..
Тогда
r
ρ 1 ∂H z′ ∂Hϕ′ r 1 ∂H ρ′ ∂H z′ r
1 ∂ ( ρ H ϕ′ ) 1 ∂H ρ′ r
−
−
−
rotH =
{(
)a1 + (
)a2 + (
)a } =
∂z
∂ρ
ρ ∂z
ρ ∂ρ
ρ ∂ϕ 3
g ρ ∂ϕ
= ε a{

∂Eρ′ r1 ∂ ( ρ Eϕ′ ) r 2 ∂Ez′ r 3
r
r
r
a +
a +
a } + δ ρ′ a1 + ρδϕ′ a 2 + δ z′ a 3 .
∂t
∂t
∂t

(8.28)

Умножая обе части (8.28) скалярно последовательно на взаимные векr r r
торы a 1 , a 2 , a 3 , получаем контравариантные проекции уравнений Максвелла
в следующей форме:
g
∂
1 ∂H ′z ∂H ϕ′
−
=
{ ε a ( g 11 E ′ρ + g 12 ρEϕ′ + g 13 E ′z ) + g 11δ ρ′ + g 12 ρδ ϕ′ + g 13δ z′ }
∂z
∂t
ρ ∂ϕ
ρ
∂H ′ρ
∂z

−

∂H ′z
∂
= g { ε a ( g 21 E ′ρ + g 22 ρEϕ′ + g 23 E ′z ) + g 21δ ρ′ + g 22 ρδ ϕ′ + g 23δ z′ } ,
∂ρ
∂t

g
1 ∂( ρH ϕ′ 1 ∂H ϕ′
∂
{ ε a ( g 31 E ρ′ + g 32 ρEϕ′ + g 33 E z′ ) +
−
=
ρ ∂ρ
ρ ∂ϕ
ρ
∂t

+ g 31δ ρ′ + g 32 ρδ ϕ′ + g 33δ z′ } .

(8.29)

В векторной форме уравнение (8.29) можно теперь записать в виде
r
r
) ∂E ′ ) r
rotH ′ = ε a g
+ gδ ′ ,
∂t

где

(8.30)

⎛ g 11 12 g 13 ⎞
⎟
⎜
g
ρ
ρ
⎟
⎜
⎟
⎜
)
g = g ⎜ g 21 ρg 22 g 23 ⎟ ,
⎜ 31
33 ⎟
32 g
⎟
⎜g
g
⎟
⎜ ρ
ρ
⎠
⎝
g = V = b 2 ρ , g 11 =

1
b

( b2 + (
4

∂b 2
∂b
) + ρ 2 b 2 ( )2 ) ,
∂z
∂ϕ

92

g 22 = 1 /( bρ )2 , g 33 = 1, g 12 = −

g 13 = −

ρ ∂b
b ∂z

1 ∂b
= g 21 ,
3 ∂ϕ
b ρ

= g 31 , g 23 = g 32 = 0 .

Аналогичные преобразования приводят к следующей форме второго
уравнения Максвелла:
r
r
) ∂H ′ ) r m
rotE ′ = − µ a g
− gδ ′ .
∂t

(8.31)

С учетом формул (8.17), (8.18) физические компоненты векторов
r
r r r rm
H , E , δ , δ могут быть записаны как (выпишем только H , остальные записи
идентичны)

Hτ = H ′ρ / b ,
H ϕ = Hϕ′ / b −

H ρ′ ∂b
,
b 2 ∂ϕ

H z = H ′z − H ′ρ

ρ ∂b
b ∂z

(8.32)

.

В новой системе координат ρ, ϕ , z внутренняя граница произвольнонерегулярного волновода b (ϕ , z) преобразуется в границу регулярного цилиндра с внутренней границей ρ=1. Таким образом, граничные условия для
уравнений (8.30), (8.31) в новой системе координат в случае идеальной проводимости стенок приобретают простейший вид:

r r
[ ρ0 , E ′]

ρ =1

=0 .

(8.33)

8.4. Уравнение возбуждения произвольно-нерегулярного волновода
сторонними токами
Прежде чем переходить к решению (8.30),(8.31),(8.33) целесообразно
для улучшения его сходимости выделить в (8.30),(8.31)r электростатическую
часть поля, содержащую разрыв первой производной E ′ и магнитостатичеr
скую, содержащую разрыв H ′ .
При этом динамическая задача имеет вид:

93

r
r
r
r
) ∂ E1 ) r
) ∂ H1 ) r M
rotH1 = ε 0 g
+ gδ1 , rotE1 = − µ0 g
− gδ1 ,
∂t
∂t
r r
⎡ n′, E1 ⎤
⎣
⎦ ρ =1 = 0 .
r r
Здесь δ1 = δ ′ − ε 0 grad ( ∂ Φ′e / ∂ t ) ,

r

(8.34)
(8.35)

r
r
E1 = E ′ + gradΦ e′ .

r

r
r
′ .
H 1 = H ′ + gradΦ M

′ / ∂t ) ,
δ 1М = δ ′М − µ0 grad (∂Φ М

r r
Существенно, что E1, H1 - непрерывные на границе источников векторы. Остановимся на решении задачи (8.34),(8.35). Представим:
r
r& jmωt
r
r& jmωt
E1t = Re ∑ Etme
, E1z = Re ∑ Ezme
,
m

I
r&
где Etm = ∑

N

∑(

i =1 n =− N

m

)

r
r
e
М
A& mni
( z ) enie + A&mni
( z ) eniМ ,

I
r&
Ezm = ∑

N

r

∑ C& mni ( z )ϕni a 3.

i =1 n =− N

r
r& jmωt r
r&
H1t = Re ∑ H tme
, H1z = Re ∑ H zme jmωt ,
m

m

(

)

ϕ ni = J n (ν ni ρ ) e jnϕ ,

ψ ni = J n (µ ni ρ )e jnϕ ,

r
r
r
I N
e
М
(z )hnie + B& mni
(z )hniМ ,
H& tm = ∑ ∑ B& mni
i =1n = − N

Здесь

I
r
H& zm = ∑

N

r

∑ H& mni (z )ψ ni a 3 .

i =1 n = − N

r
r n
r
enie = ρ0ν ni J n′ (ν ni ρ ) e jnϕ + ϕ0 j J n (ν ni ρ ) e jnϕ ,

ρ

r jn
r
r
eniм = ρ0 J n ( µni ρ ) e jnϕ − ϕ0 µ ni J n′ ( µ ni ρ ) e jnϕ ,

ρ

r
r jn
r
hnie = − ρ0 J n (ν ni ρ ) e jnϕ + ϕ0ν ni J n′ (ν ni ρ ) e jnϕ ,

ρ

r
r
r jn
hniМ = ρ0 µ ni J n′ ( µ ni ρ ) e jnϕ + ϕ0 J n ( µ ni ρ ) e jnϕ , J n (ν ni ) = 0, J n′ ( µni ) = 0 .

ρ

e
м
e
м
Амплитуды A& mni
( z ) , A&mni
( z ) , B&mni
( z ) , B&mni
( z ) , C& mni ( z ) , H& mni ( z )

94

определим из следующих проекционных равенств, эквивалентных (8.34):
2π 1

∫ ∫{ (

r
r
r
r
rot H tm + H zm − jmωε 0 gˆ Etm + Ezm

)

(

0 0

=

1

π

2π 1

)} er

ρ d ρ dϕ =

(8.37)

r
a 3 ρ d ρ dϕ =

(8.38)

(8.36)

r r e − jmωt
ˆ
g
δ
∫ 1e− nie ρ d ρ dϕ dωt ,

∫∫

0 0 0

r
r
r
r
rot H tm + H zm − jmωε 0 gˆ Etm + Ezm

)

(

0 0

М
− ni

1 2π 2π 1 r r М − jmωt
ρdρdϕdωt ,
∫ ∫ ∫ ĝδ 1e−ni e

π

0 0 0

2π 1

∫ ∫ {rot ( H
r

tm

r
r
r
+ H zm − jmωε 0 gˆ Etm + Ezm

)

(

0 0

=

ρ d ρ dϕ =

e
− ni

2π 2π 1

∫ ∫{ (

=

)} er

1

π

2π 1

r r3
− jmωt
ˆ
g
δ
∫ 1a ϕ− nie ρ d ρ dϕ dωt ,

∫∫

0 0 0

r
r
r
r
rot Etm + Ezm + jmωµ0 gˆ H tm + H zm

)

(

0 0

2π 1

1

π

∫

)

(

∫

r M r М − jmωt
ˆ
g
δ
∫ ∫ 1 h− nie ρ d ρ dϕ dωt ,

0 0 0

∫ ∫ {rot ( E
r

tm

π

)}

r
r
r
r
+ Ezm + jmωµ0 gˆ H tm + H zm ψ − ni a 3 ρ d ρ dϕ = 0

)

(

0 0

=−

(8.40)

2π 2π 1

2π 1

1

)}

r
h−Мni ρ d ρ dϕ =

0 0 0

0 0

π

(8.39)

r M r e − jmωt
ˆ
g
δ
∫ ∫ 1 h− nie ρ d ρ dϕ dωt ,

r
r
r
r
rot Etm + Ezm + jmωµ0 gˆ H tm + H zm

1

)}

r
h−eni ρ d ρ dϕ =

2π 2π 1

∫ ∫{ (

=−

− ni

2π 2π 1

∫ ∫{ (

=−

)} ⋅ϕ

(8.41)

2π 2π 1

∫

r M r3
− jmωt
ˆ
g
δ
∫ ∫ 1 a ψ − nie ρ d ρ dϕ dωt .

0 0 0

Правые части уравнений возбуждения (8.36)-(8.41) (интегралы возбуждения) записаны в общем случае, когда координаты источников могут меняться во времени, т.е. ρ=ρ(t), ϕ=ϕ(t), z=z(t). Причем, эти зависимости могут
содержать и негармонические составляющие.

95

Уравнения (8.36)-(8.41) образуют полную систему ОДУ первого порядка, определяющую искомые коэффициенты разложения
e
М
e
М
(z ), A& mni
(z ), B& mni
(z ), B& mni
(z ),C& mni (z ), H& mni (z ) .
A& mni
Иначе говоря, уравнения (8.36)-(8.41) представляют собой систему
уравнений возбуждения динамических полей волновода произвольной нерегулярной конфигурации, возбуждаемого негармоническими электрическими
и магнитными токами источников.

8.5. Самосогласованные нелинейные уравнения
лампы бегущей волны О - типа
с замедляющей системой в виде продольно-нерегулярного волновода
Введем в решение общей задачи возбуждения нерегулярного волновода следующие условия и упрощения.
1. Поскольку в ЛБВ-0 имеются только электрические источники, плотr
ность магнитного тока δ µ = 0 .
2. В релятивистских ЛБВ-0 используются продольно-нерегулярные
волноводы, поэтому радиус волновода b=b(z).
3. Система источников осесимметрична и азимутальная составляющая
r r
r
δ ϕ = 0 . Поэтому плотность электрического тока δ = r0δ r (r , z ) + z 0δ z (r , z ) .
Несимметричные типы волн не возбуждаются.
4. Из-за отсутствия δ ϕ и благодаря тому, что волны E0i и H0i не связаны, волны H0i не возбуждаются.
5. Будем считать, что b(z) не приближается к критическому для E02 .
Поэтому возбуждение высших E0i (i≥2) волн можно не рассматривать.
6. Остановимся на кинематическом (т.е. без учета пространственного
заряда) приближении (что в определенной степени по уровню точности соответствует приближению п.5).
7. Будем рассматривать гармонический режим, т.е. m=1.
C учетом перечисленных условий искомые решения для компонент поля можно записать в виде:

& (ν ρ ), E& ′ = AjJ
& (ν ρ ) .
H& ϕ′ = B& ( z ) J1 (ν 01ρ ), E& z′ = CJ
0
01
ρ
1
01
Соответственно система уравнений возбуждения, полученная в п.8.4,
приводится к следующей:
2π 1
dB&
k
2 db 2
& (ν ρ ) −
J
j
{
(
ν
ρ
)
+
((1
+
ρ
( ) ) ⋅ jAJ
(8.42)
1
01
1
01
0
∫0 ∫0 dz
W
dz

db
1
− ρ b J 0 (ν 01ρ )}J1 (ν 01ρ ) ρ d ρ dϕ +
dz
π

2π 2π 1

∫ ∫ ∫ ((1 + ρ
0 0 0

2

(

db 2 &
db
) )δ ρ′ − ρ b δ&z′ )) ⋅
dz
dz

96

2π 1

k

1

db

& (ν ρ ) +
& (ν ρ ) + B&ν J ′(ν ρ ) − j
AjJ
( −b ρ
1 01
01 1 01
1 01
0
∫ ∫{ ρ BJ
dz
W
0 0

2

+ Сb J 0 (ν 01 ρ )}J 0 (ν 01 ρ ) ρdρdϕ −

1 2π 2π 1

db

(8.43)

2

(−bρ δ&ρ′ + b δ&z′ ) ⋅
∫
∫
∫
π 0 00
dz

⋅ J 0 (ν 01 ρ ) ρdρdϕe − jωt dωt = 0,
r

δ ρ′ = bδ&r ,δ&z′ = δ&z + ρ

db &
δr ,
dz

j dA&
C& = − [ + kW 0 B& ] .
(8.44)
ν 01 dz
Используем далее закон сохранения заряда и метод крупных частиц. Введем
также следующие безразмерные переменные:
T = kz =

C& η0
z ; B = kb; β i = vi / c , E& =
;
c
ωc

ω

& η
& 0 kη
BW
Ak
0
0
&
&
H=
; E1 =
; η0 = ( e( m0 , e, m0 - соответственно заряд и масωc
ωc
са покоя электрона: Ri = 1 − β i2 ; ri = ri′k , ri′ - размерный радиус частицы,
B0 = kb0 , b0 −
радиус
входной,
регулярной
секции
волновода:

ν 01 I 0 W 0
G0 =
⋅ 1,965 ⋅ 10−6 , I 0 - ток пучка по модулю в A,
2
I1π B0
1

I1 = ∫
0

1

ν ρ ) ρ d ρ = 0,134757, I 2 = ∫ J12 (ν 01ρ ) ρ 3d ρ = 0,75953 .

J12 ( 01

0

Тогда уравнения возбуждения (8.42)-(8.44) в пренебрежении толщиной
трубки электронного пучка принимают вид

⎛ ⎛ dB ⎞2 ⎛ I
dH&
1 ⎞ ⎞⎟ & 1 dB
&
⎜ 2−
⎟ +H
= E1⎜1 + ⎜
+
⎟
⎜ ⎝ dT ⎠ ⎜ I1 ν 2 ⎟ ⎟
dT
B
dT
01 ⎠ ⎠
⎝
⎝
1 dB
1 N⎛ 1
r ⎞ 1 ri ⎛
r ⎞⎞
⎛
G0 B02 ∑ ⎜⎜ 2 J 0 ⎜ν 01 i ⎟ −
J 1 ⎜ν 01 i ⎟ ⎟⎟e− jωti +
+
N i =1⎝ ν 01 ⎝
B ⎠ ν 01 B ⎝
B ⎠⎠
B dT
+

B02

G0
r β
J i (ν 01 i ) ri e − jωti ;
∑
B Nν 01 i =1
B β zi
N

(8.45)

97

ν 01 & 1 dB 1
1
B02 1 N ⎛
r ⎞
&
&
E = H 2 − E1
G0 2 ∑ J 0 ⎜ν 01 i ⎟e − jωti ;
+
jB dT ν 01 jν 01
B⎠
jB
B N i =1 ⎝
2
⎞ &
dE&1
1 dB ⎛ ν 01
B02 1 N ⎛
r ⎞
&
= − E1
+ ⎜ 2 − 1⎟ H + G0 2 ∑ J 0 ⎜ν 01 i ⎟e − jωti .
dT
B dT ⎝ B
B⎠
B N i =1 ⎝
⎠

(8.46)

(8.47)

Соответственно уравнения движения i-й частицы имеют вид

d β zi
R
r dB &
β β
β
E1′)(1 − β zi2 ) − E&1′ ri zi + H& ′ ri ]e jωti ,
= − i Re[( E& ′ − i2
β zi
dT
B
B
B dT

(8.48)

d β ri
R
E& ′
r dB &
β
E1′) β ri β zi − H& ′ zi ]e jωti − FRi βϕi ,
= − i Re[( 1 (1 − β ri2 ) − ( E& ′ − i2
dT
B
B
β zi
B dT
dri
dωti
& (ν ri ), E& ′ = E& J (ν ri ),
= β ri / β zi ,
= 1/ β zi , E& ′ = EJ
0 01
1
1 1 01
dT
dT
B
B
& (ν ri ) .
H& ′ = HJ
1 01
B
2
2
(r − r0 )
, Ri = 1 − βϕ2i − β ri2 − β zi2 ,
Здесь βϕi = Fω Ri i
ri
Ω
F = eB 0 / m0ω = 0 , Ω0 - нулевая циклотронная частота электронов в фокуω
r
r
сирующем магнитном поле B 0 = z0 B 0 .
Система уравнений (8.45)-(8.48) формулирует нелинейные самосогласованные уравнения ЛБВ-0 с произвольным квазигладким (точки разрыва
производных достаточно обходить при интегрировании системы) нерегулярным волноводом в одномерном кинематическом приближении.
Начальные условия к этой системе могут быть заданы следующим образом:
dB
β zi (0) = β 0 , β ri (0) = 0, ri (0) = r0 , ωti (0) = 2π i / N ,
= 0, E& (0) = E0 ,
dT
2
2
jB
B
2
H& (0) = E0 0 , E1 (0) = E0 0 1 − (ν 01 / B0 ) .

ν 01

ν 01

Электронный КПД (ηe ) рассчитывается как

ηe ( T ) =

1 N 1 − R0 / Ri (T )
, R0 = 1 − β 02 .
∑
1 − R0
N i =1

98

Волновой КПД (ηB ) определяется через поток энергии, образуемый
попутной компонентой поля через текущее поперечное сечение волновода и
выражается как
ν 01 Re j E&1 (T ) H& * (T ) − E&1 ( 0 ) H& * ( 0 ) R0
.
η B (T ) =
G0 B02 (1 − R0 )

((

))

Сопоставление ηe ,η B в отсутствие потерь позволяет оценить точность
численных расчетов.

8.6. Уравнения возбуждения произвольно-нерегулярного
коаксиального волновода
В разделе 8.4 cформулированы уравнения возбуждения произвольнонерегулярного полого волновода (односвязная область поперечного сечения).
Большой интерес, однако, представляют коаксиальные волноводы, особенно
в области миллиметровых и субмиллиметровых волн, где на их основе создаются приборы и устройства, обладающие уникальными характеристиками.
Последнее связано с аномальной дисперсией волн Hni (n>>1), позволяющей в
нерегулярных коаксиальных волноводах эффективно осуществить селекцию
паразитных колебаний и волн в полосе порядка октавы, что открывает путь к
созданию сверхразмерных одномодовых коаксиальных структур с рабочей
волной Hni .
Строгой теории нерегулярных коаксиальных структур, однако, не существует; оценки свойств таких структур строятся на базе теории регулярной
коаксиальной линии (например, дисперсионного уравнения для такой линии).
Двусвязность области поперечного сечения коаксиальной структуры (наличие двух границ в отличие от нерегулярного полого волновода) требует при
использовании наиболее естественного для рассматриваемой задачи метода
преобразования координат введения новой функции отображения. В данном
разделе определена такая функция и на ее основе сформулирована строгая
теория произвольно (по z и ϕ) нерегулярной коаксиальной структуры, включая общий случай, когда в ней действуют сторонние негармонические источники.
Рассмотрим произвольно (по z и ϕ) нерегулярный коаксиальный волновод ( r ,ϕ , z - компоненты исходной цилиндрической системы координат).
Поверхности внутреннего и внешнего проводников S1,S2 задаются соответственно как b1 (ϕ , z ) и b2 (ϕ , z ) . Задача состоит в определении поля, возбуждаемого в волноводе источниками, заданными плотностью стороннего элекr r
r
r
трического тока δ = r0δ r (r ,ϕ , z , t ) + ϕ 0δ ϕ (r ,ϕ , z , t ) + z0δ z (r ,ϕ , z , t ) и плотностью
стороннего
магнитного
тока
rМ r М
r М
r М
δ = r0δ r (r ,ϕ , z , t ) + ϕ 0δ ϕ (r ,ϕ , z, t ) + z0δ z (r ,ϕ , z, t ) . Искомое поле должно

99

удовлетворять граничному условию на S1, S2 (потерями в стенках пренебрегаем, σ → ∞ ; изломы S1, S2 отсутствуют):

r r
⎡⎣ n1,2 , E ⎤⎦ = 0,
S1,2

(8.49)

ρ = (r + b − b1 ) / b ,

(8.50)

r
n1, 2 - внешняя нормаль к S1 или S2.
Для решения поставленной задачи воспользуемся методом преобразования координат, позволяющим преобразовать граничную задачу (8.49) к
элементарной. Введем следующую функцию преобразования:

b = (b2 − b1 ) /(α − 1), α = b2 (0 ) / b1 (0 ) .
При этом ρ ∈ [1,α ] и в новых переменных внутренняя граница волновода регулярна: ρ r =b = 1, ρ r =b = α . Учитывая обратное преобразование
1

2

r = ρb − b + b1 , для радиуса-вектора точки во внутренней области волновода в
новой системе координат ρ ,ϕ , z имеем

r
r
r
r
r ( ρ ,ϕ , z ) = z0 z + ( x0 cosϕ + y0 sin ϕ )( ρb − b + b1 ) .

(8.51)

Определим основную систему векторов косоугольной системы ρ ,ϕ , z :
r
∂r
r r
r
r
r
a1 = a ρ =
= b( x0 cos ϕ + y0 sin ϕ ) = br0 ,
∂ρ

r
r
r r
∂r
∂b ∂b1 r
= [( ρ − 1)
+
a2 = aϕ =
]r0 + ( ρ b − b + b1 )ϕ0 ,
∂ϕ
∂ϕ ∂ϕ
r
r r ∂r r
∂b ∂b r
a3 = az =
= z0 + [( ρ − 1) + 1 ]r0 .
∂z
∂z ∂z
r r r
Взаимная система векторов a1, a 2 , a 3 определяется следующим образом:

r r
r r
r r
r1 [a2 , a3 ] r 2 [a3 , a1 ] r 3 [a1, a2 ]
a =
, a =
, a =
,
V
V
V

r r r
r r r
r r r
V = a1[a2 , a3 ] = a2 [a3 , a1 ] = a3[a1, a2 ] = b( ρb − b + b1 ) .
Производя указанные действия, имеем

100

∂b ∂b1
+
r1 1 r
∂b ∂b r
∂ϕ ∂ϕ r 1
a = r0 −
ϕ 0 − [( ρ − 1) + 1 ]z0 ,
b
b( ρb − b + b1 )
b
∂z ∂z
r
1
r
a2 =
ϕ0 ,
ρb − b + b1
( ρ − 1)

r
r
a 3 = z0 .
Найдем теперь элементы метрического тензора
∂b ∂b1
+
( ρ − 1)
r1 r1 1
∂b ∂b
∂ϕ ∂ϕ 2 1
11
g = a a = 2 +[
] + 2 [( ρ − 1) + 1 ]2 ,
b( ρb − b + b1 )
∂z ∂z
b
b

r r
g 22 = a 2 a 2 = 1 /( ρb − b + b1 ) 2 ,
r r
g 33 = a 3a 3 = 1 ,
∂b ∂b1
+
1
r1 r 2
∂ϕ ∂ϕ
= g 21 ,
=a a =−
2
b ( ρb − b + b1 )
( ρ − 1)

g 12

r r
∂b ∂b
1
g 13 = a 1a 3 = − [( ρ − 1) + 1 ] = g 31 ,
b
∂z ∂z
r r
g 23 = a 2 a 3 = g 32 = 0 .
Воспользуемся теперь определением оператора rot в косоугольной системе ρ ,ϕ , z :
r 1 ∂f
∂f ∂f r
∂f
∂f r
∂f r
rotF = {( 3 − 2 )a1 + ( 1 − 3 )a2 + ( 2 − 1 )a3} ,
V ∂ϕ ∂z
∂z ∂ρ
∂ρ ∂ϕ

rr
rr
rr
r
f1 = ( Fa1 ), f 2 = ( Fa2 ), f3 = ( Fa3 ) - ковариантные проекции вектора F .
Используем далее свойство основной и взаимной системы векторов
v r
ai a j = δ ij .

(8.52)

Применим (8.52) и найдем ковариантные компоненты уравнений Максвелла в системе ρ ,ϕ , z . Однако при записи компонент введем вспомога-

101

r r r r
тельные векторы E ′, H ′, δ ′, δ ′M таким образом, чтобы для них компоненты rot
имели формальную запись, тождественную выражению их в ортогональной
цилиндрической системе координат ρ ,ϕ , z . Тогда преобразованные контравариантные компоненты уравнений Максвелла для вспомогательных вектоr r r r
ров E ′, H ′, δ ′, δ ′M в системе переменных ρ ,ϕ , z , которые рассматриваются
теперь как ортогональные, имеют вид
r
r
) ∂E ′ ) r
+ gδ ′,
rotH ′ = ε 0 g
∂t
r
r
) ∂H ′ ) r М
− gδ ′ .
rotE ′ = − µ0 g
∂t

Здесь

⎛ g 11 / ρ g 12
⎜
)
g = V ⎜ g 21
ρg 22
⎜
⎜ g 31 / ρ g 32
⎝

(8.53)

g 13 / ρ ⎞⎟
g 23 ⎟ ,
⎟
33
g / ρ ⎟⎠

r r
r r
r r
rr
r
r
E ′ = ρ0 Eρ′ + ϕ0 Eϕ′ + z0 Ez′ , Eρ′ = ( E , a1 ), Eϕ′ = ( E , a 2 ) / ρ , Ez′ = ( Ea 3 ) , остальные
r r r
конструируются аналогичным образом. Причем,
векторы H ′, δ ′, δ ′M
r r r
ρ0 ,ϕ 0 , z0 - тройка ортогональных векторов.
Физические векторы в исходной системе r ,ϕ , z рассчитываются через
вспомогательные следующим образом (на примере E):
Er = g11 ( g11E ρ′ + g12 ρEϕ′ + g13 E ′z ) ,
Er = g 22 ( g 21E ρ′ + g 22 ρEϕ′ + g 23 E z′ ) ,
Er = g33 ( g 31E ρ′ + g 32 ρEϕ′ + g 33 E z′ ) .
Здесь

∂b ∂b1 2
r r
r r
g11 = a1a1 = b 2 , g 22 = a2 a2 = [( ρ − 1)
+
] + ( ρb − b + b1 ) 2 ,
∂ϕ ∂ϕ
r r
∂b ∂b
g33 = a3a3 = 1 + [( ρ − 1) + 1 ]2 .
∂z ∂z

В результате проведенных преобразований мы приходим к следующей
переформулировке исходной краевой задачи возбуждения волн в произвольно нерегулярном коаксиальном волноводе (8.49): найти решения системы
(8.53) в ортогональной системе ρ ,ϕ , z при граничных условиях
r r
r r
⎡⎣ n1 , E ′⎤⎦ = 0, ⎡⎣ n2 , E ′⎤⎦
= 0,
(8.54)
ρ =1
ρ =α
r r r
r
n1 = r0 , n2 = − r0 .
102

Прежде чем переходить к решению (8.53), целесообразно для улучшения его сходимости выделить в (8.53) электростатическую
часть поля источr
ников, содержащую разрыв
первой производной E ′ и магнитостатическую,
r
содержащую разрыв H ′ .
При этом динамическая задача имеет вид
r
r
r
r
) ∂ E1 ) r
) ∂ H1 ) r“
+ gδ1 , rotE1 = − µ0 g
− gδ1 ,
rotH1 = ε 0 g
∂t
∂t

(8.55)

r r
r r
⎡ r0 , E1 ⎤ = 0, ⎡ r0 , E1 ⎤
⎣
⎦ ρ =1
⎣
⎦ ρ =α = 0 .

(8.56)

r r
Здесь δ1 = δ ′ − ε 0 grad ( ∂Φ e′ / ∂ t ) ,

r

r
r
E1 = E ′ + gradΦ e′ .

r

r
r
′ ,
H 1 = H ′ + gradΦ M

′ / ∂t ) ,
δ 1М = δ ′М − µ0 grad (∂Φ М

Φ e′ ,Φ м′ - соответственно электрический и магнитный скалярные потенциалы
источников.
r r
Существенно, что E1, H1 - непрерывные на границе источников векторы и операция rпочленного
дифференцирования представляющих их в решеr
нии рядов (rot E ′ , H ′ ) допустима, поскольку эти ряды сходятся равномерно.
Остановимся на решении задачи (8.55),(8.56), полагая режим установившимся и периодическим. Представим:

r
r& jmωt r
r& jmωt
E1t = Re ∑ Etme
, E1z = Re ∑ Ezme
,
m

m

(

)

I
N
r
e
м
(z )ernie + A&mni
(z )erniм + A&mT erT ,
Etm = ∑ ∑ A& mni
i =1n = − N

I
r&
Ezm = ∑

N

r

∑ C& mni ( z )ϕni a 3.

i =1 n =− N

Здесь и далее индекс «t» обозначает поперечную составляющую соответствующих компонент

r
r& jmωt
r
r&
H1t = Re ∑ H tme
, H1z = Re ∑ H zme jmωt ,
m

m

(

)

I
N
r
r
r
r
e
м
(z )hnie + B&mni
(z )hniм + B&mT ( z )h T ,
H& tm = ∑ ∑ B& mni
i =1n = − N

103

I
N
r
r
H& zm = ∑ ∑ H& mni ( z )ψ ni z0 .
i =1n = − N

ϕ ni = Fnie ( ρ )e − jnϕ , ψ ni = Fniм ( ρ )e − jnϕ ,

Здесь

r
r
r
r
r
r
r n
e T = ρ0 1 / ρ , h T = ϕ0 1 / ρ , enie = [ ρ0 Fnie ( ρ ) − jϕ0 e Fnie ( ρ )]e − jnϕ ,

χ ni

r
r
r n
r
n
r
r
eniм = −[ ρ0 Fniм ( ρ ) j м + ϕ0 Fniм ( ρ )]e − jnϕ , hnie = [ ρ0 j e Fnie ( ρ ) + ϕ0 Fnie ( ρ )]e − jnϕ ,

χ ni

χ ni

r
r
r n
J (χ e ρ ) N (χ e ρ )
hniм = [ ρ0 Fniм ( ρ ) − ϕ0 j м Fniм ( ρ )]e − jnϕ , Fnie ( ρ ) = n nie − n nie ,
J n ( χ ni )
N n ( χ ni )
χ ni
Fnie ( ρ )

J n′ ( χ nie ρ ) N n′ ( χ nie ρ )
J n ( χ niм ρ ) N n ( χ niм ρ )
м
, Fni ( ρ ) =
,
=
−
−
J n ( χ nie )
N n ( χ nie )
J n′ ( χ niм )
N n′ ( χ niм )

Fniм ( ρ )

J n′ ( χ niм ρ ) N n′ ( χ niм ρ )
.
−
=
J n′ ( χ niм )
N n′ ( χ niм )

e
определяются следующими дисперсионСобственные числа χ niм , χ ni
ными уравнениями:

J n′ ( χ niм ) J n′ (αχ niм ) J n ( χ nie ) J n (αχ nie )
,
=
.
=
N n′ ( χ niм ) N n′ (αχ niм ) N n ( χ nie ) N n (αχ nie )
Применяя к решению (8.55), (8.56) проекционную процедуру, имеем
2π α

re
)
∫ ∫ {rot (H tm + H zm ) − jmωε 0 g (Etm + Ezm )}e− ni ρdρdϕ =
r

r

r

r

(8.57)

0 1

1 2π 2π α ) r r e − jmωt
= ∫ ∫ ∫ gδ 1e− ni e
ρdρdϕdωt ,

π

0 0 1

2π α

rµ
)
∫ ∫ {rot (H tm + H zm ) − jmωε 0 g (Etm + Ezm )}e− ni ρdρdϕ =
r

r

r

r

(8.58)

0 1

=

1

π

2π 2π α

∫

) r r M − jmωt
g
∫ ∫ δ1e− nie ρ d ρ dϕ dωt ,

0 0 1

104

2π α

r3
)
∫ ∫ {rot (H tm + H zm ) − jmωε 0 g (Etm + Ezm )}⋅ ϕ − ni a ρdρdϕ =
r

r

r

r

(8.59)

0 1

1 2π 2π α ) r r 3
= ∫ ∫ ∫ gδ 1a ϕ − ni e− jmωt ρdρdϕdωt ,

π

0 0 1

2π α

r

)
e
∫ ∫ {rot (Etm + Ezm ) + jmωµ0 g (H tm + H zm )}h− ni ρdρdϕ =
r

r

r

r

(8.60)

0 1

1 2π 2π α ) r м r e − jmωt
= − ∫ ∫ ∫ gδ 1 h− ni e
ρdρdϕdωt ,

π

0 0 1

2π α

r

)
м
∫ ∫ {rot (Etm + Ezm ) + jmωµ0 g (H tm + H zm )}h− ni ρdρdϕ =
r

r

r

r

(8.61)

0 1

1 2π 2π α ) r м r м − jmωt
= − ∫ ∫ ∫ gδ 1 h− ni e
ρdρdϕdωt ,

π

0 0 1

2π α

r
)
∫ ∫ {rot (Etm + Ezm ) + jmωµ0 g (H tm + H zm )}ψ − ni z0 ρdρdϕ =
r

r

r

r

(8.62)

0 1

=−

1

π

2π 2π α

∫

r − jmωt
) rм
g
∫ ∫ δ1 ψ − ni z0e ρ d ρ dϕ ,

0 0 1

r&
{
(
rot
H
∫∫

2π α

)

(

)}

(8.63)

(

)}

(8.64)

r&
r&
r
) r&
+
H
−
jm
ωε
g
E
+
E
tm
zm
0
tm
zm ρ0 dρdϕ =

0 1

1 2π 2π 1 ) r r
= ∫ ∫ ∫ gδ 1 ρ0 dρdϕdωt ,

π

0 0 0

r&
{
(
rot
E
∫∫

2π α

)

r&
r&
r
) r&
+
E
+
jm
ωµ
g
H
+
H
tm
zm
0
tm
zm ϕ 0 dρdϕ =

0 1

1 2π 2π α ) r м r
= − ∫ ∫ ∫ gδ 1 ϕ0 dρdϕdωt .

π

0 0 1

Уравнения (8.57)-(8.64) образуют полную систему ОДУ первого порядка, определяющую комплексные амплитуды связанных волн
e
м
e
м
A&mni
( z ), A&mni
( z ), B& mni
( z ), B& mni
( z ), C& mni ( z ), H& nmi ( z ), A&mT ( z ), B&mT ( z ) , т.е. (8.57)-(8.64)
представляет собой систему уравнений возбуждения динамических полей коаксиального волновода произвольной нерегулярной конфигурации, возбуж-

105

даемого негармоническими электрическими и магнитными токами источников.
В заключение заметим, что полученные уравнения возбуждения справедливы, строго говоря, только в случае, когда граничные поверхности коак∂b
∂b
сиального волновода не имеют изломов, т.е.
и
не имеют разрывов.
∂ϕ
∂z
Практически, однако, они могут использоваться в этом случае, если при численном интегрировании уравнений обходить точки разрыва производных путем соответствующего выбора шага интегрирования.

8.7. Уравнения возбуждения нерегулярных
замедляющих систем
Поставим задачу следующим образом. Требуется найти решение уравнений Максвелла для гармонических процессов

r
r r
⎧⎪rotH& = jωε& E& + δ& ,
a
⎨
r&
r&
⎪⎩ rotE = − jωµ& a H

(8.65)

при граничных условиях импедансного типа
E&τ
= Z& ( z ) .
&
Hτ

(8.66)

Здесь координата z соответствует направлению оси замедляющей системы, поперечные координаты (в общем случае криволинейные) обозначим
q 1 , q 2.
Будем считать, что контур поперечного сечения замедляющей системы
не зависит от z и её нерегулярность обусловлена только зависимостью от z
импеданса стенок (или эквивалентных им боковых поверхностей, на которых
задан Z& ( z ) ).
В качестве
r r базисных функций изберем «квазирегулярную» систему
функций E S , H S вида

r&
r
− j h dz
ES = ES0 ( q1, q2 , ℵS ( z ) ) e ∫ S ,
r&
r
− j h dz
H S = H S0 ( q1, q2 , ℵS ( z ) ) e ∫ S ,

(8.67)

hS = k 2 + ℵ2S .

106

r r
Функции E S , H S удовлетворяют граничным условиям (8.66) в каждом
сечении z' и являются решениями однородных уравнений (8.65) для регулярной системы с Z& = Z& ( z ′) при всех z (соответственно и ℵS ( z ′) = Const в эквиr
⎧ ES ⎫
валентной регулярной системе). Система функций ⎨ r ⎬ ортогональна в ка⎩H S ⎭
ждом сечении z′ , как и всякая система собственных волн регулярного волновода, т.е.

∫ {⎡⎣ E ,
r

J S ,P =

S

S⊥

r
r
r
⎧ 0, p ≠ S
r
.
H P ⎤⎦ − ⎡⎣ EP , H S ⎤⎦ z0 dS⊥ = ⎨
⎩NS , p = S

}

(8.68)

Поскольку, однако, ℵS = ℵS ( z ) ≠ Const , поля (8.67) не удовлетворяют
однородным уравнениям Максвелла и система уравнений для них имеет вид

r
r
r
rotH S = jωε&a ES + ψ Se ,
r
r
r
rotES = − jωµ& a H S − ψ Sm ,
где

r r
r
− j h dZ ∂
⎡ H S0 , z0 ⎤ ,
ψ Se = −e ∫
⎣
⎦
S

r
− j h dZ
ψ Sm = e ∫
S

∂z
∂ r0 r
⎡ ES , z0 ⎤ .
⎦
∂z ⎣

r r
Таким образом, ψ Se , ψ Sm - чисто поперечные вектора, что существенно
в последующем выводе уравнений возбуждения.
Разделим все вектора на поперечные
r r и продольные и запишем разложения для поперечных составляющих Et , H t в виде

(

)

r
r
r
Et = ∑ C& S ( z )E St + C& − S ( z )E − St ,
S

(

)

r
r
r
H t = ∑ C& S ( z )H St + C& − S ( z )H − St .
S

Тогда нетрудно показать, что разложение полного поля, удовлетворяющего (8.65), должно быть записано в следующей форме (при доказательr
r
стве используется тот факт, что ψ Sml = ψ Sel = 0 ):

107

rl
r
r
r
δ
E = ∑ C& S (Z )E S + C& − S (Z )E − S −
,
jωε α
S

(

)

(

(8.69)

)

r
r
r
H = ∑ C& S ( z )H S + C& − S ( z )H − S .
S

Для определения коэффициентов разложения C& ± S ( z ) воспользуемся
леммой Лоренца для бесконечно малого объема S ⊥ dz в волноводе, предполагая, что Z& ( z ) и соответственно ℵS ( z ) - гладкие функции. В соответствии с
леммой Лоренца для dV = S ⊥ dz можно записать

{[

] [

]}

(

)

re r
re r rm r
rm r
r r
r r r
d
E
,
H
−
E
,
H
Z
dS
=
δ
E
−
δ
E
−
δ
H
+
δ
2
1
0
⊥
∫ 1 2
∫ 1 2 2 1 1 2 2 H 1 dS .
dz S
S
⊥

(8.70)

⊥

r
r r
r r
Полагая в качестве E1 , H 1 поля (8.69) ( δ 1e = δ , δ 1m = 0 ), а в качестве
r
r
r r
r
r
r
r
E 2 , H 2 поля E ± S , H ± S ( δ 2e = ψ me S , δ m2 = ψ mmS ) и с учетом условия ортогональности (8.68), из (8.70) получаем
rr
d &
CS N S = ∫ δ E− S dS⊥ + ∑ C& P γ p , − S
dz
P
S⊥
rr
d &
C− S N − S = ∫ δ ES dS⊥ + ∑ C& P γ p , S .
dz
P
S⊥

(

(

)

(8.71)

)

Здесь

γ p , ± S = γ mp , ± S − γ ep , ± S = γ ± S , p , γ ep , ± S =

∫

S⊥

r r
E Pψ ±e S dS ⊥ , γ mp , ± S =

r rm
H
∫ Pψ ± S dS ⊥ .

S⊥

Система (8.71) представляет собой совершенно общую форму уравнений возбуждения для произвольной нерегулярной замедляющей системы.
Заметим, что (8.71) нетрудно видоизменить на случай, когда выделяетr
ρ
ся квазистатическая часть электрического поля E cm = − gradΦ, ∇ 2 Φ = − .
εa
r
r
r
В этом случае в (8.71) δ необходимо заменить на δ ′ = δ − jωε a gradΦ .

8.8. Нерегулярные волноводы с прямоугольным сечением.

108

Теория и приложения
Нерегулярные волноводы с прямоугольным сечением весьма широко
используются как в различных устройствах СВЧ и антенной технике, так и в
приборах СВЧ и КВЧ с пространственно - развитыми ленточными электронными потоками: ЛБВ, ЛОВО- и М-типов, оротронах, убитронах и других типах лазеров на свободных электронах.
В разделе 8.4 изложена теория возбуждения продольно - азимутально нерегулярных волноводов. В ее основе лежит операция отображения внутренней поверхности нерегулярного волновода на регулярный круговой цилиндр единичного радиуса. Соответственно используются цилиндрические
координаты r,ϕ , z . В случае нерегулярных волноводов с прямоугольным сечением этой теорией не только неудобно пользоваться из-за несоответствия
естественных для прямоугольного волновода декартовых координат x, y, z с
принятым в теории цилиндрическими, но и, строго говоря, невозможно, поскольку в угловых точках прямоугольного сечения имеет место разрыв производных ∂b ( z , ϕ ) / ∂ϕ ( b ( z , ϕ ) - радиус внутреннего контура волновода в
координатах r,ϕ , z ) .
Ниже развита строгая теория возбуждения произвольно – нерегулярных волноводов с прямоугольным поперечным сечением, основанная на операции отображения нерегулярной внутренней поверхности волновода на регулярный цилиндр с прямоугольным сечением и использовании прямоугольной системы координат. Приведены примеры расчета ЛБВ-О, заграждающего фильтра, а также дисперсионных характеристик периодического волновода на основе предложенной теории.
Преобразование координат. Рассмотрим (Рис. 8.1) произвольно (по х и
y

z

y
x

S1
S1

S2
S2

x

Рис.8.1.
у) нерегулярный прямоугольный волновод (x, y, z – компоненты исходной
прямоугольной системы координат). На (Рис.8.2, а) изображено начальное
поперечное сечение волновода z=0. Система координат выбрана таким обра109

y
Dyp(z)

y

v

Dy0

α

x

x

Dx0

-Dx0

-Dy0

u

Dxp(z)

Dxm(z)

1

-1
-α

Dym(z)

а)

б)

в)

Рис.8.2.
зом, что ее начало (точка x=y=z=0) соответствует центру поперечного сечения. В текущем поперечном сечении z нерегулярного волновода (Рис.8.2, б)
это не так: в общем случае Dxp(z)≠-Dxm(z), Dyp(z)≠-Dym(z). Задача состоит в определении поля, возбуждаемого в волноводе источниками, заданными плотностью стороннего электрического тока

r

r

r

r

δ = x0δ x (x, y, z, t ) + y 0δ y ( x, y , z, t ) + z 0δ z ( x, y , z, t )
и плотностью стороннего магнитного тока

r

r

r

r

δ м = x0δ xм ( x, y, z , t ) + y0δ yм ( x, y, z , t ) + z0δ zм ( x, y, z , t ) .
Искомое поле должно удовлетворять граничным условиям на боковых
стенках волновода S1,2 (потерями в стенках пренебрегаем, σ → ∞ )

r
r
⎡ n1,2 E ⎤
⎣
⎦

S1 , 2

=0

(8.72)

r
( n1,2 - внешняя нормаль на вертикальных и горизонтальных стенках волновода).
Для решения поставленной задачи воспользуемся методом преобразования координат, позволяющим преобразовать граничную задачу (8.72) (Рис.
8.1, Рис.8.2, б) к элементарной (Рис.8.2, в): контур поперечного сечения симметричен относительно z и не зависит от z. Введем следующие преобразования координат:
u=

x+b
y+h
, z=z,
, v=
a
q

(прямое),

(8.73)

110

x = a u − b, y = q v − h
где

(обратное),

a ( z ) = ( Dxp ( z ) − Dxm ( z )) / 2,

(8.74)

b = ( Dxp ( z ) + Dxm ( z )) / 2,

q ( z ) = ( Dyp ( z ) − Dym ( z )) / 2α , h = ( Dyp ( z ) + Dym ( z )) / 2, α = Dyo / Dxo .
При таком преобразовании в новых переменных внутренняя граничная
поверхность волновода регулярна (Рис.8.2, в):

u = ±1

(S )
'
1

и ν = ±α

(S ).
'
2

Учитывая обратное преобразование (8.74), для радиуса-вектора точки
во внутренней области в новой системе координат u, v, z имеем

r
r
r
r
r ( u , v, z ) = z0 z + x0 ( au + b ) + y0 ( qv + h ) .
Обозначим далее az =

da
db
dq
dh
, bz = , qz = , hz =
.
dz
dz
dz
dz

Определим основную систему векторов косоугольной координатной
системы u, v, z :

r
r
r ∂r
r
r ∂r
r
a1 =
= a x0 , a2 =
= q y0 ,
∂u
∂v
r
r ∂r r
r
r
a3 =
= z0 + ( uaz + bz ) x0 + ( vqz + hz ) y0 .
∂z

r r r
Взаимная система векторов a 1 , a 2 , a 3 находится следующим образом:
r r
r r
r r
r 1 a 2 × a 3 r 2 a 3 × a1 r 3 a1 × a 2
a =
, a =
, a =
,
V
V
V

r r r
r r r
r r r
V = a1 (a 2 × a 3 ) = a 2 (a 3 × a1 ) = a 3 (a1 × a 2 ) = aq .
Производя указанные действия, имеем

r 1 r r
a 1 = ( x0 − z0 ( uaz + bz ) ) ,
a
r
1 r r
a 2 = ( y0 − z0 ( vqz + hz ) ) ,
q

111

r
r
a 3 = z0 .
Найдем теперь элементы метрического тензора

(

)

(

)

r r
2
g 11 = a 1 a 1 = a −2 1 + ( uaz + bz ) ,
r r
2
g 22 = a 2 a 2 = q −2 1 + ( vqz + hz ) ,
g 33 = 1 ,
r r
g 12 = a 1 a 2 = ( uaz + bz )

( vqz + hz ) = g 21 ,

r r
g 13 = a 1 a 3 = − a −1 ( uaz + bz ) = g 31 ,
r r
g 23 = a 2 a 3 = − q −1 ( vqz + hz ) .

Представим вектора электромагнитного поля и тока в виде (на примере
r
H ):

r
r
r
r
r
r
r
H = H x x0 + H y y0 + H z z0 = H u a 1 + H v a 2 + Hζ a 3 ,
r
где H u , H v , Hζ - ковариантные проекции H , которые связаны с исходными следующим образом:
H x = H u / a, H y = H v / q, H z = H ζ −

az u + bz
q v + hz
Hu − z
Hv .
a
q

(8.75)

Запишем теперь уравнения Максвелла в новой системе координат

1 ⎧⎛ ∂Hζ ∂H v ⎞ r ⎛ ∂H u ∂Hζ ⎞ r ⎛ ∂H v ∂H u ⎞ r ⎫
−
−
−
⎨⎜
⎟ a1 + ⎜
⎟ a2 + ⎜
⎟ a3 ⎬ =
V ⎩⎝ ∂v
z
u
u
v
∂z ⎠
∂
∂
∂
∂
⎝
⎠ ⎭
⎝
⎠
r r
⎛ ∂E r ∂E r ∂E r ⎞
r
r
= ε0 ⎜ u a1 + v a 2 + ζ a 3 ⎟ + δ u a1 + δ v a 2 + δζ a 3 ,
∂t
∂t
⎝ ∂t
⎠
1 ⎧⎛ ∂Eζ ∂Ev ⎞ r ⎛ ∂Eu ∂Eζ ⎞ r ⎛ ∂Ev ∂Eu ⎞ r ⎫
−
−
−
⎨⎜
⎟ a1 + ⎜
⎟ a2 + ⎜
⎟ a3 ⎬ =
V ⎩⎝ ∂v
z
u
u
v
∂z ⎠
∂
∂
∂
∂
⎝
⎠ ⎭
⎝
⎠

(8.76)

(8.77)

112

⎛ ∂H r ∂H v r 2 ∂Hζ r 3 ⎞
r
r
r
a +
a ⎟ − δ uм a 1 − δ vм a 2 − δ ζм a 3 .
− µ0 ⎜ u a 1 +
∂t
∂t
⎝ ∂t
⎠
Используя далее свойство ортогональности основной и взаимной сисr r
темы векторов ai a i = δ ij и умножая скалярно уравнения (8.76), (8.77) на
r r
r
a 1 , a 2 , a 3 , получаем контравариантные проекции уравнений в форме

r
r ⎫
r1
∂E 1
rotH = ε 0 gˆ
+ gˆδ 1 , ⎪
⎪
∂t
r1
⎬
r 1м ⎪
r1
∂H
rotE = − µ0 gˆ
− gˆδ .
⎪⎭
∂t

(8.78)

r
r
r
r
r
r r
r
gˆ = Vg , g = g ij , r = ux0 + vy0 + zz0 , H 1 = H u x0 + H v y0 + Hζ z0
r r r
гично E 1 , δ 1 , δ 1m ).
Граничные условия (1) теперь принимают вид:

( )

Здесь

Eu1, z

v =±α

= 0,

Ev1, z

u =±1

= 0.

(анало-

(8.79)

Проекционные соотношения для амплитуд связанных волн нерегулярного волновода. Прежде чем переходить к решению задачи (8.78), (8.79), целесообразно для улучшения его сходимости выделить в (8.78) электростатиr
ческую часть поля источников, содержащую разрыв первой производной E 1 ,
r
и магнитостатическую, содержащую разрыв H 1 .
При этом динамическая задача имеет вид

r
r ⎫
r
∂E1
rotH 1 = ε 0 gˆ
+ gˆδ 1 , ⎪
⎪
∂t
r
⎬
rм ⎪
r
∂H 1
rotE1 = − µ0 gˆ
− gˆδ 1 ,
⎪⎭
∂t

E1 u , z

v =±α

= 0,

r r
Здесь δ 1 = δ 1 − ε 0 grad
r

r

E1 v , z

u =±1

(8.80)

=0.

( ∂Ф ∂t ) ,
e

(

)

(8.81)

r
r
E1 = E 1 + grad Ф e ,
r

r

δ 1м = δ 1м − µ0 grad ∂Ф м ∂t , H 1 = H 1 + grad Ф м ,
Фe, Фм – соответственно электрический и магнитный потенциалы источников.

113

r r
Существенно, что Е1 , Н 1 - непрерывные на границе источников векторы и операция почленного дифференцирования представляющих их в решеr
r
нии рядов rotE1 , rotH 1 допустима, поскольку эти ряды сходятся равномер-

(

)

но.
Остановимся на решении задачи (8.80), (8.81), полагая режим установившимся (периодическим). Представим искомое решение в системе u, v, z в
виде разложения по собственным функциям регулярного волновода следующим образом:

(

)

(

)

r
r&
r&
r
r&
r&
E1 = Re ∑ Ets + Eζ s e jsωt , H 1 = Re ∑ H ts + Hζ s e jsωt ,
s

s

M N
K L
r&
re
r
e
&
Ets = ∑ ∑ Asmn ( z )emn + ∑∑ A& skм l ( z )ekмl ,
m=1 n =1

k =0 l =0

M N
r&
e r
Eζ s = ∑ ∑ C& smn ( z )ψ mn
z0 ,
m =1 n =1

M N
K L
re
r
r&
e
( z )hmn
H ts = ∑∑ B& smn
+ ∑∑ B& skм l ( z )hkмl ,
m =1 n =1

k =0 l =0

K L
r
r
Hζ s = ∑∑ D& sk l ( z )ψ kмl z0 .
k =0 l =0

e
Здесь ψ mn
= sin

mπ ( u + 1)
nπ ( v + 1)
kπ ( u + 1)
lπ ( v + 1 )
sin
, ψ kмl = cos
cos
,
2
2α
2
2α

mπ ( u + 1)
nπ ( v + α ) r nπ
mπ ( u + 1)
nπ ( v + α ) r
re
mπ
e
emn
= ∇ψ mn
=
x0 +
y0
cos
sin
sin
cos
2
2
2α
2α
2
2α
kπ ( u + 1)
lπ ( v + α ) r kπ
kπ ( u + 1)
lπ ( v + α ) r
r
lπ
r
ekмl = ∇ × z0ψ kel =
x0 −
y0
cos
sin
sin
cos
2α
2
2α
2
2
2α
re
mπ ( u + 1)
nπ ( v + α ) r mπ
mπ ( u + 1) nπ ( v + α ) r
r м nπ
hmn
= ∇ × z0ψ mn
=
x0 −
y0
sin
cos
cos
sin
2α
2
2α
2
2
2α
r
lπ ( v + α ) r lπ
lπ ( v + α ) r
kπ ( u + 1)
kπ ( u + 1)
kπ
hkмl = −∇ψ kмl =
x0 +
y0
sin
cos
cos
sin
2
2
2α
2α
2
2α

114

Применяя к решению (8.80), (8.81) проекционную процедуру, получим
следующую систему проекционных соотношений для определения амплитуд:

∫ ∫{
1 α

−1 −α

=

1

2π 1 α

∫∫∫

π

∫ ∫{
1

α

1

π

1

∫ ∫
0

α

1

π
α

π

(

)}

(8.85)

α

)}

(8.86)

r r

м e − jsω t
∫ δ 1 hpr e dvdudωt ,

−1 −α

)

(

1

∫ ∫
0

(

α

r r

м м − jsω t
∫ δ 1 hpr e dvdudωt ,

−1 −α

)

(

}

r&
r&
r&
м r
gˆ −1rot Ets + Eζ s + jsωµ0 H ts ψ pr
z0 dvdu =

−1 −α

1

)

r
r&
r&
r&
r&
gˆ −1rot Ets + Eζ s + jsωµ0 H ts + Hζ s h prм dvdu =

2π

∫ ∫{

=−

(8.84)

rr
gˆδ z0ψ epr e − jsωt dvdudω t ,

(

−1 −α

−1

)}

re
r&
r&
r&
r&
gˆ −1rot Ets + Eζ s + jsωµ0 H ts + Hζ s h pr
dvdu =

2π

∫ ∫{

=−

(

−1 −α

0

−1 −α

1

)

α

1

∫ ∫{

=−

(8.83)

rr
gˆδ 1e prм e − jsωt dvdudω t ,

(

∫ ∫ ∫

π

)}

r&
r&
r
r&
r
rot H ts + Hζ s − jsωε 0 gˆ Ets + Eζ s ψ epr z0 dvdu =

−1 −α
2π

1

(

−1 −α

0

α

1

α

1

∫ ∫{

=

)

(

∫ ∫ ∫

π

1

(8.82)

r r e − jsωt
gˆδ 1e pr
e
dvdudω t ,

r&
r&
r
r
r
rot H ts + Hζ s − jsωε 0 gˆ Ets + Eζ s e prм dvdu =

−1 −α
2π

=

)}

(

0 −1 −α

α

1

)

(

r&
r&
r&
r&
re
rot H ts + Hζ s − jsωε 0 gˆ Ets + Eζ s e pr
dvdu =

2π

1

∫ ∫
0

α

r

(8.87)

r

− jsωt
м м
∫ δ1 ψ pr zoe dvdudωt .

−1 −α

Уравнения (8.82) – (8.83) образуют полную систему ОДУ первого порядка, определяющую комплексные амплитуды связанных волн

115

e
e
A& smn
, A& skм l , B& smn
, B& skм l , C& smn , D& skl , т.е. они представляют собой систему уравнений
возбуждения динамических полей нерегулярного волновода с прямоугольным сечением, возбуждаемых негармоническими электрическими и магнитными токами источников. Полученные уравнения возбуждения, строго говоря, справедливы только в случае, когда граничные поверхности нерегулярного волновода не имеют изломов, т.е. az , bz , qz , hz не имеют разрывов. Практически, однако, они могут использоваться и в этом случае, если при численном интегрировании обходить точку разрыва производной путем выбора шага интегрирования таким образом, чтобы она находилась в центре интервала
интегрирования.
Самосогласованные уравнения возбуждения продольно-нерегулярного
волновода электронным потоком. Взаимодействие электронного потока с
возбуждаемым в волноводе электромагнитным полем будем описывать системой безразмерных уравнений Максвелла для комплексных амплитуд sгармоники рабочей частоты

r&
r&
r&
r&
r&
rr
rotBs = jsWEs + δ s ; rotEs = − jsWBs ; [nE ] = 0;
S

(8.88)

и уравнений движения крупных частиц, имитирующих движение электронов
пучка
r
rr
r r
r
r
dγ i β i
= −{( E + [ β i B]) + [ β i F ] + Sq Eqi }/ β zi ;
(8.89)
dz

r
r
dr⊥i β ⊥i
=
;
dz
β zi

dθ i W
=
;
dz β zi

r
r& r
E = Re(∑ Es ( r⊥i , zi )e jsθ i )
s

r

r

r

r

γ i = 1/ 1 − βi2 ,
r
r& r
B = Re(∑ Bs ( r⊥i , zi )e jsθi )
s

r

β i (0) = β i0 ; r⊥i (0) = r⊥0i θ i (0) = 2π (i − 1) / Ne; i = 1...Ne .
Здесь и далее приняты следующие безразмерные переменные (штрихом
будем обозначать размерные величины, имеющие одинаковое написание с
безразмерными):

ω

x, y, z , u , v, a, b, q, h = ( x′, y′, z′, u′, v′, a′, b′, q′, h′ ) ⋅ 0 , W = ω , θ i = ω ti ; ω –
ω0
c
r r
r
рабочая частота, ω0 – базовая, β i = vi / c , vi – скорость крупных частиц, с скорость света,

116

r

( E, A& , A&
e

м

r
, C& = E ′, A& ′e , A& ′ м , C& ′ Em ,

) (

r&

)

2π

r

( B, B& , B&
e

м

r
, D = H , B′e , B′ м , D′ cµ0 Em .,

) (

)

2eI0
;
3
m
c
ε
0 0
0
I0 - ток пучка, Em = m0ω0 c e , m0 , e - масса и заряд электрона,
r
r
r
r
F = eB0 / m0ω0 , B0 - индукция магнитостатического поля, S q Eqi - силовая составляющая поля пространственного заряда, расчет которой в каждом конкретном случае определяется выбором формы крупных частиц, конфигурацией электронного потока и области взаимодействия.
Используя проекционные соотношения (8.82-8.87) для уравнений
(8.88), а также закон сохранения заряда для связи плотности тока электронного пучка с электронными траекториями, описываемыми уравнениями
(8.89), получим следующую систему обыкновенных дифференциальных
уравнений для безразмерных амплитуд возбуждаемых мод в нерегулярном
волноводе:
π⎧
⎛ a 1cs bz cs ⎞
e
e
(8.90)
C& spr ≡ jB& spr
m ⎜ z I mp
+ I mp ⎟ +
χ 2pr / ( sWaq ) + ⎨∑ A& smr
2⎩m
a
⎝ a
⎠
1
δs =
ε 0ω0 Emπ

∫ J ( z , ω t )e

− jsω t

dω t , J ( z , t ) - плотность тока в ЭП; G0 =

⎛ q 1cs h z cs ⎞ r
b z cs ⎞
e
м ⎛ a z 1cs
n ⎜ z I nr
I nr ⎟ + ∑ Askr
I
I kp ⎟ −
+ ∑ A& spn
+
+
kp
⎜
αq
a
⎝ a
⎠
⎝ q
⎠ α k
n
⎛ q
hz cs ⎞ ⎫ C
− p ∑ A& spм l ⎜ α z I l1cs
⋅ I lr ⎟ ⎬ + I pr ; p = 1..M ; r = 1..N ; .
r +
q
⎝ q
⎠⎭
l

I&Cpr = −
e
dA& spr

dz
м
dA& spr

dz

pπ ( ui + 1)
rπ ( vi + α ) − jsθi
jG0 1 Ne
;
sin
sin
e
∑
sWaqα Ne i =1
2
2α

м e
м м
= ⎡⎣αχ pr
f pr + γ pr
f pr ⎤⎦ χ eм
pr ; p = 1..M ; r = 1..N ;

(8.92)

= ⎡⎣γ epr f pre + αχ epr f prм ⎤⎦ χ eм
pr ; p = 0..K ; r = 0..L;

rπ
e
f pre = jsWB& spr
χ 2psα + C& prαχ epr −
2
+

(8.91)

⎛a

⎞

b

∑ A&skrм χ kr2 ⎜ qz I kp1cs + qz I kpcs ⎟ +
⎝

k

⎠

pπ
hz cs ⎞
⎛q
I lr ⎟ ; p = 1..M ; r = 1..N ;
α ∑ A& spм l χ 2pl ⎜ z α I l1cs
r +
2
a
a
⎝
⎠
l

м
f prм = − jsWB& spr
χ 2prα − C& sprγ epr +

+

α pπ
2

⎛a

b

⎞ rπ

⎛q

∑ A&skrм χ kr2 ⎜ qz I kp1cs + qz I kpcs ⎟ + 2 ∑ A& pмl χ 2pl ⎜⎝ az α Ilcsr +
k

⎝

⎠

l

hz cs ⎞
I lr ⎟ ; p=0..K;
a
⎠
117

r=0..L;

χ

γ

γ

2

2
pr

2

⎛ pπ ⎞ ⎛ rπ ⎞
=⎜
⎟ +⎜
⎟ ;
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2α ⎠

e
м 2
e
м
χ eм
pr = χ pr χ prα − γ prγ pr ;

e
pr

⎧ prπ 2 ⎛ a q ⎞
⎪
⎜ − ⎟ если E pr присутствует
;
=⎨ 4 ⎝q a⎠
⎪
0 если E pr отсутствует
⎩

χ

m
pr

⎧ prπ 2 ⎛ a q ⎞
⎪
⎜ − ⎟ если H pr присутствует
;
=⎨ 4 ⎝q a⎠
⎪
0 если H pr отсутствует
⎩

χ

{

(

2

2

2

2

q ⎛ pπ ⎞ a ⎛ rπ ⎞
= ⎜
⎟ + ⎜
⎟ ;
a ⎝ 2 ⎠ q ⎝ 2α ⎠

e
pr

a ⎛ pπ ⎞ q ⎛ rπ ⎞
= ⎜
⎟ + ⎜
⎟ ;
q ⎝ 2 ⎠ a ⎝ 2α ⎠

м
pr

)

м
D& spr = − j ( sW ) A& spr
χ 2pr ⋅ 1 + bz2 + hz2 / aq +

(8.93)

м
⎡ м 2 ⎛ az2 2cc 2az bz 1cc ⎞ π dA& skr
⎛ a 1sc bz sc ⎞ ⎤
&
I kp ⎟ −
k ⎜ z I kp
+ ∑ ⎢ Askr χ kr ⎜ I kp +
+ I kp ⎟ ⎥ +
aq
aq
2
dz
q
q
⎝
⎠ ⎥⎦
k ⎢
⎝
⎠
⎣
⎡ м 2 ⎛ qz2α 2cc 2qz hz 1cc ⎞ π dA& spм l ⎛ qz 1sc hz sc ⎞ ⎤
+ ∑ ⎢ A& sk l χ plα ⎜
I lr +
I lr ⎟ −
I lr ⎟ ⎥ −
l ⎜ I lr +
aq
aq
2
dz
a
a
α
⎝
⎠ ⎥⎦
l ⎢
⎝
⎠
⎣
e
⎡⎛
⎞ ⎛ az 1sc bz sc ⎞ ⎤
rπ
dA& smr
&
C
−
−
∑ ⎢⎜ smr dz ⎟ ⎜ q I mp + q I mp ⎟ ⎥ +
2α m ⎣⎢⎝
⎠ ⎦⎥
⎠⎝

pπ
+
2

e
⎡⎛
⎞ ⎛ qzα 1sc hz sc ⎞ ⎤ ⎪⎫
dA& spn
&
∑ ⎢⎜⎜ Cspn − dz ⎟⎟ ⎜⎝ a I nr + a I nr ⎟⎠⎥ ⎬; p = 0..K ; r = 0..L;
⎥⎦ ⎪⎭
n ⎢
⎠
⎣⎝

e
dB& spr

2
jsW π 2 ⎪⎧ & e ⎡ q
a
2
2
2 r ⎤
A
1
b
p
1
h
+
+
+
+
(8.94)
⎨ spr ⎢
z
z
2⎥
a
q
χ 2pr 4 ⎩⎪
α
⎣
⎦
pr ⎡ q
a
2
2 ⎤
& e mp q 2a b I 1cc + a 2 I 2cc +
1
b
1
h
A
+
−
+
+
∑
z
z
smr
z z mp
z mp
⎥
q
a
α ⎢⎣ a
⎦ m

=

dz
м
+ A& spr

(

(

(

)

) (

)

(

)

(

)

)

a ⎛ 2q h 1cc
⎞
м pr q
1cc
2cc
e
+ ∑ A& skr
+ az2 I kp
+ ∑ A& spn
+ qz2 I nr2cc ⎟ −
2az bz I kp
rn ⎜ z z I nr
q⎝ α
α a
⎠
k
n
a
2
2
2cc
sc
1sc
− ∑ A& spм l pr 2qz hz I l1cc
− ∑ C& smr pq bz I mp
+ az I mp
−
r + q z α I lr
π m
q
l

(

−

)

(

)

⎫

1sc
e
1
Be
C& spn a ( hz I nrsc + α qz I nr
γ mn
;
+ ∑ A& smn
+ ∑ A& skм lγ k2l ⎬ + I&pr
)
∑
π
α

2

r

n

mn

kl

⎭

118

(

)

⎛ mr cs sc np sc cs ⎞
cs 1sc
sc 1cs
I mp I nr +
I mp I nr ⎟ + bz qz mrI mp
I nr + npI mp
I nr +
α
α
⎝
⎠
⎛ mr 1cs sc np 1sc cs ⎞
1cs 1sc
1sc 1cs
I mp I nr +
I mp I nr ⎟ + az qz mrI mp
I nr + npI mp
I nr ;
+ az hz ⎜
α
⎝α
⎠
1
γ mn
= bz hz ⎜

(

)

⎛ lr cs sc
⎛ lr cs 1sc
sc cs ⎞
sc 1cs ⎞
I I − kpI kp
I lr ⎟ + bz qz ⎜ I kp
I lr − kpα I kp
I lr ⎟ +
2 kp lr
⎝α
⎠
⎝α
⎠
⎛ lr 1cs sc
⎛ lr 1cs 1sc
1sc cs ⎞
1sc 1cs ⎞
I lr − kpI kp
I lr ⎟ + az qz ⎜ I kp
I lr − kpα I kp
I lr ⎟ ;
+ az hz ⎜ 2 I kp
⎝α
⎠
⎝α
⎠

γ k2l = bz hz ⎜

pπ ( ui + 1)
rπ ( vi + α )
⎞ pπ
1 Ne ⎡ 1 ⎛ β xi
cos
sin
− ui az − bz ⎟
+
⎢ ⎜
∑
2
2
2
α
χ prα Ne i =1 ⎣ a ⎝ β zi
⎠

G
Be
I&pr
= − 20

pπ ( ui + 1)
rπ ( vi + α ) ⎤ − jsθ i
⎞ rπ
1⎛ β
sin
cos
;
+ ⎜ yi − vi qz − hz ⎟
⎥e
α
α
q ⎝ β zi
2
2
2
⎠
⎦

p = 1..M ; r = 1..N ;
м
dB& spr

jsW π 2 ⎧ e pr ⎡ q
a
2
2 ⎤
&
1
b
1
h
(8.95)
= − Dspr − 2
+
−
+
⎨ Aspr
z
z ⎥+
dz
q
α ⎢⎣ a
χ pr 4 ⎩
⎦
2
⎤
a
м ⎡q
2 r
e q mr
1cc
2cc 2
&
+ Aspr ⎢ 1 + bz 2 + 1 + hz2 p 2 ⎥ + ∑ A& spr
I mp
2az bz + I mp
az +
a
q
a
α
α
⎣
⎦ m
2
a 1cc
м r q
1cc
2cc 2
e
I kp
2az bz + I kp
az − ∑ A& spn
np I nr
2qz hz + I nr2ccα qz2 +
+ ∑ A& skr
2
q
α a
k
n
a
2
qr sc
2cc
2
1sc
+ ∑ A& spм l p 2α I l1cc
C& smr
I mpbz + I mp
az +
∑
r 2q z hz + I ls α q z −
q
π m
α
l

(

(

)

(

)

)

(

(

)

(

+

) (

)

(

)

)

(

)

⎫

1sc
e
3
Bм
C& spn ap ( I nrsc hz + I nr
α qz ) − ∑ Asmn
γ mn
;
− ∑ Askм lγ k4l ⎬ + I&pr
∑
π

2

n

mn

⎛
⎝

⎭

kl

nr 1sc cs ⎞
⎛
sc cs ⎞
1cs sc
I
I
a
h
mpI
I
I I +
+
−
mp
nr
z
z
mp
nr
⎟
⎜
2 mp nr ⎟
α2
α
⎠
⎝
⎠
nr sc 1cs ⎞
nr 1sc 1cs ⎞
⎛
⎛
cs 1sc
1cs 1sc
I nr − 2 I mp
I nr ⎟ + α az qz ⎜ mpI mp
I nr − 2 I mp
I nr ⎟ ;
+ α qz bz ⎜ mpI mp
α
α
⎝
⎠
⎝
⎠

3
cs sc
I nr −
γ mn
= bz hz ⎜ mpI mp

γ k4l =

nr

ah
lpI I + krI I ) +
(
( lpI I
α
α
+ q b ( lpI I + krI I ) + a q ( lpI

bz hz

z z

cs sc
kp lr

cs 1sc
kp lr

sc cs
kp lr

sc 1cs
kp lr

1cs sc
kp lr

z z

z z

)

1sc cs
I lr +
+ krI kp

1cs sc
kp I lr

)

1sc cs
+ krI kp
I lr ;

119

pπ ( ui + 1)
rπ ( vi + α )
⎞ rπ
1 Ne ⎡ 1 ⎛ β xi
cos
sin
− ui az − bz ⎟
−
⎢ ⎜
∑
2
2
2
α
α
χ prα Ne i =1 ⎣ a ⎝ β zi
⎠

G
Bм
I&pr
= 20

pπ ( ui + 1)
rπ ( vi + α ) ⎤ − jsθ i
⎞ pπ
1⎛ β
sin
cos
− ⎜ yi − vi qz − hz ⎟
⎥e
q ⎝ β zi
2
2
2
α
⎠
⎦

p = 0..K ; r = 0..L ;
здесь ui ,vi , β xi , β yi , β zi - координаты и скорости частиц в сечении z,

I ijcs

1

= ∫ cos
−1
1

I ij1cs =

I ij2cs =

iπ ( x + 1)
jπ ( x + 1)
sin
dx;
2
2

∫ x cos

−1
1

iπ ( x + 1)
jπ ( x + 1)
sin
dx; I ij1sc = I 1cs
ji ;
2
2

2
∫ x cos

−1

I ijsc = I csji ;

iπ ( x + 1)
jπ ( x + 1)
sin
dx; I ij2sc = I 2cs
ji ;
2
2

аналогично обозначаются интегралы I ij1cc , I ij2cc , I ij1ss , I ij2ss .
При учете связи (8.75) ковариантных проекций векторов электромагнитного поля с физическими, уравнения (8.89)-(8.95) представляют самосогласованную систему обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих процессы возбуждения электромагнитных полей в нерегулярном
волноводе прямоугольного сечения.
При задании граничных условий для уравнений (8.90)-(8.95) используем тот факт, что на регулярных участках волновода волновое поле представляет собой сумму прямой и обратной волн вида:

⎡
mn ⎣

e+
⋅ e − jK
∑ ⎢e&mn

zmn

(Er& Br& )
+

(

+

e
mn

r& r&
− jK
⎡
+ ∑ ⎢e&kмl+ ⋅ e zk l E + B +
kl ⎣

)

м
kl

(

r r
e−
+ e&mn
⋅ e + jK zmn E& − B& −

+ e&klм− ⋅ e

+ jK

(

zk l

(

)

⎤
+
⎦
r& − r& − м ⎤
E B
⎥
kl ⎦

r r
e±
где e&mn
, e&kмl± - постоянные амплитуды, E& ± B& ±

e

mn ⎥

(8.96)

)

)

e, м

- собственные функции Eij

и Hij регулярного волновода, K zij = W 2 − K tij2 - продольное волновое число,
2

⎛
⎞ ⎛
⎞
iπ
jπ
K tij = ⎜
+⎜
⎟
⎜ Dxp − Dym ⎟ ⎜ Dyp − Dym ⎟⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠

2

- поперечное волновое число.

Используя соотношения (8.75) а также предполагая, что при z ≤ 0 волновод регулярный, запишем начальные условия для амплитуд:

120

(

)

(

)

(

)

(

)

e
e−
e+
A& mn
(0 ) = e&mn
− e&mn
⋅ K zmn / K tmn ( 0 ) ,
e
e−
e+
B& mn
(0 ) = e&mn
+ e&mn
⋅ W / K tmn ( 0 ) ,

(8.97)

A& kмl (0 ) = e&kмl+ + e&kмl− ⋅ W / K tkl ( 0 ) ,
B& kмl (0 ) = e&kмl+ − e&kмl− ⋅ K zkl / K tkl ( 0 ) ,
Безразмерная мощность, переносимая волновым полем через поперечное сечение волновода в выбранных переменных имеет вид

⎡
2
e
e*
P ( z ) = −α ⋅ ∑ ⎢ ∑ χ mn
real A& smn
B& smn
+
s ⎣ mn

(

) ∑χ
kl

2
k l real

( A&

м & м*
sk l Bsk l

)⎤⎥ .
⎦

(8.98)

Исходя из представления (8.96) на регулярных участках, а также в точках волновода, где az=bz=qz=hz=0, мощности прямой и обратной волн в выбранных безразмерных переменных выражаются следующим образом:
*
⎧
⎡⎛
& e ⎞⎛ e
&e ⎞ ⎤
j
dA
j
dB
⎪
2
e
smn
smn
P = −α ⋅ ∑ ⎨∑ χ mn ⋅ real ⎢⎜ A& smn ±
⎟⎜ B& smn ±
⎟ ⎥+
K
dz
K
dz
⎢⎝
s ⎪ mn
zmn
zmn
⎠⎝
⎠ ⎥⎦
⎣
⎩
м
м *⎤⎫
⎡⎛
&
&
⎞⎛
⎞ ⎪
j
dA
j
dB
м
sk l
sk l
+ ∑ χ k2l ⋅ real ⎢⎜ A& skм l ±
(8.99)
⎟⎜ B& sk l ±
⎟ ⎥⎬
K
dz
K
dz
⎢
⎥
zk l
zk l
kl
⎠⎝
⎠ ⎦ ⎪⎭
⎣⎝
Эффективность взаимодействия электронного потока с возбуждаемым
электромагнитным полем оценивается величиной электронного КПД
±

ηe =

1 Ne γ i ( z ) − γ i (0 )
;
∑
Ne i =1 1 − γ i (0 )

(8.100)

или волнового КПД

P ( z ) − P (0 )
ηv =
;
G0 (γ 0 − 1)

P ± ( z ) − P ± (0 )
η =
;
G0 (γ 0 − 1)
±
v

Расчет эффективности по разным формулам позволяет контролировать
погрешность вычислений, т.к. при отсутствии потерь в стенках волновода из-

121

за сохранения баланса энергии должно выполняться условие ηe = ηv , а также
на регулярных участках ηv = ηv+ + ηv− .
Ниже приведены примеры моделирования приборов и устройств СВЧ
на основе развитой теории.
ЛБВ-О на нерегулярном гофрированном волноводе прямоугольного сечения. Схема ЛБВ приведена на Рис.8.3. Формируемый электронной пушкой

Рис. 8.3.
ленточный электронный поток, проходя в зазоре волновода с гофрированны-

y

Dyp
x
Dxm

Dym

Dxp

Рис.8.4
ми стенками (Рис. 8.4), взаимодействует с усиливаемой Е11-волной и другими
связанными с ней волнами, после чего осаждается на коллекторе. Ввод сигнала и вывод СВЧ энергии осуществляется через согласованные
В
r переходы.
r
области взаимодействия создано однородное магнитное поле F = F0 z0 , обеспечивающее минимизацию поперечных составляющих скорости пучка.
Профиль гофра задавался в виде:

Dxm = − Dxo ;

Dym = − Dyo − hym ( z )sin 2 (n ymπ z / L) ;

(8.101)

Dxp = Dxo ;
Dyp = Dyo + hyp ( z )sin 2 (n ypπ z / L) .
В математической модели ЛБВ-О приняты трехмерные
уравнения двиr0
r r
жения крупных частиц (8.89) с начальными условиями β i = β 0 z0 , r⊥0i = 0 . Начальные условия для амплитуд (8.87) задавались исходя из того, что на вход

122

e+
0
подается сигнал в виде падающей Е11 - волны с амплитудой e11
re = e , амплитуды всех остальных распространяющихся волн задавались равными нулю.
Тем самым обеспечивается полное согласование на входном конце лампы.
Исходя из условия селекции рабочей E11-волны на базовой частоте, были выбраны безразмерные (отнесенные к λ0 2π ) значения Dxo =10, Dyo =2 . Оптимизировались: глубина гофра hym(z)=hyp(z)=hy(z), длина гребенки L, количество периодов nym=nyp=ny, , ток пучка I0 амплитуда сигнала e0. Анализ показывает, что в волноводе при таких размерах распространяется 12 типов волн,
однако в результате расчетов выяснилось, что основной "паразитной" волной
в рассматриваемой ЛБВ-О является волна НЕ11, которая связана в нерегулярном волноводе с волной Е11 и оказывает существенное влияние на процесс
усиления. Все другие распространяющиеся типы волн не возбуждаются.
Был произведен поиск оптимизированных по величине волнового КПД
вариантов ЛБВ-О в диапазоне напряжений электронного пучка (0.5≤β0≤0.85).
Анализ полученных результатов показал необходимость учета НE11 - волны.
Оказалось, что предварительные расчеты по упрощенной модели с учетом
только Е11- волны дают значительную погрешность. При β0 > 0.7 были найдены варианты с КПД 36% на регулярной гребенке и с КПД 57% на нерегулярной. Ниже приведены два варианта.
Вариант1(регулярная гребенка):

β0 = 0.75, I0 = 100 A, L = 71, ny = 40, hy = 1.34 ,
e 0 = 0.0025, η = 32%, K u = 13 Дб .

Вариант2: (нерегулярная гребенка)

β0 = 0.85, I0 = 386 A, L = 88, ny = 40, η = 57%, Кu = 23 Дб.
В этом варианте глубина гофра изменяется в пределах 1.005 < hy < 1.345 .
За счет оптимального профилирования глубины гофра эффективность
лампы может быть увеличена примерно в 1.5-2 раза.
Таким образом, полученная математическая модель позволяет производить расчеты и оптимизацию ЛБВ-О с нерегулярным профилем гофра замедляющей системы. Проведенные исследования показали высокую эффективность ЛБВ-О с замедляющей системой в виде гребенки с оптимально
профилированным гофром. Причем, с увеличением напряжения электронного пучка КПД такой лампы возрастает.
Заграждающий фильтр на основе периодического гофра. Рассмотрим
расчет заграждающего фильтра для волны Н10 - типа. Геометрия отрезка волновода, выполняющего функции фильтра представлена на Рис. 8.4. Профиль
гофра задавался формулами (8.101).

123

При расчете фильтра граничные условия выбираются следующим обрам+
зом. На входе задаются падающая Н10 волна с амплитудой e&01
= 1 + j0 и от-

м−
раженная e&01
= e0 ⋅ e jϕ 0 . Амплитуды всех других волн задавались равными
нулю. На выходном конце при z=L задается условие отсутствия встречной
волны P–(L)=0 и минимизируется величина проходящей мощности P+(L). В
уравнениях (19)-(24) полагается I&C = I& Be = I& Bм = 0 .
Задавались значения Dx0 , Dy0 и методом пристрелки подбирались значения e0, ϕ0, L, hy, ny из условия P–(L)=0 и min P+(L).
Расчеты, в частности, показали, что при Dx0 < π, Dy0 < π, (т.е. пока не
распространяются волны Н12, Е12), рассматриваемый периодический фильтр
(hy=const) при ny=10 обеспечивает 25ДБ затухания. При этом волны Н01, Н11,
Е11 не возбуждаются.
Один из вариантов такого фильтра приведен ниже:
Dx0 = 1.75, Dy0 = 2.75, L =70.5 , nv = 10, hy=1.38, P+(L)/P+(0) =
0.0034.
На Рис. 8.5 приведено распределение мощностей прямой и встречной
волн (8.99) P+(z), P–(z). Полоса заграждения такого фильтра уменьшается с
увеличением ny.

P+, P-

2
1,5

P+

1
0,5
0
-0,5

P-

-1
-1,5
-2
0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

z/L
Рис 8.5.
Расчет дисперсионных характеристик периодического волновода. При
расчете дисперсионных характеристик волн в периодических волноводах искомое решение для поля в волноводе подчиняется условию Флоке:

(

) (

)

r&
r&
r&
r&
E ( x, y, z + kd ) , B ( x, y, z + kd ) = E ( x, y, z ) , B ( x, y, z ) ⋅ e jkϕ0 .

(8.102)

124

здесь d - период, 0 ≤ ϕ 0 ≤ π - набег фазы нулевой пространственной гармоники поля. Постоянные распространения пространственных гармоник определяются через ϕ0 и d по формуле:

βφ n =

d
; n = 0, ±1, ±2, ...,
ϕ0 + 2nπ

βφ n = vφ n / c

(8.103)

vφn - фазовая скорость гармоники.
При расчете зависимости ϕ0(W) для волны определенного типа (Emn или
Hkl) граничные условия при z=0 задаются следующим образом:
e&ij+ = 1, e&ij− = eor . Методом пристрелки подбираются eor, ϕ0, для которых выполняются условия при z=d , вытекающие из (8.102):
A& ij (d ) = A& ij (0 ) ⋅ e jϕ 0 ; B& ij (d ) = B& ij (0 ) ⋅ e jϕ 0 .
Анализ решений этой задачи, в частности, показал, что для отрезка периодического волновода нельзя одновременно удовлетворить условию
(8.102) и условиям полного согласования на входе и выходе
A& − (0 ) = B& − (0 ) = A& − (L ) = B& − ( L ) = 0 . Следовательно, решение, удовлетворяющее условию Флоке, является суперпозицией попутной и встречной волн и
не реализуется в практически важных случаях, когда необходимо выполнение условий согласования. Однако, пространственные гармоники всегда присутствуют в волновом поле периодического волновода, хотя их амплитуды
отличны от тех, которые реализуются в волновом поле Флоке. Поэтому знание их постоянных распространения позволяет предсказывать условия усиления и генерации волн электронными потоками.
В качестве примера расчета на Рис. 8.6. приведена зависимость ϕ0(W)
для периодического гофрированного волновода, используемого в приведенном выше варианте 1 ЛБВ-0. Верхняя кривая соответствует расчету для
Е11+НЕ11 волны, нижняя - для Е11 без учета НЕ11. Анализ показывает, что при
W& = 1 нулевая пространственная гармоника Е11+НЕ11 имеет замедление
βφ 0 = 0.71 , эта же гармоника Е11-волны имеет замедление βφ 0 = 0.755 . Таким
образом, усиление в этом варианте реализуется при синхронизме именно с
пространственной гармоникой комбинированной Е11+НЕ11 волны.
Развитая строгая теория произвольно-нерегулярного волновода с прямоугольным сечением позволяет корректно решать широкий круг задач анализа и оптимизации электронных приборов и устройств СВЧ. Приведенные в
статье примеры демонстрируют недопустимость использования в этих задачах упрощенных теорий, в которых не учитывается связь различных типов
волн в нерегулярных периодических и непериодических волноводах.

125

3
ϕ0

2,5

E11+HE11
E11

2

1,5

1
0,8

0,85

0,9

0,95

1

1,05

W

1,1

Рис.8.6.

126

8.9 Т-функции для решения двухточечных
задач в теории нерегулярных волноводов
В п.8.4 развита общая теория произвольно-нерегулярных волноводов,
основанная на отображении произвольно-нерегулярной внутренней поверхности волновода на регулярный цилиндр. В преобразованной (косоугольной)
системе координат решение представляется в виде связанных нормальных
волн с использованием проекционной процедуры. При этом амплитуды связанных волн определяются системой ОДУ с переменными коэффициентами,
вид которых определяется профилем нерегулярного волновода. Граничные
условия к этой системе ставятся в начальном и конечном сечении отрезка нерегулярного волновода (двухточечная задача). Решение этой задачи традиционными методами не встречает затруднений, если рассматриваются только
распространяющиеся волны. Как показано ниже, для точного расчета волновода необходим учет и связанных с распространяющимися закритических
волн, существенно меняющих характеристики волновода. Однако для закритических волн численное решение граничной (двухточечной) задачи с использованием пошаговых методов типа Рунге-Кутта или Хемминга невозможно из-за их быстрой расходимости (из-за малых ошибок появляются резко возрастающие решения). В этом случае необходимо строить аналитические решения на системе заданных узловых точек, удовлетворяющие граничным условиям краевой задачи и представляющие собой разложение искомых
функций в базисе специальных функций, обеспечивающих разрешимость получающейся системы алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения. Такие специальные дискретно определенные Т-функции
введены и описаны ниже.

8.9.1 Т-функции
Будем предполагать, что эти функции определены на системе N равноотстоящих точек tm: t0, t1…tN-1 интервала LN. Интервал LN определим следующим образом:

LN = 2π

sin (π / N )
= 2 N sin (π / N ) .
(π / N )

(8.104)

В пределе при N → ∞ :
lim L N = 2π lim

n →∞

sin (π / N )
= 2π .
(π / N )

127

Кроме того, t m = mh, h =

LN
= 2 sin (π / N ) .
N

(8.105)

Определим системы базисных функций k-го порядка первого рода
tcNk(ktm) и второго рода tsNk(ktm) следующим образом:

⎛ 2πk ⎞
⎛ πk ⋅ t m ⎞
⎟⎟ ,
tc Nk (kt m ) = cos⎜⎜
t m ⎟⎟ = cos⎜⎜
L
N
sin(
π
/
N
)
⎝
⎠
⎝ N
⎠
k = -2, -1, 0, 1, 2… k – целое число.
⎛ 2πk ⎞
⎛ πk ⋅ t m ⎞
⎟⎟ .
ts Nk (kt m ) = sin⎜⎜
t m ⎟⎟ = sin ⎜⎜
L
N
sin(
π
/
N
)
⎝
⎠
⎝ N
⎠

(8.106)

(8.107)

Введем также комплексную tеNk-функцию

te Nk (kt m ) = tc Nk (kt m ) + jts Nk (kt m ) .

(8.108)

В пределе N → ∞, ∆t N → 0, t m → t , имеем

lim tc Nk (kt m ) = lim cos(

N →∞

N →∞

lim ts Nk (kt m ) = lim sin(

N →∞

N →∞

(π / N )
kt m ) = cos kt ,
sin(π / N )

(π / N )
kt m ) = sin kt ,
sin(π / N )

lim te Nk (kt m ) = cos(kt ) + j sin kt = e jkt .

N →∞

Таким образом, в пределе, для непрерывного аргумента t, TNk-функции
переходят в обычные тригонометрические функции.
В дискретном же варианте, как следует из определений (8.106), (8.107),
имеют место иные соотношения:

tc Nk (kt m ) = cos(kxm ) ,

(8.109)

ts Nk (kt m ) = sin(kxm ) ,

(8.110)

2π
2 sin(π / N )
m, t m =
m.
N
N
Таким образом, аргументы в Т–функциях и тригонометрических функциях k-го порядка различны. Это различие и реализует основное свойство Т–
где xm =

128

функций на дискретном множестве точек tm, приводящее к аналитическим
решениям: производные от этих функций на множестве tm с точностью до коэффициента равны самим функциям. Действительно:
tc′Nk (kt m ) = − Rk ts Nk (kt m ) ,
(8.111)

ts ′Nk (kt m ) = Rk tc Nk (kt m ) ,

(8.112)

te′Nk (kt m ) = jRk t&e Nk (kt m ) ,

(8.113)

′ (kt т ) = − Rk2tc Nk (kt m ) ,
tc′Nk

(8.114)

′ (ktт ) = − Rk2ts Nk (ktm ) ,
ts′Nk

(8.115)

′ (ktт ) = − Rk2teNk (ktm ) ,
te′Nk

(8.116)

Rk = sin(πk / N ) / sin(π / N ) .

8.9.2 Взаимодействие Hoi волн в гофрированном
волноводе с круговым сечением
Воспользуемся общей теорией нерегулярных волноводов, развитой в
[26]. В рассматриваемом случае система дифференциальных уравнений для
амплитуд связанных волн H 01 (A&1 ), …, H 0i (A&i ) имеет вид (источники внутри
отрезка волновода отсутствуют):
2
2
d 2 A& i ⎛⎜ ⎛ µ i ⎞ 1 1 2 ⎛ 1 dg ⎞ ⎞⎟ &
⎟ Ai −
+ 1− ⎜ ⎟
− µi ⎜
dT 2 ⎜⎝ ⎜⎝ µ1 ⎟⎠ g 2 3 ⎜⎝ g dT ⎟⎠ ⎟⎠

2
⎡ 1 dg
dA& j ⎡⎛ 1 dg ⎞ (5) 1 d 2 g ( 6) ⎤ ⎤
( 4)
⎟⎟ γ ij −
− ∑⎢
+ ⎢⎜⎜
γ ij
γ ⎥ A& j ⎥ = 0,
2 ij
dT ⎢⎝ g dT ⎠
g dT
j =1 ⎢ g dT
⎥⎦ ⎥⎦
⎣
j ≠i ⎣
I

(8.117)

i = 1, 2, ...
Здесь Т =

2π

λ

z , z - расстояние вдоль оси волновода, 0 ≤ T ≤ L0 , λ -

длина волны в свободном пространстве; g(T) = b(z)/b1кр, b(z) – радиус внут-

129

ренней поверхности нерегулярного волновода, b1кр – критический радиус для
волны Н01, b1кр = λ ⋅ µ1 / 2π , µi (i = 1, 2, 3...) - корни производной функции Бесселя 1-го рода нулевого порядка ( J 0′ (µi ) = 0 ) .

γ ij( 4) =
i≠ j

γ

( 5)
ij
i≠ j

µ i µ j 2 J 0 (µ i )
,
µ i2 − µ 2j J 0 (µ j )

⎡ µ i µ j ( µ i 2 + 3µ j 2 ) ⎤ 2 J (µ )
=⎢
⎥⋅ 0 i ,
2
2 2
⎢⎣ ( µ i − µ j )
⎥⎦ J 0 (µ j )

γ ij( 6) = −
i≠ j

µ i µ j 2 J 0 (µ i )
.
µ i2 − µ 2j J 0 (µ j )

В случае, когда а) вход и выход отрезка нерегулярного волновода соdg
dg
гласованы; б) на входе и выходе выполняются условия:
(0) =
( L0 ) = 0 ;
dT
dT
в) сигнал подается только с левого конца и только на волне Н01, граничные
условия в системе (8.117) имеют вид [26]:

⎫
⎪
⎪⎪
⎬,
2
⎪
⎛µ ⎞
dA& i
( L0 ) = − j 1 − ⎜⎜ i ⎟⎟ / g L2 A& i ( L0 )⎪
dT
⎪⎭
⎝ µ1 ⎠
2

⎛µ ⎞
dA& i
(0) = j 1 − ⎜⎜ i ⎟⎟ / g 02 A& i (0),
dT
⎝ µ1 ⎠

2

2

(8.118)

2

⎛µ ⎞
⎛µ ⎞
⎛µ ⎞
причем, при ⎜⎜ i ⎟⎟ / g 2 > 1 1 − ⎜⎜ i ⎟⎟ / g 2 = − j ⎜⎜ 1 ⎟⎟ / g 2 − 1 . Здесь g0 =
⎝ µ1 ⎠
⎝ µ1 ⎠
⎝ µi ⎠
g(0), gL = g(L0).
Рассмотрим исходную систему (8.117) в виде, удобном для дальнейшего
численного счета:
I ⎡
⎤
dA& j
d 2 A& i
&
& ⎥ = 0, i = 1, 2, ... ,
+
(
)
−
(
)
+
Q
(
T
)
A
Q
T
A
G
T
∑
⎢
i
i
ij
ij
j
dT
dT 2
j =1 ⎢
⎥⎦
⎣

(8.119)

j ≠i

где

Gij =

1 dg ( 4 )
γ ij , i ≠ j ,
g dT

130

2

2

⎛µ ⎞
1
1 ⎛ 1 dg ⎞
⎟⎟ ,
Qi (T ) = 1 − ⎜⎜ i ⎟⎟ 2
− µ i2 ⎜⎜
⎝ µ1 ⎠ g (T ) 3 ⎝ g dT ⎠
2

⎛ 1 dg ⎞ ( 5) 1 d 2 g ( 6 )
⎟⎟ γ ij −
Qij (T ) = ⎜⎜
γ ij ,
g dT 2
⎝ g dT ⎠

i≠ j;

Профиль волновода зададим следующим образом
3
5
⎛ ⎛T ⎞
⎛T ⎞
⎛ T ⎞ ⎞⎟
g (T ) = 1 + ∆ + H ⋅ sin a1 ⎜⎜ ⎟⎟ + a3 ⎜⎜ ⎟⎟ + a5 ⎜⎜ ⎟⎟ .
⎜ ⎝ L0 ⎠
⎝ L0 ⎠
⎝ L0 ⎠ ⎟⎠
⎝
2⎜

(8.120)

Далее представим A&1 , A& 2 , A& 3 ,... A& I в виде разложения в ряды по Тфункциям:
N
⎛ kt ⎞
A& i (t m ) = ∑ cik te Nk ⎜ m ⎟, N = N1 + N 2 + 1, i = 1, 2... .
k =− N
⎝ r ⎠
2

(8.121)

1

(Обычно N1 = N 2 ).
Здесь N – число точек на интервале [0; L0]; r =

L0
, где LN – период ТLN

функций, т.е.

L N = 2π

sin(π / N )
= 2 N sin(π / N ).
π /N

По определению (8.108):

πkt m
⎞
⎛
⎛ kt ⎞
⎟⎟.
te Nk ⎜ m ⎟ = exp⎜⎜ j
⎝ r ⎠
⎝ rN sin(π / N ) ⎠
Первая и вторая производные этой функции благодаря свойствам
(8.113) и (8.116) выражаются соответственно как:
⎛ kt m ⎞
⎛ kt m ⎞
⎟
⎟ = jRk te Nk ⎜
te′Nk ⎜⎜
⎜ r ⎟,
⎟
r
⎠
⎝
⎠
⎝

⎛ kt ⎞
⎛ kt ⎞
te′Nk′ ⎜ m ⎟ = − Rk2 te Nk ⎜ m ⎟,
⎝ r ⎠
⎝ r ⎠

(8.122)

⎛ πk ⎞
где Rk = sin ⎜ ⎟ / (r sin(π / N ) ).
⎝N⎠

131

Подставляем (8.121) в (8.119) с учетом (8.122) (для всех точек tm, исключая первую t1 и последнюю tN):

⎛ ktm ⎞ N
⎛ kt ⎞
− ∑
⋅ teNk ⎜
⎟ + ∑ cik ⋅ Qi (T ) ⋅ teNk ⎜ m ⎟ +
k =− N
⎝ r ⎠ k =− N
⎝ r ⎠
N
⎛ kt ⎞ N
⎛ kt ⎞
+ j ∑ c1k ⋅ Gi1 (T ) ⋅ Rk ⋅ teNk ⎜ m ⎟ − ∑ c1k ⋅ Qi1 (T ) ⋅ teNk ⎜ m ⎟ +
k =− N
⎝ r ⎠ k =− N
⎝ r ⎠
N1

1

cik ⋅ Rk2

1

1

1

2

1

1

(8.123)

⎛ ktm ⎞ N
⎛ kt ⎞
+ j ∑ c2k ⋅ Gi 2 (T ) ⋅ Rk ⋅ teNk ⎜
⎟ − ∑ c2k ⋅ Qi 2 (T ) ⋅ teNk ⎜ m ⎟ ... = 0,
k =− N
⎝ r ⎠ k =− N
⎝ r ⎠
i = 1, 2, ... .
Группируя слагаемые в (8.123) относительно коэффициентов разложений
cik, имеем:
N1

2

1

1

⎞
⎛
∑ cik ⎢(− Rk2 + Qi (T ) )te Nk ⎜ m ⎟⎥ −
k =− N
⎝ r ⎠⎦
⎣
⎡

N1

kt

⎤

1

N
⎡
⎛ kt ⎞⎤
_ ∑ c1k ⎢[− jGi1 (T ) Rk + Qi1 (T )] ⋅ te Nk ⎜ m ⎟⎥ −
k =− N
⎝ r ⎠⎦
⎣
N
⎡
⎛ kt ⎞⎤
− ∑ c2 k ⎢[− jGi 2 Rk + Qi 2 (T )] ⋅ te Nk ⎜ m ⎟⎥ − ... = 0, i = 1, 2 ... .
k =− N
⎝ r ⎠⎦
⎣
1

(8.124)

1

1

1

В полученной системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) множество {cik} представляет собой вектор неизвестных; а стоящие в квадратных
скобках выражения – матричные элементы СЛАУ. В крайних точках (t1 и tN)
используется уравнение (8.118), выражающее граничные условия задачи.
Первые производные берутся в соответствии с конечно-разностным
определением правосторонней производной (это не влияет на общую точность решения):
dA& i (0) A& i (t 2 ) − A& i (t1 )
L
=
; h= N ;
dT
h
N

dA& i ( L0 ) A& i (t N ) − A& i (t N −1 )
=
; i = 1, 2 ... .
dT
h
Используя представление (8.121), получаем:

132

dA& i (0) 1 ⎛ N
⎡
⎛ kt ⎞
⎛ kt ⎞⎤ ⎞
= ⎜⎜ ∑ cik ⎢te Nk ⎜ 2 ⎟ − te Nk ⎜ 1 ⎟⎥ ⎟⎟,
dT
h ⎝ k =− N
⎝ r ⎠
⎝ r ⎠⎦ ⎠
⎣
1

1

dA& i ( L0 ) 1 ⎛ N
⎡
⎛ kt ⎞
⎛ kt ⎞⎤ ⎞
= ⎜⎜ ∑ cik ⎢te Nk ⎜ N ⎟ − te Nk ⎜ N −1 ⎟⎥ ⎟⎟.
dT
h ⎝ k =− N
⎝ r ⎠
⎝ r ⎠⎦ ⎠
⎣
1

1

dA&1,i (0)

dA&1,i ( L0 )

и
dT
dT
(8.118) и учитывая, что

Заменяя

правой частью уравнений граничных условий

⎛ kt 1 ⎞
⎡
⎛ kt1 ⎞⎤
⎛ kt 2 ⎞
1
⎢te NK ⎜ r ⎟ − te NK ⎜ r ⎟⎥ / h = − jR K te NK ⎜⎜ r ⎟⎟, где t = t1 + h/2 и что
⎝ ⎠⎦
⎠
⎝
⎣
⎠
⎝
⎛ kt N −1 ⎞
⎡
⎛ kt N ⎞
⎛ kt N −1 ⎞⎤
N-1
⎢te NK ⎜ r ⎟ − te NK ⎜ r ⎟⎥ / h = − jR K te NK ⎜⎜ r ⎟⎟, где t = tN-1 + h/2, оконча⎠⎦
⎝
⎠
⎝
⎣
⎠
⎝
тельно получаем дополняющие систему (8.124) уравнения в крайних точках
t 1 и t N:
⎡
⎛ kt 1 ⎞
⎛ kt ⎞⎤
∑ c1k ⎢ jRk te Nk ⎜⎜ ⎟⎟ − j 1 − 1 / g 02 ⋅ te Nk ⎜ 1 ⎟⎥ = A& 01 ,
k =− N
⎝ r ⎠⎦
⎝ r ⎠
⎣

(8.125)

2
⎡
⎤
⎛ kt 1 ⎞
⎛
⎞
µ
kt
⎛
⎞
2
i
1
∑ cik ⎢ jRk te Nk ⎜⎜ ⎟⎟ − j 1 − ⎜⎜ ⎟⎟ / g 0 ⋅ te Nk ⎜ ⎟⎥ = 0,
⎢
k =− N
⎝ r ⎠⎥
⎝ µ1 ⎠
⎝ r ⎠
⎣
⎦

(8.126)

N1

1

N1

1

⎡
⎛ kt N −1 ⎞
⎛ kt
⎟ + j 1 − 1 / g L2 ⋅ te Nk ⎜ N
∑ c1k ⎢ jRk te Nk ⎜⎜
⎟
k =− N
⎝ r
⎝ r ⎠
⎣
N1

1

⎞⎤
⎟⎥ = 0,
⎠⎦

2
⎡
⎛ kt N −1 ⎞
⎛
⎞
µ
⎛ kt
i
⎟ + j 1 − ⎜⎜ ⎟⎟ / g L2 ⋅ te Nk ⎜ N
∑ cik ⎢ jRk te Nk ⎜⎜
⎟
⎢
k =− N
⎝ r
⎝ µ1 ⎠
⎝ r ⎠
⎣

N1

1

⎤
⎞⎥
⎟ = 0.
⎠⎥
⎦

(8.127)

(8.128)

Уравнения (8.124) вместе с (8.125)…(8.128) образуют полную СЛАУ
для определения коэффициентов {cik}. После ее решения искомые распределения комплексных амплитуд волн A&1 (t m ) , …, A& i (t m ) определяются по формулам (8.121).

133

8.9.3 Результаты расчета
Точность расчетов по уровню относительной погрешности баланса
мощностей волн δ=1.5% во всех ниже приведенных вариантах обеспечивалось при числе узловых точек N в пределах 101…121. Расчет проводился для
трансформатора моды H01 в моду H02 на нерегулярном волноводе. Трансформирующий участок представляет собой плавно расширяющийся гофрированный волновод с одним, двумя гофрами и волновод с оптимизированным
профилем. Оптимизация профиля трансформатора осуществлялась в соответствии с процедурой оптимизации, описанной в [26].
На рис. 8.7 приведены данные расчета для трансформатора с одним
гофром. На рис. 8.7, а изображен профиль трансформатора g(T). Уровни,
проведенные штриховыми линиями, указывают критические сечения gкрi для
волн H02, H03, H04, на регулярных участках волновода. Оптимизация профиля
указывает на то, что наилучшая трансформация волны H01 в волну H02 достигается при радиусе выходного регулярного участка, близком к критическому
для волны H02. На рис. 8.7, б приведены распределения модулей амплитуд
Ai = A& i волн H0i ( i = 1, 5 ) по длине трансформатора. Расчеты показали, что
учет волны H06 не меняет результатов в пределах допускаемой относительной
погрешности по мощности δ=1.5% Расчеты без учета H04, H05 волн также дают удовлетворительные результаты: δ не превышает 5% (по отношению к
расчетам с учетом H04, H05, H06 волн ). Таким образом, сходимость проекционной процедуры по числу типов волн i весьма высока. Однако, существенным является учет ближайшей закритической волны H03 : без ее учета результаты оказываются совершенно неверными. Это указывает на необходимость учета хотя бы ближайших закритических волн при расчетах нерегулярных волноводов.
На рис.8.7, в приведены распределения “парциональных” потоков
мощностей волн H01, H02, H03, …, H0i через поперечные сечения трансформатора в положительном направлении T (или z).
dA& i*
π 2
&
Pi = ⋅ J 0 ( µ i ) ⋅ Jm( Ai
)
dt
2
Отрицательные значения Pi соответствуют обратным (по T) “парциальным”
dg
потокам мощности. В сечениях Т, где
= 0 и волны энергетически не свяdT
заны, Pi приобретают смысл реальных потоков мощностей волн H0i и
5

PΣ = ∑ Pi представляют собой полную мощность, переносимую через эти сеi =1

чения (т. е. разность потоков мощности, идущих вправо и влево через это сечение). Контроль точности расчетов осуществлялся по сохранению суммарdg
ного потока мощности PΣ вдоль интервала Т в точках, где
= 0.
dT
134

На рис. 8.7, г приведены распределения P1 и P2 , рассчитанные без учета закритической волны H03. Сравнение этих результатов с данными рис. 8.7,
в указывает на необходимость учета этой закритической волны, как указывалось выше.
Как следует из рис. 8.7, для данного варианта трансформатора с простейшей конфигурацией профиля полного преобразования волны H01 в H02 не
происходит: Р1 на выходе не близка к нулю.
На рис. 8.8 приведены аналогичные данные расчетов для трансформатора с двумя гофрами. Форма представления этих результатов та же, что и в
предыдущем случае. Суть этих данных остается прежней: 1) для обеспечения
необходимой точности необходимо учитывать взаимодействие распространяющихся волн H01 и H02 с закритическими вплоть до H05 ; 2) оптимизированный двухгофровый трансформатор, как и одногофровый, не обеспечивает
полного преобразования волны H01 в H02 , необходима полная оптимизация
профиля.
На рис. 8.9 приведены результаты полной оптимизации профиля
трансформатора: рис. 8.9, а – оптимизированный профиль, рис. 8.9, б – распределение Pi для H01, H02 и H03 волн. Трансформация мод в этом варианте
практически полная. Существенную роль в преобразовании H01 в H02 волну
играет закритическая волна H03 , как это видно из рис. 8.9, б.
Наконец, следует указать и на эффективность использования аппарата
Т-функций. Прямое интегрирование системы ДУ (8.117) при граничных условиях (8.118) пошаговыми методами Рунге-Кутта и Хемминга оказалось невозможным при учете закритических волн из-за расходимости этих методов
(из-за малых ошибок появляются быстро возрастающие решения). Использование же в качестве базисов представления искомого решения традиционных
систем функций – тригонометрических, ортогональных полиномов, атомарных функций, не обладающих свойствами Т-функций, приводит к плохо обусловленным СЛАУ и при числе узловых точек порядка 100 их решение из-за
накопления ошибок не дает нужного результата.

135

а

б

в

г
Рис. 8.7
136

а

б

в

г
Рис. 8.8
137

а

б
Рис. 8.9

138

ГЛАВА 9. ПОПЕРЕЧНЫЕ ВОЛНЫ В ЛИНИЯХ ПЕРЕДАЧИ
9.1. Телеграфные уравнения.
Линии передачи, как было сказано в главе 6, делятся по признаку односвязного или многосвязного поперечного сечения. Их принципиальное отличие состоит в том, что в структурах с многосвязным поперечным сечением могут существовать поперечные электромагнитные волны (ТЕМ
или Тr
r
волны). У поперечных волн нет продольных компонент векторов Е или Н ,
они не имеют частоты отсечки и могут существовать при любом значении ω .
Частным случаем линий передачи с многосвязным поперечным сечением являются двухсвязные линии передачи, содержащие два параллельных
проводника (коаксиальная линия, двухпроводная линия, микрополосковая
линия). В двухсвязной линии передачи наряду с электрическими и магнитными волнами может существовать одна поперечная волна, которую можно
описать с помощью так называемых телеграфных уравнений. Телеграфные
уравнения формулируются относительно двух величин - напряжения U=U(z,
t) и тока I=I(z, t) – которые задаются для каждого поперечного сечения z
данной линии передачи в каждый момент времени t :

∂I
∂U
= RI + L ;
∂z
∂t
∂I
∂U
−
= GU + C
∂t
∂z

−

(9.1)

Здесь L – это погонная (т.е. приходящаяся на единицу длины) индуктивность
линии; С – погонная емкость линии; R – погонное сопротивление линии; G –
погонная проводимость (погонный коэффициент утечки).
В комплексной форме:

dU
= ( R + jω L ) I
dz
dI
−
= (G + jωC )U
dz
−

(9.2)

jωt

(временной множитель берется как e , а производные по z обозначены через d/dz, поскольку комплексные амплитуды зависят только от переменной
z).
Для получения общего решения уравнения (9.2) исключается одна из
величин, например I, и после дифференцирования, в данном случае, первого
уравнения (9.2) формулируется уравнение относительно U

d 2U
= − Г 2U ,
2
dz

(9.3)

где Г - постоянная или коэффициент распространения

139

Г 2 = ( jR − ω L )( jG − ωC )
и

Г = [( jR − ω L)( jG − ωC )]1/ 2 .

(9.4)

Этот параметр обычно комплексный: Г = β − jα ; α - коэффициент затухания, т.е. величина потерь, вносимых отрезком линии единичной длины;
β = ω /υф - коэффициент фазы, т.е. фазовый сдвиг на той же длине.
Общее решение уравнения (9.3) записывается в виде

U ( z ) = Ae − jГz + Be jГz .

(9.5)

Подставляя это выражение в первое уравнение (9.2), находится ток

I ( z) =

1
( Ae − jГz − Be jГz ) ,
ZB

(9.6)

где величина

jω L + R
j ωC + G

ZB =

(9.7)

называется волновым сопротивлением линии.
Из формул (9.5) и (9.6) следует, что общее решение телеграфных уравнений равно сумме двух бегущих навстречу друг другу волн с произвольными комплексными амплитудами A и B соответственно.
В линии без потерь утечка полагается равной нулю (G=0, т.е. пространство между проводниками является непроводящим) и проводники считаются идеально проводящими (R=0), поэтому в этом случае

ZB =

L
.
C

Рассмотрим вывод телеграфных уравнений (9.1) для линии передачи,
состоящей из двух проводов – двухпроводной линии передачи без потерь

Рис. 9.1
(рис. 9.1).
Будем считать, что в первом проводе ток I=I(z, t), а во втором проводе(– I).
Напряжение U=U(z, t) между проводами 1 и 2 будем определять как интеграл
2

r r
U = ∫ Edl ,

(9.8)

1

140

взятый в данном поперечном сечении z=const по кратчайшему пути от провода 1 к проводу 2.
Запишем второе уравнение Максвелла в интегральной форме (закон
электромагнитной индукции Фарадея)

r r
dΦ M
d r r
=
−
E
d
l
Bds = −
,
∫
∫
dt
dt
L
S

(9.9)

где S – поверхность, опирающаяся на замкнутый контур L.
Применим это уравнение к прямоугольному контуру abcd (рис.9.1).
В данном случае

r r cr r ar r
∫ Edl = ∫ Edl + ∫ Edl = U z 2 − U z1 ,

L

b

(9.10)

d

где U z 2 и U z1 - напряжения между нижним и верхним проводами в сечениях bc и ad соответственно. Т.е. можно записать, что

dU = U z 2 − U z1 = −

dΦ M
.
dt

(9.11)

С другой стороны, величина магнитного потока dΦ M через контур abcd в
соответствии с определением индуктивности будет равна

dΦ M = I ⋅ L ⋅ dz ,

(9.12)

где L – погонная индуктивность линии.
Таким образом, из (9.10), (9.11) и (9.12) следует первое телеграфное
уравнение

∂U
∂I
= −L .
∂t
∂z

(9.13)

Для вывода второго телеграфного уравнения будем исходить из уравнения непрерывности (глава 1) в интегральной форме, т.е. из закона сохранения заряда

r r
∂
ρ
dv
+
δ
ds = 0 .
∫
∫
∂t V
S

(9.14)

Применим его к отрезку [z; z+dz] провода 1 (рис. 9.2).

Рис. 9.2.
Интеграл

141

∫ ρdV = qdz

(9.15)

V

определяет заряд в объеме V, а из определения электрического тока вытекает, что

r r
∫ δ ds = I 2 − I 1 ,

(9.16)

S

где I1 и I 2 - величины токов в сечениях bc и ad. Следовательно, можно
записать, что

dI = I 2 − I 1 = −

d ( q ⋅ dz )
.
dz

(9.17)

Так как распределение электрического поля в плоскости поперечного сечения совпадает с распределением электростатического поля , то можно утверждать, что погонная плотность заряда равна q=CU, где С – погонная электростатическая емкость линии. Учитывая это соотношение, из (9.17) получаем

dI = −
или окончательно

d
(U ⋅ C ⋅ dz ) ,
dt

∂I
∂U
= −C
.
∂z
∂t

(9.18)

Уравнения (9.13) и (9.18) и образуют систему телеграфных уравнений
для тока и напряжения в линии без потерь

∂U
∂I
= −L ,
∂z
∂t
∂I
∂U
= −C
.
∂t
∂z

(9.19)

Так как для вывода телеграфных уравнений к законам электродинамики добавляются предположения о локальном характере магнитного и электрического полей, то и телеграфные уравнения применимы лишь при достаточно низких частотах. Условие применимости телеграфных уравнений для
волны, распространяющейся в бесконечно длинной однородной линии, имеет

(

)

вид k 2 − Г 2 ⋅ b << 1 k 2 = ω 2 ε 0 εµ 0 µ . Для идеально проводящих линий
(R=0, G=0) оно удовлетворяется автоматически, так как в таких линиях β2 =
Г2 = k2. Постоянная распространения в этом случае определяется из (9.4) как

β = ω (LC )1 / 2 ,

а фазовая скорость волны в линии равна
142

vФ =

ω
1
=
.
β
LC

9.2. Расчет параметров коаксиальной
и двухпроводной линий.
Основными параметрами линии передачи без потерь, описываемой с
помощью телеграфных уравнений, являются погонная емкость, погонная индуктивность и волновое сопротивление линии.
Для определения погонной емкости коаксиальной линии сопоставим
электростатическое поле этой линии и поле цилиндрического конденсатора
(рис.9.3).
Вектор электрической индукции в цилиндрическом конденсаторе име-

Рис. 9.3.
ет только радиальную составляющую

Dr=q/2π,

(9.20)

что следует из теоремы Гаусса, если применить ее к цилиндру единичной
длину по оси z.
r
Учитывая, что вектор электрической
индукции
D связан с вектором
r
напряженности электрического поля E в линейной изотропной среде как

r
r
D = ε 0 εE
и вычисляя напряжение между внутренним проводником 1 и внешним проводником 2, имеем
b

b

U = ∫ E r dr = ∫
a

a

q
2πε 0 εr

dr =

q
2πε 0ε

ln

b
a

(9.21)

( a – радиус внутреннего провода, b – радиус экрана коаксиальной линии).
Тогда погонная емкость коаксиальной линии

С=

2πε 0 ε
q
=
.
U ln(b / a )

(9.22)

143

Аналогично можно найти и погонную индуктивность. Пусть по проводнику 1 течет постоянный ток I, а по проводнику 2 течет ток – I. В этом
случае магнитное поле будет отлично от нуля только в области a<r<b, так как
при r>b магнитные поля проводников1 и 2 будут взаимно уничтожаться.
Магнитное поле данной системы будет иметь только одну составляющую
H ϕ = I / 2π r ,
(9.23)
что вытекает из закона Ампера.
r
B связан с вектором напряженности магВектор магнитной
индукции
r
нитного поля H через материальное уравнение

r
r
B = µ 0 µH ,
следовательно, можно записать, что

B=

µ 0 µI
.
2πr

(9.24)

Вычисляя погонный магнитный поток ФМ по формуле (9.9), получаем

µ 0 µI
µ µI b
dr = 0 ln ,
2π
a
a 2πr

b

ΦM = ∫

(9.25)

а погонная индуктивность, соответственно, будет равна

L=

Φ µ0 µ b
=
ln .
I
2π
a

(9.26).

Волновое сопротивление линии передачи без потерь определяется как

Z B = U / I = ( L / C )1/ 2 ,

(9.27)

что позволяет с помощью (9.22) и (9.26) окончательно записать выражение

ZB =

b
1
( µ 0 / ε 0 )1 / 2 ( µ / ε )1 / 2 ln .
a
2π

(9.28)

Выражения (9.22) и (9.26) удовлетворяют соотношению

LC=1/с2,

(9.29)

144

из которого видно, что при отсутствии потерь в проводах волны в линии
распространяются со скоростью света с. Этот результат был получен с помощью телеграфных уравнений исторически раньше, чем была создана теория электромагнитных волн в свободном пространстве.
Рассчитаем погонную емкость двухпроводной линии, состоящей из
двух параллельных проводов радиуса а, центры которых расположены на
расстоянии b друг от друга (рис. 9.4). Рассмотрим эту линию приближенно
при условии a/b<<1, т.е. когда радиус проводов значительно меньше расстояния между ними.
Обозначим через q погонный заряд провода 1 и через – q погонный за-

Рис. 9.4.
ряд провода 2 и вычислим электрическое поле каждого провода в отдельности. Электрическая индукция в каждой точке, лежащей на прямой, соединяющей центры проводников, будет равна сумме индукций, создаваемых каждым из проводников:
−q
q
D=
−
.
(9.30)
2πr 2π (b − r )
Разность потенциалов между проводниками

U=

b−a

∫ E r dr ,

(9.31)

a

или согласно формуле (9.30) и материальному уравнению, связывающему D
и Е,

U=

b−a

∫

a

⎞
q
q b − a dr
q a dr
q
b−a
1 ⎛ q
⎜⎜
⎟⎟dr =
+
−
=
ln
∫
∫
ε 0 ε ⎝ 2πr 2π (b − r ) ⎠
a
2πε 0 ε a r 2πε 0 ε b − a (b − r ) πε 0 ε

,
(9.32)
причем в последнем выражении в силу условия a<<b вместо (b-a) можно написать b. Следовательно, погонная емкость двухпроводной линии

С=

πε 0ε
q
≈
.
U ln(b / a)

(9.33)

При выводе формулы (9.33) распределение заряда на поверхности каждого провода считалось симметричным. Это значит, что не учитывался так
называемый эффект близости, состоящий в неравномерном распределении

145

зарядов (и токов) по окружности проводов из-за взаимодействия зарядов.
При условии b/a>>1 этот эффект выражен слабо.
Определим погонную индуктивность двухпроводной линии. Так как
линия состоит из двух проводников, то нужно просуммировать магнитные
поля, создаваемые каждым из них:

H=

I
2πr

+

I
.
2π (b − r )

(9.34)

Находим магнитную индукцию

B=

µ 0 µI ⎛ 1
1 ⎞
⎜ +
⎟,
2π ⎝ r b − r ⎠

что позволяет определить магнитный поток

µ 0 µI b − a ⎛ 1
µ 0 µI b − a
1 ⎞
ln
Φ=
⎜ +
⎟dr =
∫
2π a ⎝ r b − r ⎠
2π
a
и погонную индуктивность

L=

Φ µ0 µ b
ln .
≈
I
π
a

(9.35)

Исходя из (9.33) и (9.35) получаем волновое сопротивление двухпроводной
линии при b >>а

Z B = (L / C )

1/ 2

⎛µ µ⎞
= ⎜⎜ 0 ⎟⎟
⎝ ε 9ε ⎠

1/ 2

b − a ⎛ µ0µ ⎞
⎟⎟
ln
≈ ⎜⎜
π
a
ε
ε
⎝ 0 ⎠
1

1/ 2

1

b
ln .
π a

(9.36)

Для оценки условия, при котором излучением линии можно пренебречь, рассмотрим разомкнутую на конце двухпроводную линию (рис.9.5).

Рис. 9.5.
Переменный ток, текущий в каждом элементарном отрезке провода, можно
рассматривать как элементарный диполь – источник сферических электромагнитных волн. В результате сложения волн, создаваемых обоими проводами, возникает электромагнитная волна, расходящаяся от открытого конца
двухпроводной линии и уносящая с собой часть мощности волны линии. Но
в случае выполнения условия kb<<1 (где k – волновое число в вакууме, b –
расстояние между проводами), сферическая волна уносит лишь пренебрежи-

146

мо малую часть мощности набегающей волны. Это объясняется тем, что дипольный момент отрезка dz1 провода 1 отличается от дипольного момента
соответствующего отрезка dz2 на проводе 2 лишь знаком, а волны, создаваемые этими диполями, в любой дальней точке пространства имеют при условии kb<<1 малую дополнительную разность фаз и практически полностью
гасят друг друга.
Если же условие kb<<1 не выполняется, то линия интенсивно излучает
электромагнитные волны в окружающее пространство, причем это излучение
никак не учитывается телеграфными уравнениями. На практике при невыполнении условия kb<<1 двухпроводная линия становится не пригодной для
передачи электромагнитной энергии, так как любая неоднородность приводит к большим потерям энергии на излучение

9.3. Трансформирующие свойства отрезков линий передачи.
Отрезок линии, нагруженный на одном конце на некоторое сопротив-

Рис. 9.6.
ление (рис.9.6), обладает трансформирующими свойствами, поскольку его
входное сопротивление отличается от сопротивления нагрузки. Установим
зависимость между этими сопротивлениями.
Для начала перепишем равенство (9.5), полагая, что сопротивление нагрузки ZH не равно ZВ:

U ( z ) = Ae − jГz + Be jГz ,

(9.37)

где Г = β − jα .
Полный ток в каждом сечении линии (рис. 9.6.) равен сумме токов, которые создаются падающей волной Iпад, распространяющейся в направлении
от сечения z=0 к нагрузке, и волной Iотр ,отраженной от нагрузки:

A − jГz B jГz
e
−
e .
(9.38)
ZB
ZB
В сечении Z = l отношение величин U H = U (l ) и I H = I (l ) из (9.37)

I(z)=Iпад(z)-Iотр(z),

т.е.

I ( z) =

и (9.38) равно сопротивлению нагрузки

147

UH
Ae − jГl + Be jГl
ZH =
= Z B − jГl
.
IH
Ae
− Be jГl

(9.39)

Отсюда можно выразить отношение коэффициентов В и А, которое понадобится в дальнейшем

B Z H − Z B −2 jГl
e
=
.
A ZH + ZB

(9.40)

Теперь рассмотрим ток и напряжение в сечении z=0. Полагая z=0, запишем отношение выражений (9.37) и (9.38):

Z вх =

U вх U (0 )
A+ B
,
=
= ZB
I вх
I (0)
A− B

откуда

Z вх
(1 + B / A )
=
.
(9.41)
(1 − B / A )
ZB
Здесь Zвх – входное сопротивление отрезка линии (рис. 9.5). Подставляя
(9.40) в (9.41), получаем

Z вх Z H ⎡⎣1 + exp ( −2 jГ l ) ⎤⎦ + Z В ⎡⎣1 − exp ( −2 jГ l ) ⎤⎦
=
.
Z В Z H ⎡⎣1 − exp ( −2 jГ l ) ⎤⎦ + Z В ⎡⎣1 + exp ( −2 jГ l ) ⎤⎦

(9.42)

Применив известные соотношения для гиперболических функций, получим

⎤ ⎡ Z
⎤
Z вх ⎡ Z H
=⎢
+ th ( jГ l ) ⎥ / ⎢1 + H th ( jГ l ) ⎥ .
ZВ ⎣ ZВ
⎦ ⎣ ZВ
⎦

(9.43)

Выражение (9.43) и устанавливает искомую связь между сопротивлением нагрузки на конце линии длиной l и входным сопротивлением последней.
Из (9.43) следует, что при равенстве сопротивлений нагрузки и волнового сопротивления линии (ZH=ZВ) входное сопротивление Zвх линии совпадает с волновым, т.е. Zвх= ZВ. В этом случае исчезает волна, отраженная от
нагрузки, и говорят, что линия идеально согласована.
Запишем формулу (9.43) для входного сопротивления отрезка линии
без потерь ( Г = β ; α = 0 )

⎤ ⎡ Z
⎤
Z вх ⎡ Z H
=⎢
+ tg (βl )⎥ / ⎢1 + H tg (βl )⎥
ZВ ⎣ ZВ
⎦ ⎣ ZВ
⎦

(9.44)

и установим свойства отрезков линий передачи, длины которых кратные половине или четверти длины волны в этой линии на определенной частоте.
При βl = π или βl = nπ , где n – целое число, tgπ = tg(nπ ) = 0 . Подставляя это значение тангенса в (9.44), получаем
148

Zвх=ZH..

(9.45)

Значению βl = π соответствует l = λ В / 2, так как β = 2π / λВ . Следовательно, входное сопротивление полуволнового отрезка линии передачи без
потерь равно величине сопротивления, подключенного к его концу.
Еще одно важно свойство полуволновых трансформаторов – дополнительный фазовый сдвиг 1800, вносимый трансформатором.
Интересный результат следует из (9.44) при βl = π /2. Если подставить
βl, равное π / 2 или nπ / 2 , где n – нечетное целое число, то можно в (9.44)
пренебречь слагаемым ZH/ZВ, так как функция tg (β l ) стремится к бесконечности. Поэтому из (9.44) следует Zвх/ZВ=ZВ/ZH, откуда

Z B = Zвх Z H .

(9.46)
Согласно этому равенству два разных сопротивления (Zвх и ZH) можно
согласовать, если между ними включить четвертьволновой отрезок линии
или отрезок с длиной, составляющей нечетное число четвертей длины волны
с волновым сопротивлением ZB, равным среднему геометрическому из согласуемых сопротивлений.

9.4. Короткозамкнутые и разомкнутые на конце
отрезки линии передачи (шлейфы).
Отрезку линии, разомкнутому на конце, соответствует нагрузка с бесконечно большим сопротивлением (Z H = ∞ ) , а короткозамкнутому отрезку
линии – нагрузка с нулевым сопротивлением (Z H = 0) . Входное сопротивление линии при коротком замыкании (Zвх.кз) определяется из равенства (9.44),
связывающего входное сопротивление и сопротивление нагрузки:

Z вх.кз = Z Вth ( jГ l ) .

Если потери достаточно малы, и ими можно пренебречь, то

Z вх.кз = Z В th( jβl ) = jZ В tg (βl ) .

(9.47)
Для разомкнутой на конце линии, т.е. при отключенной нагрузке,

Z вх. хх = Z В / th ( jГ l ) .
При малых потерях

Z вх. хх = − jZ В / tg (βl ) = − jZ В ctg (βl ) .

(9.48)

Из выражений (9.47) и (9.48) следует, что входное сопротивление короткозамкнутого или разомкнутого на конце отрезка линии зависит от его
длины l и носит либо емкостной, либо индуктивный характер. В литературе
такие отрезки линии получили название шлейфов. Зависимость входного со-

149

Рис. 9.7.
противления шлейфа от длины волны, рассчитанная по (9.47) и (9.48) при
0 ≤ l ≤ λ / 4 представлена на рис. 9.7.
В идеально разомкнутой либо короткозамкнутой линии вся энергия падающей волны отражается от конца линии и возвращается к ее входу.
Перемножая выражения (9.47) и (9.48), находим

Z вх.кз ⋅ Z вх. хх = Z В2 .

(9.49)
На этом равенстве основан простой метод определения волнового сопротивления линии передачи: сначала измеряется входное сопротивление
линии в режиме короткого замыкания, а затем в режиме холостого хода.
На рис. 9.8 представлена зависимость входного сопротивления корот-

Рис. 9.8.
козамкнутого отрезка линии передачи без потерь от частоты при фиксированной длине отрезка. ( Z вх = jZ В tg (2π fl / υф ))
На низких частотах входное сопротивление носит чисто индуктивный
характер. Бесконечно большое реактивное сопротивление при f= ν Φ /(4l) , где
длина отрезка равна четверти длины волны в линии, сходно с сопротивлением параллельного резонансного контура на частоте резонанса. При дальнейшем увеличении частоты входное сопротивление становится чисто емкост150

ным, так как значения тангенса отрицательны. Затем входное сопротивление
изменяется от емкостного к индуктивному, проходя через нуль на частоте
f = ν Φ /(2l) , что аналогично последовательному резонансному LC-контуру.
При дальнейшем повышении частоты картина периодически повторяется.
Возможность реализации произвольных значений индуктивности и емкости с помощью короткозамкнутых и разомкнутых шлейфов позволяет использовать их при построении согласующих схем.

Рис. 9.9.
На рис. 9.9. иллюстрируются процедура формирования стоячей волны
при полном отражении в короткозамкнутом отрезке.
Из левой диаграммы 1 на рис. 9.9 видно, что в начальный момент времени падающая и отраженная волны тока противофазны, а суммарный ток в
любом сечении линии равен нулю. В тот же момент времени падающая и отраженная волны напряжения синфазны (правая диаграмма 1). Из диаграммы
2, соответствующей более позднему моменту времени, видно, что отраженная волна прошла справа налево расстояние, равное λ / 4 , а падающая – то же
расстояние, но в обратном направлении, в результате чего обе тока волны
оказались в фазе. В тот же момент падающая и отраженная волны напряжения полностью гасят друг друга в любом сечении линии. Аналогично строятся распределения тока и напряжения, представленные на диаграммах 3 и 4.
Суперпозиция падающей и отраженной волн представляет собой в линии без
потерь стоячую волну – рис.9.10. В режиме холостого хода на рис. 9.9 достаточно поменять местами распределения тока и напряжения.

151

Рис. 9.10.

9.5. Частичное отражение волн в линиях передачи.
В режиме стоячей волны напряжение в максимуме вдвое превышает
напряжение падающей волн (рис. 9.10), а в результате интерференции падающей и отраженной волн вдоль линии появляются сечения, в которых при
отсутствии потерь в линии напряжение равно нулю. Реальные линии всегда
вносят затухание, следовательно, амплитуда как падающей, так и отраженной волны уменьшается по мере их перемещения вдоль линии. В результате

Рис. 9.11.
напряжение (ток) в максимумах не достигает удвоенного значения, а в нулях
становится невозможной полная компенсация - рис. 9.11.
Для характеристики режима работы линии передачи вводят понятие

Рис. 9.12.
коэффициента стоячей волны по напряжению (KСВu) или просто коэффициента стоячей волны (КСВ), равного отношению (рис.9.12)
KСВu =

U пад + U отр
U пад − U отр

,

(9.50)

где Uпад и Uотр - значения напряжений падающей и отраженной волн в максимумах.

152

В линии без потерь в режиме стоячих волн отношение (9.50) равно бесконечности. В реальных линиях с потерями величина KСВu всегда конечна.
Аналогично вводится понятие коэффициента стоячей волны по току KСВi.
Обычно лишь часть энергии падающей волны отражается от нагрузки.
Поглощение (полное или частичное) энергии падающей волны нагрузкой
возможно, если активная часть сопротивления нагрузки отлична от нуля.
Нагрузкой может быть сосредоточенное сопротивление ZH либо отрезок лини с волновым сопротивлением ZH, отличным от ZВ. В обоих случаях
отражение части энергии падающей волны происходит в том сечении AA’,
где расположена нагрузка (рис. 9.13).

Рис. 9.13.
Для того, чтобы ввести понятие коэффициента отражения волны, запишем уравнение Кирхгофа в сечении AA’ для тока
Uпад/ZВ-Uотр/ZВ=Uпрош/ZH
(9.51)
и напряжения
Uпад+Uотр=Uпрош.
(9.52)
Подставляя Uпрош из (9.52) в (9.51), определяем коэффициент отражения волны по напряжению

K=

U отр
U пад

=

ZH − ZВ
.
ZH + ZВ

(9.53)

Так как сопротивления ZH и ZВ в общем случае комплексны, то комплексна и величина K.
Согласно (9.50) из (9.53) следует, что модуль коэффициента отражения
U
KСВu − 1
K = отр =
.
(9.54)
U пад KСВu + 1
Величина KСВu в отличие от K всегда действительна и меняется от
единицы при идеальном согласовании (ZH = ZВ) до бесконечности при коротком замыкании (ZH=0) или холостом ходе ( Z H = ∞ ). В реальных устройствах
KСВu обычно не превышает 1,1, что соответствует передаче в нагрузку 99,8%
мощности.
По известному значению коэффициента отражения можно определить
входное сопротивление линии (рис. 9.14).

153

Рис. 9.14.
В принятых обозначениях
Z − ZВ
Z − ZВ
К ВХ = ВХ
К1 = H
,
а
Z ВХ + Z В
ZH + ZВ
Учитывая, что Kвх и K1 связаны между собой
Kвх=K1exp ( −2 jГ l ) , получим ,что

Z ВХ =

1 + К1 exp ( −2 jГ l )
.
1 − К1 exp ( −2 jГ l )

соотношением

(9.55)

154

ГЛАВА 10. ПЛАНАРНЫЕ ЛИНИИ ПЕРЕДАЧИ
10.1. Понятие планарных линий передачи.
На рис. 10.1 в поперечном сечении показаны некоторые линии передачи, называемые планарными. В таких линиях проводники выполнены в виде
узких металлических полосок, нанесенных на диэлектрическую подложку
(экранированную или неэкранированную в случае нескольких полосок), поэтому многие из планарных линий часто называют полосковыми
(рис.10.1,а,б,в,ж). Если же проводники представляют собой широкие металлические пластины с прорезанными в них продольными щелями, то такие
линии называют щелевыми (рис.10.1,г,з).

Рис. 10.1.
Интенсивное развитие и распространение планарных структур связано
в первую очередь с миниатюризацией СВЧ аппаратуры. Так называемые интегральные схемы (ИС) СВЧ обычно формируются из полосковых элементов,
располагаемых на одной подложке. Если поперечные размеры полых волноводов не могут быть меньше некоторых критических, то поперечные размеры
полосковых линий могут быть, практически, сколь угодно малыми.
Следует заметить, что переход от устройств на полых волноводах к ИС
СВЧ, использующих полосковые линии, является возвратом к многосвязным
волноводным структурам, к которым относятся двухпроводная линия, в свое
время уступившим место полым волноводам. Полые же волноводы широко
распространились с 40-х годов прошлого века при освоении сантиметровых
волн и по сегодняшний день сохраняют значительную область применения, в
частности, при передаче большой мощности.
Волны, направляемые полосковыми и щелевыми линиями, являются
гибридными. Это касается и низшей (основной) волны полосковой линии,
которая аналогична Т-волне двухпроводной линии. Она так же не имеет отсечки (fкр=0). В типичных условиях – при относительно малых поперечных
155

размерах – поперечные компоненты значительно преобладают над продольными. Дисперсия такой волны невелика. Величину (β/k0)2 для основной волны называют эффективной диэлектрической проницаемостью ε эфф полосковой линии ( β – продольное волновое число).
Кроме основной волны полосковой линии, которая получила название
квази- Т волны, в этой линии может существовать множество других волн,
имеющих разнообразное физическое происхождение. Во-первых, это так называемые экранные волны, связанные с наличием в линии экрана и существующие независимо от полоскового проводника. В результате связи экранных волн, обусловленной внесенным полосковым проводником, образуются
комплексные волны. Эти волны, также как и экранные, в состоянии отсечки
не переносят энергии, однако повышении частоты все большее число волн
выходит из области отсечки. Среди них оказываются и такие волны, поля которых подобно полю основной волны сконцентрированы в области подложки
под полосковым проводником. Эти волны называются подполосочными. Основная волна полосковой линии и высшие подполосочные волны будут направляться полосковой линией и без замкнутого экрана; достаточно широкий
экран на них почти не оказывает влияния.
Из сказанного следует, что строгая электродинамическая теория направляющих структур, показанных на рис. 10.1, оказывается довольно сложной.
В инженерной практике для описания линий передачи часто используются волновые сопротивления, характеризующие основные волны планарных структур. В случае полосковой линии (рис. 10.1, а) волновое сопротивление можно определить как
B r r
U
Z В = , U = ∫ Ed l ,
(10.1)
I
A
где имеется в виду полный ток полоскового проводника. Существует также
«энергетическое» определение, согласно которому
r r
2P
1
r
Z В = 2 , P = Re ∫ ⎡⎣ E , H * ⎤⎦ ds .
(10.2)
2 S
I
1

Обе формулы дают близкие значения в типичных случаях, когда толщина подложки значительно меньше длины волны в ее диэлектрике (поле в
подложке квазистационарно).
В случае щелевой линии
B r r
U2
ZВ =
, U = ∫ Ed l ,
(10.3)
2P
A
а мощность P вычисляется по (10.2).
Как видно из сказанного выше, планарные, в частности полосковые и
щелевые, линии лишь с натяжкой можно отнести к линиям, в которых распространяются Т-волны. Причем наличие диэлектрического слоя и сравнительно сложная геометрия этих линий позволяют произвести простой коли156

чественный анализ лишь в отдельных случаях, в большинстве же случаев
приходится ограничиваться приближенными, а иногда и только качественными результатами.

10.2. Симметричная полосковая линия
Симметричная полосковая линия (СПЛ) представляет собой тонкую
металлическую полоску конечной ширины W, расположенную между двумя
параллельными металлическими пластинами на одинаковом расстоянии от
каждой из них (рис. 10.2). Зазор между полоской и заземленными пластина-

Рис. 10.2.
ми по конструктивным соображениям (жесткость крепления, устойчивость
по отношению к вибрациям и т.п.) и с целью сокращения размеров СВЧ устройств заполняется твердым магнитодиэлектриком (ε > 1, µ > 1) с достаточно
высоким значением показателя преломления εµ . Симметричная полосковая
линия является исторически первым типом полосковой линии передачи. Долгое время основным ее недостатком считались большие омические и диэлектрические потери, однако за последние годы удалось резко снизить потери в
металле и диэлектрике за счет новой технологии изготовления материалов.
Основным типом волны, распространяющейся вдоль СПЛ, является
волна, которую с достаточной степенью точности можно считать поперечной
(Т-волной). Фазовая скорость этой волны равна

υф = С / ε ,

(10.4)
где С – скорость света в вакууме, ε - относительная диэлектрическая проницаемость однородного материала, полностью заполняющего поперечное сечение СПЛ.
Симметричная полосковая линия применяется обычно на частотах,
превышающих несколько сотен мегагерц. Она используется в разнообразных
устройствах совместно с коаксиальной линией или волноводом, когда в качестве активных элементов используются диоды Ганна или смесительные диоды, а также там, где необходимо обеспечить широкополосность либо малые
габариты. Однако эта линия заметно проигрывает коаксиальной линии и волноводу по уровню взаимного влияния между элементами цепи и уровню передаваемой мощности.
Выражения для волнового сопротивления СПЛ с известной геометрией
выводились различными авторами. Эти формулы решают задачу анализа, т.е.
по заданным размерам линии и параметрам диэлектрического заполнения на-

157

ходится величина волнового сопротивления. Одним из первых исследователей был Кон, рассмотревший методом конформных преобразований полосковые системы с очень тонким центральным проводником. В этом методе
внутренняя область полосковой линии с прямоугольным экраном отображается на внутреннюю область круга, и волновое сопротивление линии рассчитывается по формуле:
%
⎛ 30π ⎞ K ' k %
⎛ πW ⎞
ZВ = ⎜
, k = th ⎜
(10.5)
⎟
⎟
⎝ 4d ⎠
⎝ ε ⎠ K k%

( )
( )

()

(

)

~
~ 1/ 2 ⎤
где W – ширина полоски, d – толщина диэлектрика, K ' k = K ⎡ 1 − k 2
⎢⎣
⎥⎦
полные эллиптические интегралы первого ряда.
При конечной толщине полоски t погрешность, не превышающую 0,5%
при W/(2d-t)<10, дают формулы:
1/ 2
⎤ ⎫⎪ ⎞
⎛ 30 ⎞ ⎜⎛ ⎛ 4 ⎞ ⎧⎪⎛ 8 ⎞ ⎡⎛ 8 ⎞
ZВ = ⎜
⎟ ⎨⎜
⎟ + ⎢⎜
⎟ + 6,27 ⎥ ⎬ ⎟⎟ ,
⎟ ln 1 + ⎜
⎝ ε ⎠ ⎜⎝ ⎝ π m ⎠ ⎩⎪⎝ π m ⎠ ⎣⎝ π m ⎠
⎦ ⎭⎪ ⎠

где

(10.6)

m = W /(2d − t ) + ∆W /(2d − t );
⎧⎪
⎡⎛ x ⎞2 ⎛ 0,0796 x ⎞ P ⎤ ⎫⎪
∆W /(2d − t ) = x / π (1 − x ) ⎨1 − 0,5ln ⎢⎜
⎟ +⎜
⎟ ⎥ ⎬ ; (10.7)
−
+
2
x
W
/
2
d
1,1
x
⎝
⎠
⎝
⎠ ⎥⎦ ⎭⎪
⎢⎣
⎩⎪
t
⎛ 2 x ⎞
P = 2 / ⎜1 + ⋅
⎟ и x=
2d
⎝ 3 1− x ⎠

Рис. 10.3.
Часто у разработчиков возникает необходимость решать задачу синтеза, когда заданы волновое сопротивление и диэлектрическая проницаемость.
Необходимо определить отношение ширины полоски к расстоянию между

158

проводниками экрана (W/2d). Для этой цели можно использовать итерационную процедуру, основанную на соотношениях (10.6) и (10.7). Задается некоторое начальное значение W/2d и вычисляется величина волнового сопротивления по (10.6), которая сравнивается с требуемым значением. Затем отношению W/2d дается небольшое приращение ∆ W/2d. Расчет по (10.6) и
сравнение волновых сопротивлений повторяются до тех пор, пока разница
между вычисленной и требуемой величинами превышает ± 2 / ε .

10.3. Несимметричная полосковая линия
Несимметричная полосковая линия (НПЛ) (микрополосковая линия)
выполняется нанесением слоя металла бесконечной ширины с одной стороны подложки и проводника конечной ширины – с другой стороны (рис. 10.4,
а). Основным (низшим) типом волны, распространяющейся в НПЛ, является
квази-Т-волна, структура полей которой схематически показана на рис. 10.4,
а, б).

Рис. 10.4.
Продольное распределение тока в узком проводнике описывается экспоненциальной либо логарифмической функцией, в слое металла – колоко-

[

]

−1

лообразной функцией вида I z 1 + ( x / d )2
(рис. 10.4, в). Общее распределение тока в проводниках НПЛ приведено на рис. 10.4, г.
Несмотря на внешнюю простоту конструкции НПЛ по своим электродинамическим характеристикам существенно отличается от СПЛ. Основное
отличие состоит в том, что НПЛ представляет собой открытую электродинамическую структуру, и построение ее теории оказалось связанным с целым
рядом сложнейших проблем математической теории дифракции и вычислительной электродинамики. Вместе с тем, для целого ряда приложений и использования НПЛ в устройствах СВЧ достаточно длинноволновых диапазо-

159

нов оказываются весьма полезными приближенные результаты, полученные
в рамках квазистатического приближения (приближения Т-волны).
При расчете НПЛ возникает необходимость определять величину, получившую название эффективной диэлектрической проницаемости ( ε эфф).
Эта величина характеризует соотношение между энергиями, концентрирующимися в воздухе и диэлектрике. Как было сказано в гл. 9, любая линия с Тволной характеризуется величиной фазовой скорости υф . Напомним, что υф
- это скорость перемещения фронта волны вдоль линии:
υф =1/(LC)1/2.
При отсутствии диэлектрического заполнения фазовая скорость в линии совпадает со скоростью света в свободном пространстве
С=1/(LCвозд)1/2,
где С ≈ 3 ⋅ 108 м/с; L – погонная индуктивность линии с диэлектриком, равная
в данном случае погонной индуктивности линии с воздушным заполнением;
Свозд – погонная емкость линии с воздушным заполнением; С – то же, но при
наличии слоя из диэлектрика.
Из этих равенств следует
С / υф = (С / Свозд )1/ 2 , т.е.

(10.8)

С / Свозд = (С / υф ) 2 = ε эфф

Микрополосковая линия с относительно широкой полоской
( W / d → ∞, W - ширина полоски) близка по своим свойствам к плоскому конденсатору, в котором практически вся энергия электрического поля концентрируется в диэлектрике под полоской. Потому величина ε эфф весьма близка
к ε . Если полоска узкая (W / d → 0 ) , то энергия электрического поля распределяется практически поровну между воздухом и диэлектриком. В этом случае величина ε эфф близка к полусумме ε воздуха и диэлектрического слоя,
т.е. ε эфф ≈ (ε + 1) / 2. Следовательно, (ε + 1) / 2 < ε эфф < ε .
Для любой волны, распространяющейся в линии, фазовая скорость
распространения
c = f λ0 в свободном пространстве,

υф = f λg при наличии диэлектрика
(λ - длина волны в линии передачи).
В квазистатическом приближении волновое сопротивление рассчитывается с довольно низкой погрешностью (порядка ± 1% ) для параметров подложки: ε ≤ 16 и геометрических размеров в области 0,5<W/d<20. Волновое
сопротивление для широких проводников (W/d>1) равно
−1

Z В = 120πε эфф

−1/ 2

⎡W
⎛W
⎞⎤
⎢ d + 1,393 + 0,667 ln ⎜ d + 1,444 ⎟ ⎥ ,
⎝
⎠⎦
⎣

(10.9)

для узких проводников (W/d<1)

160

⎛ d W ⎞
Z В = 60ε эфф −1/ 2 ln ⎜ 8 +
(10.10)
⎟.
W
d
4
⎝
⎠
Формулы (10.9) и (10.10) справедливы для бесконечно тонкого проводника, а эффективная диэлектрическая проницаемость, входящая в них, определяется так:
2 ε эфф = ε +1+( ε -1)/R,
где

⎧⎪(1 + 12d / W )1 / 2 ,
W / d > 1,
R=⎨
⎪⎩ (1 + 12d / W )−1 / 2 + 0,04(1 − W / d )−1 ,

[

]

(10.11)

W / d < 1.

Для проектирования устройств СВЧ желательно иметь зависимости
геометрических размеров от волнового сопротивления ZВ и диэлектрической
проницаемости ε подложки. Это не трудно сделать, пользуясь формулами
(10.9) – (10.11) и записав их в виде

(

)

1/ 2
⎧
⎫
W / d = 64 ⎨1 − ⎡1,0455 − 0,0512 ⋅ 60π / Z В ε%эфф ⎤ ⎬ ,
⎦ ⎭
⎩ ⎣

Z В < 128/ ε эфф ,

{

} { (

) }

⎡
W / d = 2 ⎢exp Z В ε%эфф / 60 − exp Z В ε%эфф / 30 − 8
⎣

1/ 2

⎤
⎥⎦ ,

(10.12)

Z В > 128/ ε эфф ,
где значение ε%эфф аппроксимируется выражением

ε%эфф =0,2775+0,722 ε

(10.13)
Формулы (10.12 – 10.13) дают максимальную погрешность 4% при значениях Z В ∈ [5; 250] Ом и ε <16. Для значений Z В ⋅ ε < 800 Ом погрешность
не превышает 2%. Если же проведенную процедуру повторить еще раз, произведя при этом замену ε%эфф на ε эфф , то погрешность уменьшается до 0,5%.
При конструировании СВЧ схем часто оказывается, что характеристики физической цепи значительно отличаются от теоретических данных. Это
объясняется наличием таких факторов, как конечная толщина проводников,
тепловые потери и т.д. Поэтому следует учитывать влияние этих факторов.
Влияние толщины полоски можно учесть, введя в (10.9) и (10.10) вместо физической ширины W полоски ее эффективную ширину Wэфф:

161

W
⎧
t
T
+
> 1/ 2 > 2T
/
πε
ln
2
/
1
,
(
)
(
)
(
)
⎪⎪
d
Wэфф = W + ⎨
(10.14)
W
⎪( t / πε ) ( ln ( 4 / T ) + 1) ,
< 1/ 2 < 2T
⎪⎩
d
где T=t/d, t – толщина полоски.
Формулы (10.14) получены для подложек с диэлектрической прониW
цаемостью ε ≤ 128 и размеров проводника НПЛ
∈ [0,01; 100] .
d
На частотах до 10 ГГц дисперсия эффективной диэлектрической проницаемости в микрополосковой линии обычно настолько мала, что ею можно
пренебречь. Пример расчета дисперсионных характеристик НПЛ с широким
проводником и экраном, расположенным над плоскостью проводника на расстоянии 5d, приведен на рис. 10.5. На рисунке представлены дисперсионные
кривые для различного типа гибридных волн и приведена область собственных значений, соответствующих полю излучения.

Рис. 10.5.
На основании результатов, приведенных на рис. 10.5, можно сделать
следующие выводы. Для основного типа волны собственное значение продольного волнового числа существует, начиная с нулевой частоты. Для каждой волны высшего типа есть своя нижняя частота среза, отличная от нуля,
которая возрастает с увеличением порядка волны. На частотах, лежащих ниже частоты среза для данного типа волны, последняя в НПЛ не распространяется, поскольку возбуждающаяся в линии энергия, соответствующая данному типу волны, не распространяется вдоль линии, а излучается в пространство. На частотах, больших частоты среза, волны высших типов распространяются в НПЛ с фазовыми скоростями большими, чем фазовые скорости всех
волн более низкого типа на данной частоте. С ростом частоты фазовая скорость имеет нижний предел, численная величина которого равна фазовой
скорости в диэлектрике подложки.
Волновое сопротивление микрополосковых линий, изготавливаемых
промышленностью, обычно не выше 125 Ом и не ниже 20 Ом. Снизу значения Zb ограничиваются потерями на излучение и преобразованием в моды,
распространяющиеся в поперечной плоскости линии.
Так как толщина подложки микрополосковых плат невелика, вводят
дополнительный металлический экран, обеспечивая тем самым механическую жесткость, возможность отвода тепла от активных элементов и защиту
от атмосферного воздействия. Однако введение экрана оказывает влияние на
162

параметры линии, описываемые формулами (10.9 – 10.14). Экран отделяет
внутреннее пространство от внешних полей. Часть краевых полей линии замыкается на экран, а не рассеивается во внешнем пространстве, что приводит
к увеличению напряженности полей в воздушном зазоре между экраном и
линией. Когда крышка и боковые части металлического экрана удалены на
расстояние, приблизительно в пять или шесть раз больше, чем соответственно толщина подложки и ширина полоски, влияние экрана на параметры НПЛ
пренебрежимо мало.
Для приближенного анализа и синтеза НПЛ можно воспользоваться
графиками на рис. 10.6, построенными по формулам (10.9) и (10.10).

Рис. 10.6.

10.4. Симметричная щелевая линия
Симметричная щелевая линия (СЩЛ) представляет собой узкую щель,
вырезанную в бесконечной металлической плоскости, расположенной на одной из сторон диэлектрической подложки (рис. 10.7, а). Линии электрического поля при ε > 1 концентрируются в подложке, а магнитного поля – имеют вид элементов, переходящих в кривые типа «седло» (рис. 10.7, б), образуя, таким образом, основную волну СЩЛ, напоминающую конструкцию поля волны типа Н10 прямоугольного волновода. Распределение тока в слое на
металлических полуплоскостях (рис. 10.7, в, г) – экспоненциальное.
Необходимо отметить, что к настоящему времени не существует достаточно точной теории СЩЛ и такого отчетливого физического понимания
принципа работы СЩЛ, которое характерно, например, для НПЛ. Сказанное
относится и к другим щелевым структурам, таким, как несимметричная щелевая линия (НЩЛ) и др. Ниже приведены некоторые приближенные соотношения, поясняющие, с одной стороны, физику работы СЩЛ, а с другой –
пригодные для непосредственного практического использования.
Для расчета параметров СЩЛ необходимо знать основные компоненты
электрического и магнитного полей. При W / λ << 1 напряжение между краями бесконечно протяженной регулярной щели можно заменить эквивалент-

163

Рис. 10.7.
ным магнитным током. При этом продольная составляющая магнитного поля
для любой точки пространства записывается в виде уходящей волны
(10.15)
H z (r ) = AH 0(1) ( gr ),

g 2 = − β 2 + k02 ,

(10.16)

где r – расстояние от начала координат до точки наблюдения, H (n1) (ζ ) - функция Ханкеля первого рода n-го порядка, β = 2π / λ - продольное волновое
число, k 0 = 2π / λ 0 - волновое число для воздуха, λ = λ0 / ε эфф - длина волны
в СЩЛ, ε эфф - эффективная диэлектрическая проницаемость СЩЛ.
Поперечные составляющие поля СЩЛ в цилиндрических координатах
определяются из уравнений Максвелла и имеют вид:

⎡ ⎛ λ ⎞2 ⎤
β ∂H z
Hr = − 2 ⋅
= A ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥
∂r
g
⎢⎣ ⎝ λ0 ⎠ ⎥⎦

−1/ 2

H1(1) ( gr ) ,

(10.17)

−1/ 2

2
jωµ ∂H z
λ ⎡ ⎛λ⎞ ⎤
Eϕ = 2 ⋅
H1(1) ( gr ) .
(10.18)
= −120π ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥
λ0 ⎢ ⎝ λ0 ⎠ ⎥
∂r
g
⎣
⎦
Используя свойства функции Ханкеля и условие |Hz/Hr|=1, определим
расстояние rкр от плоскости щели до места нахождения области круговой поляризации:

164

(

)

(

)

H1(1) grkp / H 0(1) grkp = 1 − (λ λ0 ) 2

(10.19)

Из формул (10.15) и (10.17) следует, что выражение (10.19) при r → ∞
стремится к единице. Поэтому на некотором расстоянии от щели электромагнитная волна имеет эллиптическую поляризацию (близкую к круговой).
Напряжение в произвольной точке слоя металла, нормированное на напряжение в щели, определяется следующей формулой:
U r / U 0 = (π / 2 ) gr H1(1) ( gr ) .
(10.20)
При расчетах эффективной диэлектрической проницаемости и волнового сопротивления СЩЛ часто используется модель линии с электрическими и «магнитными» стенками (рис.10.7, д, е); это позволяет приближенно
представить СЩЛ в виде прямоугольного волновода и решать задачу в прямоугольных координатах. Волноводные модели, изображенные на рис. 10.7,
д, е, предполагают распространение волны без потерь в продольном направлении СЩЛ.
Введение электрических стенок на расстоянии а, равном половине
длины волны (Е τ = 0 ) , и «магнитных» стенок симметричного осевой линии
щели на достаточно большом расстоянии в (Н τ = 0 ) не искажают в СЩЛ
компоненты поля. В результате из первоначальной структуры (рис. 10.7,а)
мы выделили участок, который можно рассматривать как прямоугольный
волновод с емкостной диафрагмой, размещенной на диэлектрической подложке (рис.10.7, д). В подобной структуре полный спектр волн, удовлетворяющих граничным условиям, состоит из волн Н1,2n для n ≥ 0 и Е1,2n для
n ≥ 1.
Волны Н10 и все высшие типы волн в волноводе без диэлектрика не
распространяются, поскольку величина а меньше половины длины волны в
воздухе. В диэлектрике распространяются волны Н10, а распространение
высших типов волн зависит от ширины волновода а.
Результаты расчета и аппроксимации по описанной выше модели даются следующими выражениями (9,6 ≤ ε ≤ 20 ):
для 0,2 ≤ W / d ≤ 1 (W – ширина щели, d – толщина полоски)

λ / λ0 = 0,987 − 0,483 lg ε + (W / d )(0,111 − 0,0022ε ) −
,
− (0,121 + 0,094W / d − 0,032ε )lg(100d / λ0 )

(10.21)

Z В = 113,19 − 53,55lg ε + 1,25 (W / d )(114,59 − 51,88lg ε ) +
+20 (W / d − 0,2 )(1 − W / d ) −
2

− ⎡⎣10,25 − 5lg ε + (W / d )( 2,1 − 1,421lg ε ) − 100d / λ0 ⎤⎦ ×

(10.22)

× ⎡⎣0,15 + 0,23lg ε + (W / d )( 2,07lg ε − 0,79 ) ⎤⎦
для 0,02 ≤ W / d ≤ 0,2

165

λ / λ0 = 0,923 − 0,448 lg ε + 0,2W / d −
,
− (0,29W / d + 0,017 )lg(100d / λ0 )

(10.23)

Z В = 72,66 − 35,19lg ε + 50 ( d / W )(W / d − 0,02 ) ×
× (W / d − 0,1) + lg (100W / d )( 44,28 − 19,58lg ε ) −

(10.24)

− ⎡⎣0,32lg ε − 0,11 + (W / d )(1,07 lg ε + 1, 44 ) ⎤⎦ ×

×[11,4 − 6,07 lg ε − 100d / λ0 ]
Необходимо напомнить, что волновое сопротивление в СЩЛ определяется неоднозначно. При выводе формул (10.22) и (10.24) использовано энергетическое определение сопротивления.
Структура же поля СЩЛ такова, что волновое сопротивление можно
определить и как отношение максимального напряжения в щели к току, текущему в продольном направлении по металлическим полуплоскостям:
U
(10.25)
ZВ = .
I
Аналитическое выражение для волнового сопротивления в соответствии с (10.25) имеет вид:
2

−1

⎡
⎤ ⎪⎫
1
⎪⎧
Z В = 296,1 ε эфф ⎨ 1 − ε эфф ⎢ln(k0 d ε эфф − ) + ln γ ⎥ ⎬
(10.26)
4
⎣
⎦ ⎭⎪
⎩⎪
где ln γ = 0,5772 - постоянная Эйлера.
Формула (10.26) в отличие от (10.22) и (10.23) лучше соответствует
действительности в коротковолновой части сантиметрового и миллиметрового диапазонов волн. В дециметровом и длинноволновой части сантиметрового диапазонов (10.22) и (10.23) дают более точное совпадение с эксперимен-

(

)

Рис. 10.8.
том.

166

На рис.10.8,а приведены дисперсионные кривые волнового сопротивления и длины в СЩЛ с достаточно удаленными стенками экрана, а также
результаты, рассчитанные по формулам (10.22) и (10.23). Влияние толщины
металлических полуплоскостей на частотные характеристики волнового сопротивления и длины волны в СЩЛ показано на рис.10.8,б. Для узких щелей,
как видно из кривых рис.10.8,б, необходимо учитывать толщину металлических полуплоскостей. Для сравнения на рис.10.8,б приведена кривая волнового сопротивления СЩЛ при нулевой толщине проводников.

10.5. Несимметричная щелевая линия
Несимметричная щелевая линия (НЩЛ) образуется металлическими
полуплоскостями, нанесенными с разных сторон диэлектрической подложки. В зависимости от взаимного расположения полуплоскостей относительно
друг друга возможны различные модификации НЩЛ: линия с перекрытием
либо без перекрытия (рис.10.9, а, б), а также с нулевым перекрытием, когда
края полуплоскостей находятся друг против друга.

Рис. 10.9.

В НЩЛ отсутствует кострукторско-технологическая особенность, связанная с реализацией узких проводников и щелей. Это позволяет выполнять
НЩЛ с практически любой величиной волновых сопротивлений. Ограничения накладываются лишь наличием излучения энергии (открытая НЩЛ) со
стороны больших волновых сопротивлений (большое расстояние между полуплоскостями), а со стороны малых – возможностью возникновения волн
волноводного типа и поверхностных волн. Кроме того, НЩЛ обладает боль167

шой широкополосностью и простой конструктивной реализацией СВЧ элементов на ее основе в комбинации с НПЛ и СЩЛ, что во многом упрощает
включение в нее (последовательно или параллельно) полупроводниковых
приборов.
Поле НЩЛ описывается путем формулировки и решения интегрального уравнения с использованием метода Галеркина. Однако для простого и наглядного в физическом плане описания НЩЛ можно воспользоваться полуэмпирической моделью, полученной в результате обработки большого числа
экспериментальных данных.
Результатом аппроксимации экспериментальных данных для эффективной диэлектрической проницаемости НЩЛ является формула:

ε эфф = (1/ 4 ) ε ⎡⎣3 + th (W / d − q ) / 2 ( ε − 1) ⎤⎦ ,
где q = (W / d )(2 − ε ) + ε(ε − 1) / 4 .

(10.27)

Волновое сопротивление, рассчитанное методом конформных отображений для ограничений ширины проводников и сопоставленное с экспериментальными данными, в результате аппроксимации приводит к следующей
зависимости:

(

)

Z В = 120π / 2ε K ' ( k ) / K ( k )

(10.28)

где k=0,515+0,5th(W/d-0,75). Сравнение расчетных данных с экспериментальными дает максимальную погрешность порядка 8% при S<0 и до 1% при
S>0.
На рис. 10.10 приведены экспериментальные данные (точки) по изучению НЩЛ, выполненной на подложке из поликора (ε = 9,8) . Измерения проводились в длинноволновой области сантиметрового диапазона; результаты
расчета по формулам (10.27) и (10.28) представлены кривой 1. Для сравнения

Рис. 10.10.
на этом же рисунке приведены результаты расчета НПЛ (кривая 2) и СЩЛ
(кривая 3).

168

Анализ приведенных на рис. 10.10 результатов показывает, что НЩЛ
обладает рядом интересных свойств. Во-первых, в случае перекрытия проводников (S>0) волновое сопротивление НЩЛ практически совпадает с НПЛ.
Полное количественное совпадение наблюдается при величине перекрытия
порядка полуволны и более. В случае без перекрытия проводников (S<0)
НЩЛ по своим характеристикам в некоторой степени похожа на СЩЛ.

10.6. Модифицированный метод неортогональных рядов
для расчета характеристик полосковых линий передачи.
10.6.1 Общая формулировка метода
В данном параграфе рассматривается модифицированный вариант метода неортогональных рядов, в котором системы неортогональных функций
вводятся как решения семейств специальных краевых задач для области более простой формы, чем рассматриваемая. Эти семейства выбираются так,
чтобы получаемые системы функций также обладали всеми необходимыми
свойствами (полнота, линейная независимость), но учитывали геометрию и
характер краевых условий. Они сложнее по форме и методике построения, но
лучше передают особенности искомого решения. В связи с этим высокая
точность достигается использованием небольшого их числа. В ряде задач для
коэффициентов разложения по таким системам функций получаются системы линейных алгебраических уравнений 2-го рода, для которых гарантирована сходимость процесса редукции и вычислительная устойчивость. Таким
образом, использование этих систем функций для разложения искомого решения эквивалентно процедуре регуляризации.
Описываемый подход реализуется на примере задачи математического
моделирования процессов распространения электромагнитных волн в линиях
передачи для интегральных схем диапазона сверхвысоких частот. Построение базисных функций выполняется аналитически при помощи метода задачи Римана-Гильберта.
Сформулируем метод сначала в общем виде. Для этого рассмотрим резонатор сложной формы в виде объема V (рис. 10.11 а, б), внутри которого
будем решать уравнение Гельмгольца
∇ 2ϕ + p 2ϕ = 0 .
(10.29)
Рассмотрим задачи двух типов:
1. Найти собственные значения pi2 , i = 1, 2, ... , уравнения (3.1) при граничном
условии

ϕ

s

= 0, S = S 0 U S ′, S ′ =

N

U Sα .

(10.30)

α =1

2. Решать уравнения (3.1) при граничном условии

ϕ

s

= f (Q ), Q ∈ S .

(10.31)

169

где: f(Q) - заданная функция.

Конфигурации резонаторов сложных форм (а, б) и соответствующая им
ключевая задача для волнового трансформатора (в).
Мысленно удалим поверхность Sα и продолжим отрезки регулярных
волноводных каналов до бесконечности. При этом придем к волноводному
трансформатору (рис. 10.11 в), для каждого из каналов которого известны
полные системы собственных волн ϕ m (α )e

± jΓm (α )Zα

зависят только от попереч-

Рис. 10.11.
ных для соответствующего канала координат), α=1, 2, ..., N; m=1, 2,... Введем
систему функций Φ mβ , каждая из которых представляет собой решение задачи о возбуждении рассматриваемого волноводного трансформатора m-ой
волной β-го канала. Внутри канала с номером α

{ }

m

m

Φ β = Φαβ =

∞

∑ Rnm(α )ϕ n(α )e

n =1

jΓn (α ) Z α

+ δ αβ ϕ m (α )e

− jΓm (α ) Z α

(10.32)

где Rn(α) - постоянные коэффициенты, δαβ - символ Кронекера,

(

2

)

1
2
2
χ n (α ) ,

Γn = p −
χn(α) есть n-е собственное значение двумерной области Sα.
(В задаче 2 можно перейти, полагая p=0, к уравнению Лапласа. При этом в
(10.32) будет Γn(α)→jχn(α)).

170

{ }

Систему функций Φ mβ будем использовать для разложения искомого
поля ϕ. Фактическое построение Φ mβ , в частности вычисления Rnm(α ) для многих практически интересных задач можно выполнить аналитически (при помощи метода Винера-Хопфа, переходом к задаче Римана и т.д.). в более
сложных случаях для этой цели можно применить численно-аналитические
методы.
Для первой задачи искомое поле в канале с номером α обозначим символом ϕα и представим разложением по функциям (10.32):

ϕα =

∞

∑

∞

N

m
=∑
∑ Cm(β )Φαβ

m =1 β =1

N

∑ Cm(β ) ×

(10.33)

m =1 β =1

⎡∞
− jΓ
jΓ
Z
Z ⎤
× ⎢ ∑ Rnm(α )ϕ n(α )e n (α ) α + δ αδ ϕ m (α )e m (α ) α ⎥
⎣n=1
⎦
Для второй задачи разложения (10.33) модифицируется следующим
образом:

ϕ = Φ0 +

∞

N

∑ ∑ Cm(β )Φ mβ .

m =1 β =1

где Φ 0 - частное решение уравнения (3.1), удовлетворяющее граничному условию (10.31) на поверхности S0.
Вычисление неизвестных коэффициентов Cm(β) производится при помощи граничных условий на поверхностях Sα. Будем использовать для этого
метод моментов (для определенности рассмотрим его на примере задачи (1),
заключающийся в переходе от условий (10.30) при zα=lα к цепочке соотношений ортогональности
(10.34)
∫ ϕα ϕ n(α )dS = 0, α = 1, 2,... N ; n = 1, 2,...
Sα

Подставляя в эти равенства (3.5) и интегрируя по Sα, получаем однородную
систему линейных алгебраических уравнений для Cm(β)
∞ N

[

∑ ∑ Cm(β ) Rnm(α )e

m =1 β

2 jΓn (α )l α

]

+ δ αβ δ mn = 0 .

(10.35)

Спектральный параметр p входит в (3.7) через Rnm(α ) и Γn (α ) . Характеристические числа p отыскиваются из условий существования нетривиального решения системы (10.35).
Справедливо утверждение (теорема эквивалентности), что собственные
значения задачи 1 и характеристические числа системы (10.35) совпадают, а
собственные функции задачи 1 и нетривиальные решения системы (10.35)
связаны соотношением (10.33).
Следует отметить, что как изложенная выше схема решения, так и теорема эквивалентности остаются в силе и для других типов граничных условий: Неймана, 3-го рода и т.д. Однако в последнем случае, если коэффициент
в граничном условии комплексный, рассматриваемая краевая задача стано171

вится несамосопряженной. Это может потребовать добавления в (10.33) присоединенных волн. Аналогичные схемы можно построить и в случае краевых
задач для системы уравнений Максвелла.
Для обоснования различных вычислительных схем на основе функций
(10.32) существенны вопросы о полноте и линейной независимости таких
функциональных систем. Рассмотрим эти свойства.
Пусть все l α таковы, что некоторое действительное число p не является собственным значением задачи 1 в области V. Тогда система функций
Φ mβ ( p ) линейно независима на S' и полна в L2(S').
Свойство полноты будет доказано, если из условий

{

}

m*

∫ ϕΦ β

dS =

S′

N

∑ ∫ Φ mβα* dS = 0, β = 1, 2,...N ;

m = 1,2, ...∞ .

(10.36)

α =1Sα

вытекает ϕ=0 на S'. Подставим в (10.36) разложение (10.33) и получим, что
набор равенств (10.36) эквивалентен системе линейных алгебраических
уравнений (символ”∗” означает комплексное сопряжение).
N ∞

∑ ∑ d n(α ) Rnm(α* )e

− 2 jΓn (α )l α

α =1n =1

+ d n( β )δ αβ δ mn = 0 .

(10.37)

относительно

d n(α ) = ∫ ϕϕ n(α )dS
Sα

Видно, что в условиях сделанного утверждения система (10.37) имеет
только тривиальное решение: все dn(α)=0. При этом следует учесть, что матрицы систем (10.37) и (10.35) являются эрмитово-сопряженными, а область V
нерезонансна. Но из равенства dn(α)=0 следует ϕ=0 на S', т.к. системы {ϕn(α)},
n=1, 2, ... , для каждого α полны в соответствующих пространствах L2(Sα).
Для доказательства линейной независимости приравняем к нулю некоторое разложение по функциям Φ mβ на S':
N

∞

~

∑ ∑ Cm(β )Φ mβ = 0 на S'.

(10.38)

β =1 m =1

Далее прейдем от (10.38) к эквивалентной цепочке соотношений ортогональ~
ности вида (10.34). Тогда для C m ( β ) получим вновь систему (10.35), которая,
как показано выше, имеет лишь тривиальное решение.
Аналогично можно рассмотреть также уравнение (10.29) со смешанными граничными условиями на S (условие Дирихле на S0, условие Неймана
на S'). В предложении, что p не является собственным значением данной
⎧⎪ ∂Φ mβ ( p )⎫⎪
краевой задачи, можно утверждать, что система функций ⎨
⎬ линейно
⎪⎩ ∂n ⎪⎭
независима и полна в L2(S').

172

~
Рассмотрим теперь область V ⊂ V , ограниченную S0 и гладкими, но не
плоскими поверхностями Σα (рис. 3.1а). Пусть выполнены условия теорем о
линейной независимости и полноте, доказанных выше, и Σα∪Sα=∅. Справедливо следствие, состоящее в том, что система функций Φ mβ ( p ) полна в

{

}

L2(Σ'),
Σ′ =

N

U Σα .

α =1

~
Это следствие доказывается следующим образом: пусть ϕ~(Μ ), Μ ∈ V , - решение уравнения (3.1), удовлетворяющее условию Дирихле на S0 и условию
ϕ~ (Μ ) Σ ′ = f (Μ 0 ), а f (Μ 0 ) - заданная функция, Μ 0 ∈ Σ′ .
Функция ϕ~ (Μ ) существует для произвольной f (Μ 0 ) ∈ L2 (Σ′) . Для любого набора Σα имеется S' такая, что соответствующий ей объем V нерезонансен. Аналогично по теореме Купрадзе можно показать, что существует
F(Q)∈L2(S'), для которой
ϕ~ (Μ ) ∫ F (Q )G (Μ , Q ) dS Q′ , Q ∈ S ′ ,
(10.39)
S′

где G (M, Q) - функция Грина в области V, подчиненная указанным выше
смешанным граничным условиям. Используя (3.11) и неравенство Буняковского-Шварца, получаем, что
n0 N
n0 N
∂Φ mβ
m
(10.40)
f (Μ 0 ) − ∑ ∑ Cˆ m ( β )Φ β ( p )
≤ const F (Q ) − ∑ ∑ Cˆ m ( β )
∂
n
n =1β =1
n =1β =1
′
L 2 (Σ

)

L 2 (Σ ′ )

где Ĉ m( β ) - произвольные коэффициенты. Выбором n0 и подбором этих коэффициентов правая часть (3.12) может быть сделана сколь угодной малой,
откуда и вытекает утверждение следствия. Совершенно аналогично можно
доказать полноту Φ mβ ( p ) в L2, на произвольной замкнутой поверхности
внутри V.
Доказанное выше утверждение о полноте Φ mβ позволяют использовать эти функции для представления решений, в том числе в областях достаточно сложных некоординатных форм. для отыскания коэффициентов разложения по ним, кроме обычного метода моментов, можно использовать вариационные принципы, метод наименьших квадратов, коллокационные процедуры и т.д.

{

}

{ }

173

10.6.2 Расчет физических параметров полосковых линий передачи
Конфигурация рассматриваемой модели линии передачи показана на
рис. 10.12а. Она является достаточно общей и позволяет исследовать ряд типов линий, широко применяемых в технике.
В квази -Т- приближении задача сводится к вычислению потенциала ϕ (x, y),
удовлетворяющего
уравнению
Лапласа
∇ 2xyϕ = 0
в
области

Рис. 10.12.

a
x < , − b2 ≤ z ≤ b1 Граничные условия имеют вид
2
⎛±a ⎞
ϕ⎜
, z ⎟ = ϕ ( x, − b2 ) = ϕ ( x, b1 ) = 0 ,
⎝ 2 ⎠
ϕ (x,−(∆1 + ∆ 2 )) x ≤ d 2 = 0, ϕ ( x, 0 ) x ≤ d1 = 1 .
2

2

Кроме того, должны быть выполнены условия непрерывности Zr
d ⎞
⎛
компонента вектора электрического смещения D = −ε ∇ϕ при z=0 ⎜ x ≥ 1 ⎟ ,
2⎠
⎝
d
z=–∆1, z=–(∆1+∆2) x ≥ 2 (при этом ε=1 при z>0, z ≤ −(∆ 1 + ∆ 2 ) , ε=ε1, при
2
0 ≥ z ≥ −∆1 , ε=ε2, при − ∆ ≥ z ≥ −(∆1 + ∆ 2 ) .
Наибольший прикладной интерес представляет погонная емкость линии, определяемая соотношением

174

C = ε0

d1
2

∂ϕ
⎛ ∂ϕ
⎞
∫ ⎜ ε1 ∂z Z = −0 − ∂z Z = +0 ⎟ dx ,

d ⎝
− 1
2

⎠

где ε0 - диэлектрическая проницаемость вакуума.
C
Через нее выражается ε эфф =
, где C0 = lim C
ε 1, 2 → 1
C0
−

1

и волновое сопротивление Z В = 120πε 0−1 ( C C0 ) 2 .
Конкретизируем для данной задачи способ построения базисных функций из п.10.6.1. Рассмотрим полосу x ≤

α

, − ∞ ≤ Z ≤ ∞ (рис. 10.12б) и по2
строим семейство решений краевых задач для уравнения Лапласа Um(X, Z),
m=1, 2,... , при граничных условиях
d
⎛ a ⎞
U m ⎜ ± , Z ⎟ = 0, U m ( X , 0 ) = 0, X ≤ ,
2
⎝ 2 ⎠
(10.41)
∂U m
∂U m
Z = +0 = ε
Z = −0 .
∂Z
∂Z
Потребуем, чтобы
lim U m = 0 и lim U m − cos(γ m x )eγ m Z = 0 ,
Z → −∞

Z → −∞

π

[

]

где γ m = (2m + 1) . Функции Um(X, Z) можно представить в виде разложеa
ний:

U m ( X , Z ) = cos (γ m x ) eγ m Z +

∞

∑ C (pm ) cos (γ p x ) e

±γ p Z

.

(10.42)

p =0

(знаки “+” и “-” соответствуют областям Z >0 и Z< 0), а для коэффициентов
C (pm ) получить из граничных условий (10.41) системы парных сумматорных
уравнений вида
∞
d
∑ C (pm ) cos γ p x = − cos (γ m x ), x ≤ 2 ,
p =0
(10.43)
∞
1− ε
d
(
m)
∑ C p γ p cos γ p x = γ m 1 + ε cos (γ m x ), x ≥ 2 .
p =0
Уравнения (10.43) могут быть точно решены методом задачи РиманаГильберта; в результате имеем

(

(

1⎞
⎛
2⎜ m + ⎟(− 1) p
2⎠
C (pm ) = ⎝
(ε + 1)⎛⎜ p + 1 ⎞⎟
2⎠
⎝

)

)

(

)

Rp m
⎤
⎡⎛ m
− (m +1)
Vσ − Vσ− (m +1) ⎥ − δ pm (− 1) p , (10.44)
−
⎢⎜⎜V p − V p
Rσ
⎦
⎣⎝

175

⎛ π (d − a ) ⎞
где V pm , Vσm , R p , Rσ - специальные функции аргумента U = cos ⎜
⎟,
a
⎝
⎠
выражаемые через полиномы Лежандра:
p +1
V pm =
Pp (u ) Pm +1 (u ) − Pp +1 (u ) Pm (u ) , p ≠ m;
2 ( p − m)
1 m +1
Vmm (u ) = ∑ ρ m +1− k (u ) Pk − m −1 (u ), m ≥ 0,
2 k =0
где ρ 0 (u ) = 1, ρ1 (u ) = −u , ρ n (u ) = Pn (u ) − 2uPn −1 (u ) + Pn − 2 (u ), n ≥ 2 ;
1
π
R p = P(u ), Rσ = P1 (u );
2
2 2

[

]

⎡
⎤
⎢ P 1 (u ) Pm +1 (u ) − P1 (u )Pm (u )⎥ .
1⎞ −
⎛
⎥⎦
2
4⎜ m + ⎟ ⎢⎣ 2
2⎠
⎝
Кроме того, введем семейство функций Vm(X, Z) удовлетворяющих уравнению Лапласа, граничным условиям (10.41), но с условиями на бесконечности
вида
lim Vm = 0 и lim Vm − cos(γ m x )e −γ m Z = 0 .

Vσm = −

π

Z →∞

Z →∞

[

]

Функции Vm(X, Z) даются разложениями

Vm ( X , Z ) = cos (γ m z ) e

−γ m Z

+

∞

∑ B (pm ) cos (γ p z ) e

mγ p Z

(10.45)

p =0

а коэффициенты B (pm ) вычисляются аналогично и даются выражением

B (pm ) = ε C (pm ) − δ mp (1 − ε ) . Функции (10.42) и (10.44) будут использованы для

разложения искомого потенциала ϕ . В соответствии с полученными в п.
10.6.1 результатами, они обладают требуемыми свойствами полноты.
Для построения алгоритма решения разобьем исследуемую область на
две частичные подобласти:
a
область 1: x ≤ , − ∆ ≤ z ≤ b ;
2
a
область 2: x ≤ , − b2 ≤ z ≤ − ∆1 .
2
Будем искать решение в виде (область 1)

ϕ (X , Z ) = V (X , Z ) +

∑ [α m(1)U m(1) ( X , Z ) + β m(1)Vm(1) ( X , Z )]
∞

m=0

и (область 2)

ϕ (X , Z ) =

∑ [α m(2 )U m(2 ) (a − x,−(z + ∆1 + ∆ 2 )) +
∞

m=0

+ β m(2 )Vm(2 ) (a − x,−( z + ∆1 + ∆ 2 ))];

176

α m( j ) , β m( j ) - неизвестные коэффициенты; U m( j ) , Vm( j ) - функции (10.42), (10.44)
при d=d1, ε=ε1 для j=1 и d=d2, ε=ε2 для j=2; V(X, Z) - решение уравнения Лапласа, убывающее при z → ± ∞, удовлетворяющее условию
V ( X , 0 ) = 1, X ≤
вид

d1
, а в остальном - граничным условиям (10.41). Оно имеет
2

V (X , Z ) =
=

∞

∑ Ap cos (γ p x ) e

=

p =0

4(− 1) p R p

∞

±γ p Z

∑ (2 p + 1)R

σ

p =0

(

)

cos γ p x e

mγ p Z

.

Для нахождения коэффициентов α m(1) , β m(1) следует наложить условия
r
непрерывности ϕ и z-компоненты D при z= –∆1, а также граничные условия
для ϕ при z=b1, z= –b2. Тогда получим систему линейных алгебраических
уравнений вида

ξ 11

ξ 12

0

0

0
23

0

ξ
24
ξ
− ξ 33 34
31
32
ξ
ξ
ξ
33 ε 2 44
ξ 31 ξ 32 − 2 I ξ ε ξ
1

α (1) ν 1
0
β (1)
⋅ (2 ) =
.
ν2
α
β (2 ) ν 2

(10.46)

где α ( j ) , β ( j ) - бесконечномерные векторы коэффициентов α n( j ) , β n( j ) , a ξ ij матрицы следующей структуры:
11
ξ mn
= δ mn + Cn(m ) e − 2γ n b1 ,

(
= (δ

)
) )e

12
ξ mn
= δ mn + Bn(m ) e − 2γ n b1 ,
31
ξ mn

mn

+ C n(m

− 2γ n ∆ 1

,

32
ξ mn
= δ mn + Bn(m ) e − 2γ n ∆1 ,

(m ) ⎞
⎛
33
= ⎜ − δ mn + C n ⎟ e − γ n (∆1 + ∆ 2 ) ,
ξ mn

⎠
34
ξ mn
= − δ mn e − γ n (∆ 2 − ∆1 ) − Bn(m ) e − γ n (∆1 + ∆ 2 ) ,
(m )
ε ⎧
⎫
44
ξ mn
= 2 ⎨− δ mn e − γ n (∆ 2 − ∆1 ) + B n e − γ n (∆1 + ∆ 2 ) ⎬ ,
ε1 ⎩
⎭

{

⎝

}

I mn = δ mn , ξ 23 , ξ 24 получаются из ξ 11 , ξ 12 заменами
(m )

(m )

C n(m ) , Bn(m ) → C n , B n

и b1→ b1 - ∆1 - ∆2 (одна либо две черты над

177

C n(m ) , Bn(m ) означают их принадлежность, соответственно, первой и второй
частичным областям). Коэффициенты ν1,2 в правой части (10.46) даются равенствами

ν1=–An e–2γnb1,
ν2=–An e–2γn∆1,

Система (10.46) является Фредгольмовой, что следует из асимптотических оценок C n(m ) , Bn(m ) , An. Для нее строго обоснован метод редукции.
В качестве простейшего примера рассмотрим экранированную микрополосковую линию (рис. 10.13а).
Предельный переход к экранированной микрополосковой линии от более общей конфигурации 10.12а можно выполнить различными способами,
например: ε1→ ε2, d2→ a, либо ε1→ ε2, ∆1+∆2→ b2, либо ∆2→ 0, d2→ a (рис.
10.13б, в, г).
На рис.10.14 приведены результаты расчета погонной емкости микро-

Рис. 10.13.

полосковой линии методом неортогональных рядов (эти результаты нанесены кружками). Для сравнения взяты данные (сплошные линии), полученные
методом полуобращения с использованием задачи Римана-Гильберта. На рисунке:
b
b +b
линия 1: 2 = 0.25 ; 1 2 = 0.5 ; ε=10.5;
a
a

178

Рис. 10.14.

b2
b1 + b2
= 0.1;
= 0.9 ; ε=10.5;
a
a
b
b +b
линия 3: 2 = 0.25 ; 1 2 = 0.5 ; ε=1.0;
a
a
b
b1 + b2
линия 4: 2 = 0.1;
= 0. ε=1.0.
a
a
В табл. 10.1 приведены примеры характеристик полосковых линий,
часто применяемых на практике
линия 2:

179

Табл.10.1

ε
9.8
9.8
9.8
9.8
9.8
9.8
9.8
3.78
3.78
3.78
3.78
1
1
1
1
1
1
1
1

а,
мм
1
1.5
2
8
10
15
20
2
8
10
18
20
25
25
23
20
15
5
3

d 1,
мм
0.02
0.05
0.1
0.6
1
3
8
0.1
0.6
1
5
8.87
7.31
6.2
5.37
4.72
3.13
1.21
0.19

b 1,
мм
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5

h,
мм
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5

N
4

I

εэфф

2
3
5
5
5
10
10
5
5
5
10
10
10
10
10
10
10
10
10

300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
500
500
500
500
500
500
500
500

5.403383
5.430295
5.492849
6.229931
6.484238
7.28545
8.107649
2.419478
2.662139
2.744443
3.136074
1
1
1
1
1
1
1
1

ZВ ,
Ом
136.3948
118.5018
103.9079
64.07808
50.78413
26.13688
12.14053
156.5620
98.02476
78.06032
28.01408
10.18
12.27
14.33
16.40
18.46
26.73
57.98
162.02

180

10.6.3 Пример использования метода неортогональных рядов: расчет
характеристик области сильной связи трехдецибельного
направленного ответвителя
Для создания трехдецибельных направленных ответвителей (НО) на
связанных полосковых линиях используются смещенные линии (рис. 10.15а).
Полоса перекрытия НО более октавы реализуется каскадным соединением
отрезков связанных линий с различной степенью связи в каждом каскаде.
При увеличении числа каскадов в симметричном НО расширяется полоса рабочих частот и одновременно степень связи в его центральном каскаде. Следовательно, широкополосность симметричных НО ограничена возможностью реализации сильной связи.
Максимальная величина связи достигается при конфигурации нулевого
смещения (рис. 10.15б), т.е., когда полоски расположены одна над другой.
Часто при проектировании НО на смещенных линиях пользуются формулами, полученными методом конформных преобразований, предполагая,
что пространство внутри экрана заполнено однородным диэлектриком. Ис-

Рис. 10.15.
пользование прокладок из материалов с диэлектрической проницаемостью ε1,
даже слабо отличающейся от проницаемости подложек ε2, ведет к ошибке в
нахождении волновых сопротивлений честной и нечетной мод порядка 2-5%.
Расчеты на ЭВМ показывают, что это приводит к увеличению девиации переходного ослабления относительно расчетного значения на 0,2-0,5 дБ. Кроме того, имеются ограничения на геометрические размеры связанных линий:

181

W
B

W0
≥ 0.7;
≥ 0.35 .
S⎞
S
⎛
⎜1 − ⎟
B⎠
⎝
Анализ этих ограничений показывает, что существует предел максимальных
значений волновых сопротивлений, достоверно полученных таким методом.
Поэтьому метод конформных преобразований не позволяет точно определить
геометрические параметры линий для высоких значений волновых сопротивлений четной моды, необходимые для создания сверхширокополосных симметричных НО.
Расчет же с помощью метода неортогональных рядов не связан с какими-либо ограничениями, накладываемыми на геометрию линий и характеристики материалов прокладки и подложек. Будем рассчитывать полностью экранированную модификацию линии (рис. 10.17в), что более удобно для применения метода, и при достаточно большом а не приводит к ощутимым погрешностям.
Эффективная диэлектрическая проницаемость и волновое сопротивление четной и нечетной мод вычисляется по формулам
++
ε эфф
=

ρ (ε ) + ρ12 (ε )
ρ (ε ) − ρ12 (ε )
+−
=
;
; ε эфф
ρ (1) + ρ12 (1)
ρ (1) − ρ12 (1)

Z ++ = Z0
Z +− = Z0

1

[ρ (ε ) + ρ12 (ε )][ρ (1) + ρ12 (1)]
1

[ρ (ε ) − ρ12 (ε )][ρ (1)ρ12 (1)]

;

;

где Z0 - волновое сопротивление вакуума;

ρ (ε ) =

C (ε )

ε0

, ρ12 (ε ) =

C12 (ε )

ε0

;

C + + (ε ) = C (ε ) + C12 (ε ), C + − (ε ) = C (ε ) − C12 (ε ) .
Емкости C (ε) и C12(ε) определяются следующим образом:

− ε0
C (ε ) =
V0
C12 (ε ) =

X2

⎛ ∂ϕ
∫ ⎜⎜ ε1 ∂z
X1 ⎝

X2

⎛ ∂ϕ
∫ ⎜ ε 21 ∂z
V0 X ⎜⎝
1

ε0

Z → +0

Z →−S + 0

− ε2

∂ϕ
∂z

⎞
⎟⎟ dx ,
Z → −0 ⎠

− ε1

∂ϕ
∂z

⎞
⎟⎟ dx ,
Z →−S −0 ⎠

182

где x1 =

(a − W ) ;

x2 =

(a + W ) ; V

0 - потенциал полоски.
2
Поля ϕ1 и ϕ2 представим разложениями по неортогональному базису

2

ϕ1 ( X , Z ) = V ( X , Z ) +
ϕ2 (X , Z ) =

∞

∑

α (1)U

m=0

m

∞

m

( X , Z ) + ∑ β m(1)Vm ( X , Z ),
m=0

∞

∑ α m(2 )U m (a − x,− s − z ) +

m=0

∞

∑ β m(2 )Vm (a − x,− s − z ) ,

m=0

где базисные функции Um(X, Z), Vm(X, Z) являются решениями ключевых задач электростатики (п.10.6.2) и имеют вид

U m ( X , Z ) = cos (γ m x ) eγ m Z +
Vm ( X , Z ) = cos (γ m x ) e −γ m Z +

∞

∑ C (pm ) cos (γ p x ) e

γ pZ

,

p =0
∞

∑ B (pm ) cos (γ p x ) e

mγ p Z

,

p =0

а функция V(X, Z) представляется в виде

V (X , Z ) =

∞

∑ Ap cos (γ p x ) e

mγ p Z

,

p =0

где γ m =

(2m + 1)π ; знаки «+» и «–» соответствуют областям ε

1 и ε2. Выражеa
ния для C (pm ) , B (pm ) , A p приведены в п.10.6.2, а коэффициенты α m(1, 2 ) , β m(1, 2 )
вычисляются из бесконечных систем линейных алгебраических уравнений
второго рода с вполне непрерывным оператором. Эти системы решаются на
ЭВМ методом редукции (усечения).
+
В табл.10.2 приведены результаты расчета Z++,Z+– и величин ε +эфф
и

+−
ε эфф
связанных полосковых линий с полной лицевой связью при заданных
геометрических размерах и величин ε r материалов. Эти данные были использованы
для
изготовления
экспериментального
макета
++
+− 1/ 2
( Z согл = ( Z ⋅ Z ) ) .

ε1

ε2

2.8

3.1

Н,
мм
1.5

S,
мм
0.04

W,
мм
0.36

Табл. 10.2
+
−
Zсогл,
Z , Z ,
ε +эфф
ε +эфф
Ом
Ом
Ом
3.062 2.811 10.81 219.7 48.737
++

+–

В табл.10.3, 10.4 приведены примеры расчета полосковых линий с полной лицевой связью при согласовании на 60 и 165 ОМ. Из табл. 10.4 видно,
что при определенных соотношениях относительно диэлектрических прони-

183

цаемостей подложек и прокладки можно получить повышение волнового сопротивления четной моды.
Погрешность расчета волнового сопротивления и эффективной диэлектрической проницаемости линии методом неортогональных рядов определяется порядком редукции N. Следует отметить, что соотношения геометрических размеров рассматриваемой линии являются неблагоприятными с точки
зрения сходимости метода редукции (малая толщина прокладки по сравнению с шириной полосок), поэтому порядок решаемой системы значителен.
Сходимость метода редукции иллюстрируется табл.10.5. В качестве оценки
абсолютных погрешностей величин, приведенных в табл.10.2, можно принять их приращения при увеличении N с 72 до 80.
Табл. 10.3
Примеры расчета полосковых линий с полной лицевой связью при согласоN
вании на 50 Ом: ε1=2.8; ε2=3;
= 10; I=300
4
+
−
а,
d 1,
Z+–,
Zсогл,
b 1,
Z++,
∆,
ε +эфф
ε +эфф
мм мм мм мм
Ом
Ом
Ом
4 0.37 0.04 1.5 2.9788 2.8054 10.7665 226.831 49.4184
4 0.41 0.05 2 2.9769 2.8083 11.6774 218.437 50.4836
4 0.41 0.05 1.5 2.9767 2.8086 11.6607 205.127 48.9073
2
0.2 0.02 2 2.9804 2.8044 10.1102 250.613 50.3364
2
0.2 0.02 1.5 2.9801 2.8044 10.1097 248.379 50.1102
6 0.42 0.06 2 2.9742 2.8118 13.0443 204.293 51.6224

Табл. 10.4
Примеры расчета полосковых линий с полной лицевой связью при согласоN
вании на 165 Ом; ∆=1мм, b1=20мм,
= 10; I=300; ε1=1
4
+
−
а,
d 1,
Z+–,
Zсогл,
Z++,
ε2
ε +эфф
ε +эфф
мм
мм
Ом
Ом
Ом
86.0743 315.313 164.744
1
1
1.2
1
10
10 1.2 0.95 1.139 1.041 89.217 312.415 166.93
10 1.35 0.915 1.2435 1.0736 86.147 305.871 162.326
10 1.5 0.903 1.351 1.107 86.4038 315.414 165.08
85.53 322.078 165.97
10 1.7 0.89 1.487 1.145
88.85 309.711 165.088
1.603 1.212
10 1.85 0.7
1.652 1.226 89.415 288.257 160.545
0.6
2
9
3.260 1.8743 97.775 279.881 162.006
0.3
5
8
Табл. 10.5

184

Иллюстрация сходимости метода редукции

ε1

ε2

N

I

+
ε +эфф

−
ε +эфф

2.8
2.8
2.8
2.8
2.8
2.8
2.8
2.8

3.1
3.1
3.1
3.1
3.1
3.1
3.1
3.1

24
32
40
48
56
64
72
80

500
500
500
500
500
500
500
500

2.974
2.990
3.007
3.023
3.038
3.049
3.056
3.062

2.821
2.816
2.813
2.812
2.811
2.811
2.811
2.811

Z++,
Ом
27.099
20.498
16.469
13.991
12.483
11.589
11.081
10.8109

Z+–,
Ом
203.276
210.518
214.910
217.492
218.899
219.527
219.721
219.715

Рис. 10.16.
Табл.10.6
Зависимость точности решения от числа слагаемых
при вычислении базисных функций
+
−
Z+–,
N
I
Z++,
ε1
ε2
ε +эфф
ε +эфф
Ом
Ом
2.8 3.1
80
200
3.062 2.809
10.995 229.270
2.8 3.1
80
300
3.062 2.810
10.901 224.364
2.8 3.1
80
400
3.062 2.811
10.851 221.783
2.8 3.1
80
450
3.062 2.811
10.829 220.627
В качестве примера была поставлена задача разработки симметричного
НО в диапазоне частот 140-1280 МГц (коэффициент перекрытия χ=9,1) с переходным ослаблением
A=3±1 дБ. Для изготовления подложек использовался флан (ε1=2.8) толщиной Н=1,5 мм, для прокладки - полиамид (ε2=3.1)
толщиной S=0,004 мм. Общая длина области связи НО 18,6 см. для уменьшения геометрических размеров НО область связи была выполнена П-образной
формы (рис.10.18).
Частотная характеристика переходного ослабления НО, измеренная на
панорамном измерителе КСВ, приведена на рис. 10.17.

185

Из рис. 10.19 видно, что измеренное переходное ослабление НО в требуемом диапазоне частот находится в заданных пределах.
Таким образом, метод проектирования сверхширокополосковых трехдецибельных направленных ответвителей, основанный на строгом расчете
каскада сильной связи методом неортогональных рядов, позволяет пректировать НО с учетом различия диэлектрических проницаемостей материалов
подложек и прокладок в области сильной связи.

10.7. Копланарная линия передачи
Копланарная линия (КЛ) передачи относится к линиям квазиоткрытого
типа, в которой распространяются волны квази-Т и Н типа. Токонесущие проводники КЛ образованы узким проводником и двумя полубесконечными слоями металла, расположенными на одной стороне диэлектрической подложки.
Структуры электромагнитных полей в КЛ для четного типа волн приведены на рис. 10.20,а, для нечетного – на рис.10.20,б. Распределение продольных токов в поперечном сечении КЛ представлено на рис.10.20,в,г, а
распределение токов на проводящих слоях – на рис.10.20,д,е.
Для изотропной подложки погонная емкость рассчитывается с помощью формулы, полученной методом конформных отображений:

C = 2(ε + 1)ε 0 K (k ) / K ' (k ) ,

(

где K ' (k ) = K (k '), k = a1 / b1 , k ' = 1 − k 2

)

1/ 2

(4.7.1)
.

Рис. 10.17.

186

Рис. 10.18.
Результаты расчета емкости КЛ на единицу длины в отсутствии диэлектрической подложки представлены в табл.10.7.
Табл.10.7
a/b

C, пФ

0.2
0.4
0.6
0.8

1.6529
2.1838
2.7566
3.5804

10.8. Четная и нечетная моды в
связанных полосковых линиях
Пусть в симметричной либо микрополосковой линии две металлические полоски равной ширины располагаются, как показано на рис. 10.20.
Электрические поля, возникающие вокруг этих проводников, существуют не
только в непосредственной близости от каждого из них, поэтому появляется
взаимодействие между ними за счет краевых полей, величина которых зависит от разности потенциалов между проводниками, формы проводников, расстояния между проводниками и параметров диэлектрической подложки.

187

Взаимодействие, обусловленное краевыми полями, используется в таких устройствах, как направленные ответвители, а также во многих типах
фильтров. Для получения требуемой характеристики в фильтре используются
связанные отрезки линии передачи, резонирующие на определенной частоте
и расположенные определенным образом.
Возможны два способа возбуждения проводников: оба центральных
проводника находятся под одним и тем же потенциалом, равным, например,

Рис. 10.19.
+1В (четная мода), либо потенциал одного из проводников +1, а второго –1В
(нечетная мода). Тогда на оси симметрии (штрихпунктирная линия на рис.
10.19) будут располагаться «магнитная» стенка при возбуждении четной моды и электрическая стенка при возбуждении нечетной моды. Во всх связанных вдоль бокового торца (боковая связь) линии могут существовать четная
и нечетная моды. Коэффициент связи между линиями, как правило, может
быть выражен через волновое сопротивление четной и нечетной мод. Следующие соотношения устанавливают связь между этими величинами:
коэффициент связи С(дБ)=20lg(Ku)=-20lgC0;
где Ku – коэффициент связи по напряжению;
волновое сопротивление для четной моды
1/ 2

⎛ 1 + C0 ⎞
Z ВЧ = Z В ⎜
⎟ ,
−
C
1
0 ⎠
⎝
волновое сопротивление для нечетной моды

(10.47)

1/ 2

Z ВН

⎛ 1 − C0 ⎞
= ZВ ⎜
⎟
⎝ 1 + C0 ⎠

;

(10.48)

188

(10.49)
Z В = ( Z ВЧ ⋅ Z ВH ) .
Указанные соотношения строго выполняются для Т-волн, например, в
коаксиальной или симметричной полосковой линии, где постоянные распространения четной и нечетной мод равны.
В микрополосковой линии каждая из этих мод, строго говоря, имеет
свой коэффициент распространения и свою фазовую скорость, поэтому равенствами (10.47) – (10.49) можно пользоваться лишь как приближенными.
Простейшая реализация связанных симметричных полосковых линий
(СПЛ) изображена на рис.10.21 б, где оба центральных проводника расположены на равном расстоянии от внешних проводников и настолько близко
друг к другу, что возникает их взаимное влияние.
При t<0,1 и W/b>0,35 формулы для анализа имеют вид
1/ 2

( ε )1/ 2 Z ВЧ
(ε )

1/ 2

Z ВH

где

AЧ = 1 +

= 30π ( b − t ) / (W + ( bC / 2π ) AЧ ) , ⎫⎪
⎬
= 30π ( b − t ) / (W + ( bC / 2π ) AH ) , ⎪⎭

ln (1 + thθ )
ln (1 + cthθ )
; AH = 1 +
;
0,6932
0,6932

⎡ t ( 2b − t ) ⎤
⎛ 2b − t ⎞
t
/
b
ln
θ = (π S / 2b ) ; C = 2ln ⎜
−
⎢
⎥
(
)
⎟
2
⎝ b−t ⎠
⎢⎣ ( b − t ) ⎥⎦

(10.50)

.

Формулы для синтеза имеют вид
W / b = ( 2 / π ) arсth ( kЧ k H ) ,

⎡ 1 − kЧ
⎤
S / b = ( 2 / π ) arсth ⎢
( kЧ / kH )1/ 2 ⎥ ,
⎣1 − k H
⎦

(10.51)

где

189

1/ 2

⎡ ⎛ exp (π x ) − 2 ⎞ 4 ⎤
Ч
kЧ = ⎢1 − ⎜
⎟ ⎥
⎢ ⎝ exp (π xЧ ) + 2 ⎠ ⎥
⎣
⎦

при 1 ≤ хЧ ≤ ∞;
1/ 2

⎡ ⎛ exp (π x ) − 2 ⎞4 ⎤
Н
k Н = ⎢1 − ⎜
⎟ ⎥
⎢ ⎝ exp (π xН ) + 2 ⎠ ⎥
⎣
⎦

при 1 ≤ хН ≤ ∞;

2

⎡ exp (π xЧ ) − 2 ⎤
kЧ = ⎢
⎥ при 0 ≤ хЧ ≤ 1;
exp
π
x
2
+
(
)
Ч
⎣
⎦
2

⎡ exp (π xН ) − 2 ⎤
kH = ⎢
⎥ при 0 ≤ хН ≤ 1;
+
π
exp
x
2
(
)
Н
⎣
⎦
Z (ε )
Z (ε )
хЧ = ВЧ
; xH = ВH
.
30π
30π
Приближенный синтез микрополосковых линий (рис.10.21 а) можно
выполнять, имея зависимость величины ZВЧ и ZВH от параметра W/h при различных значениях S/h и заданном значении ε . Затем рассчитываются те же
зависимости, но при воздушном заполнении, что позволяет определить фазовую скорость и длину волны каждой из мод. (Так как у диэлектриков µ = 1 ,
погонная индуктивность линии в первом приближении не зависит от характера диэлектрического заполнения).
Действительно,
Z ВЧ = υфЧ L, Z ВH = υфН L,
1/ 2

1/ 2

возд
возд
Z ВЧ
= cL, Z ВН
= cL,

т.е.
возд
υфЧ = cZ ВЧ / Z ВЧ
,
возд
υфH = cZ ВH / Z ВH

и

возд
λЧ = υфЧ / f = cZ ВЧ / fZ ВЧ
,

(10.52)

возд
λH = υфH / f = cZ ВH / fZ ВH
,

где f – рабочая частота.
Воспользуемся для примера графиками, построенными в (рис.10.22).
Пусть перед нами стоит задача определить величины W и S в связанных микрополосковых линиях, если заданы толщина подложки h=0,25 мм, ее
относительная диэлектрическая проницаемость ε =2,3, коэффициент связи
С=-10 дБ, рабочая частота f=1 ГГц и волновое сопротивление питающей линии ZВ =50 Ом.
Из соотношений (10.47) – (10.49) определяем величины

190

-10=20lgC0, откуда С0=0,32,

Проверим выполнение равенства

Z В = ( Z ВЧ ⋅ Z ВH )

1/ 2

= ( 69,7 ⋅ 36 )

1/ 2

= 50,01 ≈ 50 (Ом).

Для нахождения отношений W/h и S/h обратимся к рис.10.22.
Наносим на вертикальную ось полученные значения ZВЧ и ZВH . Проводим
прямые, параллельные горизонтальной оси, до пересечения с кривыми, соответствующими одному и тому же значению S/h (точки Р на рис.10.22), и
опускаем перпендикуляр, проходящий через эти точки, до пересечения с го-

Рис. 10.20.
ризонтальной осью (точка Q).
Р=10= S/h, т.е. S = 10 ⋅ 0,25 = 2,5 (мм),
Q = 11,7 = W / h , т.е. W = 11,7 ⋅ 0,25 ≈ 2,9 (мм).
Далее мы можем определить эффективную диэлектрическую проницаемость и длину волны в линии:
1/ 2
2,3 + 1 2,3 − 1
+
1 + 12 ( 0,25/ 2,9 ) ) ≈ 2,11,
(
2
2
3 ⋅ 1010
−1/ 2
=
⋅ 0,69 = 21 ( см )
λ ≈ ( c / f )( 2,11)
1 ⋅ 109
В приближенных расчетах можно полагать, что длина волны в связанной линии совпадает с длиной волны в одиночной полосковой линии с той
же шириной полоски. При этом погрешность лежит в пределах 10%.

ε эфф ≈

191

ЧАСТЬ 3
ОБЪЕМНЫЕ РЕЗОНАТОРЫ
ГЛАВА XI
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОБЪЕМНЫХ РЕЗОНАТОРОВ
11.1. Типы объемных резонаторов
Объемным резонатором (ОР) называется объем V, заключенный между
отражающими, обычно металлическими стенками S.
ОР по типу можно разделить на; а) открытые и закрытые б) отражательные и бегущей волны.
Закрытым называется ОР, стенки которого образуют замкнутую поверхность. Открытым называется ОР с незамкнутыми стенками, образующими систему отражающих зеркал.
В отражательных ОР накопление электромагнитной энергии происходит за счет установления стоячего поля как следствия переотражений от стенок резонатора. ОР бегущей волны представляет собой замкнутый на себя
волновод, причем длина этой замкнутой системы на резонансной частоте
l p = NΛ В . Здесь N - целое число; Λ В - длина волны в волноводе на резонансной частоте для некоторого распространяющегося типа волн.
На рис. 11.1 изображены резонаторы, образованные отрезками регу-

Рис. 11.1.
лярных волноводов различных форм поперечных сечений с короткозамкнутыми торцевыми крышками
На рис. 11.2 показаны резонаторы, соответствующие телам вращения:
сферической, биконической, эллиптической

Рис. 11.2.
Заметим, что поле в закрытых резонаторах (например, рис. 11.2) на ряде типов колебаний не везде примыкает к стенкам (особенно это характерно
для биконического и эллиптического резонаторов). Удалив «лишние» части

192

стенок получим соответствующие конфигурации открытых резонаторов, которые изображены на рис. 11.3

Рис. 11.3.

Рис. 11.4

На рис. 11.4 показаны зеркальные открытые ОР: с плоскими (ОР Фабри-Перо) и сферическими зеркалами.
На рис. 11.5 изображены ОР бегущей волны: четырехзеркальный резонатор гиротрона с Т-волной и резонансный блок магнетрона-амплитрона с
замедленной Е-волной.

Рис. 11.5.
Далее мы остановимся на закрытых резонаторах, имея в виду их более
простое математическое описание.

11.2 Поля в ОР как в отрезках регулярных волноводов с
короткозамыкающими крышками
Пусть имеется отрезок регулярного волновода длиной d, закороченный
с обеих сторон поперечными к оси волновода проводящими крышками (рис.
11.6).

Рис. 11.6.
В отрезке волновода в принципе могут распространяться все докритические типы волн в +Z и –Z направлениях. Обозначим их соответственно
Ev+ , H v+ и Ev− , H v− , причем, если поперечные крышки идеально проводящие,
то на них должны выполняться условия

Evt

z = 0, d

= 0,

(11.1)

193

где значок «t» означает поперечную составляющую векторов поля.
Представим

r
r
r
r
Е& vt+ = Av+ Evt0 ( q1 , q 2 ) e − jГv Z , H& vt+ = Av+ H& vt0 ( q1 , q 2 ) e − jГv Z ,
r
r
r
r
E& vt− = Av− E −0vt ( q1 , q 2 ) e jГv Z , H& vt− = Av− H& −0vt ( q1 , q 2 ) e jГv Z .
Здесь q1, q2 - обобщенные поперечные координаты (в общем случае криволинейные), Гv - постоянная распространения v-го типа волн регулярного волновода, Av± - комплексные амплитуды волн.
Учитывая, что обе волны v-го типа распространяются навстречу друг
1
другу, т.е. Z- составляющие векторов Умова-Пойнтинга S 0 Z = Et , H t* для
2
них противоположно направлены, имеем:

r
r
r
r
E −0vt = m Evt0 , H −0vt = ± H vt0 .
Выбирая верхние знаки, получим

r
r
Evt = Evt0 A&v+ e − jГv Z − A&v− e jГv Z ,

(

)

r
r
H vt = H vt0 A&v+ e − jГv Z + A&v− e jГ v Z .

(

)

Используя граничные условия (11.1) при Z=0, имеем Av+ = Av− = A0 и,
соответственно

r
r
Evt = −2 jA0 Evt0 (q1 , q 2 ) siпГ v Z ,
r
r
H vt = 2 A& 0 H vt0 (q1 , q 2 )cos Г v Z .
Учитывая далее условие (11.1) при Z=d, получаем резонансные (т.е.
при которых возможен установившийся режим переотражений от крышек)
длины волн:
siп Г v d = 0, Г v d = 0,π ,..., lπ
(11.2)
причем Гvd=0 может удовлетворятся только для волн типа Е, имеющих составляющую Е, иначе в этом случае E=0.

194

lπ
, l = 0,1, 2, 3,... Поскольку Г v = k v2 − χ v2 , а
d
ε a µ a , получаем следующую формулу для резонансной частоты

Из (11.2) следует: Г v =

k v = 2π f v
fv =

1
2 ε a µa

2

2

⎛ l ⎞ ⎛ χv ⎞
⎜ ⎟ +⎜ ⎟ .
⎝d ⎠ ⎝ π ⎠

(11.3)

Здесь χv - собственное значение соответствующей краевой задачи, отвечающее волне с индексом v.
Теперь можно записать:

r
r
r
π lZ r&
π lZ
.
, H vt = 2 A& 0 H vt0 cos
E& vt = −2 jA& 0 Evt0 siп
d
d
r
r
Учитывая, что A& 0 = Am e jω t , действительные выражения Evt и H vt
можно записать в виде
r
r
r
π lZ
siп ω t ,
Evt = Re E& vt = 2 Am Evt0 (q1 , q 2 ) siп
d
r
r
r
π lZ
cos ω t .
H vt = Re H& vt = 2 Am H vt0 (q1 , q 2 )cos
d

(11.4)

Анализируя (11.4), можно сделать следующие выводы:
r
r
Λv
а) Evt и H vt колебания резонатора смещены пространственно на
( Λv 4
длина волны в волноводе);
r
r
Τ
б) по времени Evt и H vt смещены на v (Τ v - период колебания);
4
v
в) усредненная за период продольная составляющая S 0TvZ
= 0.
Формулы (11.4) при известном распределении полей бегущих волн позволяют синтезировать структуру соответствующего колебания с продольным индексом l . Однако для Е-колебаний с l = 0 процедура построения
структуры полей с помощью (11.4) очевидным образом затруднена.

11.3 Расчет полей в резонаторах с помощью потенциалов Герца
Для расчета полей собственных колебаний резонаторов, представляющих собой закороченные отрезки регулярных волноводов, удобно воспользо-

195

ваться, как и в случае регулярных волноводов, скалярными потенциалами
& ez, m . Для краткости далее значок z опустим. Имея в виду конфигураГерца Π
цию, представленную на рис. 11.6 и полагая стенки резонатора идеально проводящими, поставим краевую задачу для Π e, m следующим образом:

& e, m + k 2 Π
& e, m = 0, k 2 = ω 2ε a µ a
∇ 2Π

(11.5)

∂Π e
Π (S бок ) = 0,
∂Z

(11.6)

e

=0
Z = 0, d

∂Π m
(S бок ) = 0, Π m
∂n

Z = 0, d = 0

(11.7)

Рассмотрим далее наиболее типичные случаи.

11.3.1 Прямоугольный резонатор
В этом случае задача (11.5)...(11.7) трансформируется к (рис. 11.7):

Рис. 11.7.

∇ 2 Π e, m + k 2 Π e, m = 0

Π e = 0 при x=0, a; y=0, b,
∂Π e
= 0 при z=0, d.
∂z
∂Π m
= 0 при x=0, a;
∂x
∂Π m
= 0 при y=0, b,
∂y

(11.8)

(11.9)

(11.10)

Π m = 0 при z=0, d.
Решая задачу как и ранее методом разделения переменных, получаем
для Е-колебаний

196

lπ z
mπ x
nπ y
sin
cos
Π& ve = A& ve sin
,
a

a

d

(11.11)

m = 1, 2... , n = 1, 2... , l = 0,1, 2... ,
k v2 = k x2 + k y2 + k z2 , k x =

mπ
nπ
lπ
, ky =
, kz =
.
a
b
d

Учитывая, что k v = 2π f v ε a µ a , имеем для v-ой собственной частоты f v :

fv =

1
2 ε a µa

2

2

2

⎛m⎞ ⎛n⎞ ⎛ l ⎞
⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ , ν = m⊕ n⊕l.
⎝ a ⎠ ⎝b⎠ ⎝d ⎠

(11.12)

Для Н-колебаний находим

mπ x
nπ y
eπ z
cos
sin
Π& vm = A& vm cos
,
a

fv =

1
2 ε a µa

a

2

d

2

(11.13)

2

⎛m⎞ ⎛n⎞ ⎛ l ⎞
⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ,
⎝ a ⎠ ⎝b⎠ ⎝d ⎠

(11.14)

m = 0,1, 2... , n = 0,1, 2... , l =1, 2... .
Компоненты полей для Е-колебаний могут быть рассчитаны по формулам

r
r
∂Π& ve
E& ve = Z 0 K v2 Π& ve + grad
,
z
∂
r
r
H& ve = jω v ε a rot Z 0 Π& ve .

(

)

Для Н-колебаний компоненты полей выражаются как
r& e r 2 m
∂Π& vm
&
H v = Z 0 K v Π v + grad
,
z
∂
r
r
E& ve = − jω v ε a rot Z 0 Π& vm .

(

)

(11.15)

(11.16)

На рис. 11.8 изображены колебания H101, E110, H111 в прямоугольном резонаторе

197

Рис. 11.8.

11.3.2. Цилиндрический резонатор
В этом случае задача (11.5)...(11.7) записывается в следующей форме
(рис. 11.9):
& e, m + k 2 Π
& e, m = 0
∇ 2Π
(11.17)

Рис. 11.9.

&e
∂Π
e
&
Π (a ) = 0,
∂Z
&m
∂Π
&m
a = 0, Π
∂r

Z = 0, d

Z = 0, d

& e (0 ) ≠ ∞
Π

= 0,

& m (0 ) ≠ ∞ .
= 0, Π

(11.18)

(11.19)

Π& е ,т (ϕ + n ⋅ 2π ) = Π& е ,т (ϕ )
Решение задачи (11.17), (11.18) (Е-колебания) дает следующий результат:
& e = A& e J ⎛⎜ ν ni
Π
v
v n
⎝ a

f ve

=

1
2 ε a µa

π lz
⎞
r ⎟ cos nϕ cos
d
⎠
2

(11.20)
2

⎛ ν ni ⎞ ⎛ l ⎞
⎜⎜
⎟⎟ + ⎜ ⎟ , n = 0,1, 2,... , i = 1, 2,... , (11.21)
⎝π a ⎠ ⎝ d ⎠
l = 0,1, 2,... , ν = n ⊕ i ⊕ l.

Здесь Jn - функция Бесселя 1-го рода n-го порядка, νni – i-й корень этой
функции (Jn(νn)=0).
Для Н-колебаний, решая краевую задачу (11.17), (11.19), находим

198

& vm = A& vm J n ⎛⎜ µ ni
Π
⎝ a
f vm

=

1
2 ε a µa

π lz
⎞
r ⎟ cos nϕ sin
,
d
⎠
2

(11.22)

2

⎛ µni ⎞ ⎛ l ⎞
⎜
⎟ + ⎜ ⎟ , n = 0, 1, 2,... ,
π
a
⎝
⎠ ⎝d ⎠
l = 1, 2,... , ν = n ⊕ i ⊕ l.

i = 1, 2,... ,

(11.23)

Здесь µni – i-ый корень производной Jn (x), т.е. J n′ (µ ni ) = 0 .
Используя (11.15) и (11.20), запишем компоненты полей для колебаний
Eni l , опуская амплитуду A& ve :
2

π lz
⎛ν ⎞
⎛ν
⎞
,
E& Z = ⎜ ni ⎟ J n ⎜ ni r ⎟ cos nϕ cos
d
⎝ a ⎠
⎝ a ⎠

(11.24)

π lz
⎞
⎛ π l ⎞⎛ ν ⎞ ⎛ ν
E& r = −⎜ ⎟⎜ ni ⎟ J n′ ⎜ ni r ⎟ cos nϕ sin
,
d
⎝ d ⎠⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠
π lz
⎛ π l ⎞⎛ n ⎞ ⎛ ν ni ⎞
E&ϕ = ⎜
,
⎟⎜ ⎟ J n ⎜ r ⎟ sin nϕ sin
d
⎝ d ⎠⎝ r ⎠ ⎝ a ⎠
k n ⎛ν
H& r = − j v0 J n ⎜ ni
W r ⎝ a

πl z
⎞
r ⎟ sin nϕ cos
,
d
⎠

k ν
nl z
⎛ν
⎞
.
H& ϕ = − j v0 ni J n′ ⎜ ni r ⎟ cos nϕ cos
d
W a
⎝ a ⎠

Аналогично, используя (11.16) и (11.22), получаем в случае Hnil колебаний
2

π lz
⎛µ ⎞
⎛µ ⎞
,
H& z = ⎜ ni ⎟ J n ⎜ ni r ⎟ cos nϕ sin
a
a
d
⎝
⎠
⎝
⎠
π lz
⎛ π l ⎞ ⎛ µ ni ⎞ ′ ⎛ µ ni ⎞
H& r = ⎜
r ⎟ cos nϕ s cos
,
⎟⎜
⎟ Jn ⎜
d
⎝ d ⎠⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠

(11.25)

π lz
⎛ π l ⎞⎛ n ⎞
⎛ µ ni ⎞
H& ϕ = − ⎜
r ⎟ sin nϕ cos
,
⎟⎜ ⎟ J n ⎜
d
⎝ d ⎠⎝ r ⎠
⎝ a ⎠

199

⎛n⎞ ⎛µ
E& r = jk vW 0 ⎜ ⎟ J n ⎜ ni
⎝r⎠ ⎝ a

π lz
⎞
r ⎟ sin nϕ sin
,
d
⎠

π lz
⎛µ ⎞ ⎛µ ⎞
E&ϕ = jk vW 0 ⎜ ni ⎟ J n′ ⎜ ni r ⎟ cos nϕ sin
.
d
⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠
Структуры полей некоторых типов колебаний в цилиндрических резонаторах приведены на рис. 11.10.

Рис. 11.10.

11.4 Добротность собственных колебаний в резонаторах. Внешняя и
нагруженная добротности
Полную или нагруженную добротность v-го колебания в резонаторе
определим как

Qv =

ω vWv
PvΠ

= 2π

Wv
Tv PvΠ

(11.26)

Здесь PvΠ - полная мощность потерь на v-м виде колебаний (потери в
стенках, среде, заполняющей волновод, потери на излучение во внешние цепи или нагрузку), Wv - полная энергия, запасаемая в резонаторе на v-м виде
колебаний, Tv - период собственных колебаний идеального резонатора на v-м
виде колебаний.
Представим Pν Π = Pvcp + Pvσ + PvΣ ,
где Pvcp -мощность потерь в среде, Pvσ - мощность потерь в металлических стенках, PvΣ - мощность излучения через границу резонатора S (мощность, проходящая во внешние цепи).
Запишем теорему Умова-Пойнтинга для объема резонатора V, ограниченного замкнутыми стенками S для v-го колебания:

r uur
dWv
S
dS
+
P
+
= Pvcm .
0
v
vcp
∫
dt
S

200

В рассматриваемом случае

r uur
cm
S
∫ 0v dS = Pvσ + PvΣ , а Pv = 0 .

S

Таким образом, получаем

dWv
+ PvΠ = 0 .
dt
Учитывая, что в соответствии с определение (11.26) PΠv =

ωv
Qv

Wv , при-

ходим к следующему уравнению для Wv свободных колебаний:

dWv ω v
+
Wv = 0
dt
Qv

(11.27)
−

ωv

t

Из (11.27) имеем Wv (t ) = Wv 0 e Qv , где Wv0 - начальное (в момент t=0)
значение Wv.
Таким образом, энергия свободных колебаний убывает во времени экспоненциально с постоянной затухания по времени α =

ωv

.
Qv
Примем во внимание то обстоятельство, что Wv - квадратичная относительно Ev, Hv функция:

Wv =

{

}

1
µ a H v2 + ε a Ev2 dV p
∫
2V
P

По этой причине следует полагать, что амплитуды Ev, Hv свободных
−

ω vt

колебаний изменяются во времени как e 2Qv . Это позволяет ввести понятие
о собственной комплексной частоте свободных колебаний:

r
r
jω&
E& v = E v0 (r )e

vt

r
r
jω&
, H& v = H v0 (r )e

vt

,

⎛
j ⎞
⎟⎟ - комплексная собственная частота v-го вида колебагде ω& v = ω v ⎜⎜1 +
2
Q
v ⎠
⎝
ний.
Вернемся к определению полной добротности Qv колебаний резонатора. Представим PvΣ=PvH+PvД, где PvH - мощность, излучаемая во внешние
цепи (нагрузку), PvД - мощность дифракционных потерь самого резонатора.
Тогда в соответствии с (11.26) имеем
1
1
1
1
1
=
+
+
+
,
(11.28)
Qv Qvcp Qvσ QvД QvH

201

где Qvcp =

ω vWv
Pvcp

, Qvσ =

ω vWv
Pvσ

, QvД =

ω vWv
PvД

, QvH =

ω vWv
PvH

.

Обычно Qvσ называют омической добротностью резонатора, QvД дифракционной добротностью, QvH - внешней добротностью. Объединим
добротности, связанные с потерями в самом резонаторе в одну Qvc - собственную добротность
1
1
1
1
=
+
+
Qvc Qvcp Qvσ QvД

(11.29)

Теперь, используя (11.28), (11.29), имеем

Q Q
1
1
1
=
+
, Qv = vc vH .
Qvc + QvH
Qv Qvc QvH

(

)

Для закрытого резонатора QvД → ∞ и обычно Pvcp=0 Qvcp → ∞ . Поэтому для таких резонаторов основной характеристикой является омическая
добротность Qvσ . Обратимся к её вычислению.
При вычислении Wv учитываем, что в любой момент времени для собственных колебаний имеет место равенство

Wv = WЭmax = WMmax =

µa
2

∫ H vmdV .
2

(11.30)

Vp

Перейдя, как и в (11.30) к средним за Tv величинам и комплексным векторам, запишем
r& r
r&
r&
r
1
Pvσ = Pvσ = Re ∫ S0v ndS = Re ∫ ⎡⎢ Ev , H v* ⎤⎥ ndS .
(11.31)
⎣
⎦
2
S
S
p

p

Воспользуемся теперь приближенными граничными условиями Леонтовича на поверхности стенок резонатора

[nrErv ]
Wσ0 =

[[

r
0 r r
=
−
W
n
n
,
H
S
σ
v

µσ
ε a′ − j

σ
ων

]] S ,

≈ (1 + j )

(11.32)

µσ f vπ
,
σ

202

где: µσ - магнитная проницаемость стенок, σ - их удельная проводимость.
Подставляя (11.32) в (11.31), имеем

Pσ

v

=−

1 µσ f vπ
2
σ

∫(

r&
r&
H vn − H v

S

)

r&
1 µσ f vπ
H v*dS =
2
σ

∫ H vmτ
2

dS . (11.33)

S

Здесь Hvmτ - амплитуда касательной составляющей магнитной напряженности на стенке.
Используя (11.30) и (11.33), получаем
2

Qvσ =

ω vWv
Pσ v

ωv µa
µσ f vπ
σ

=

где: δ 0 = (π f v µσ σ )

1
−
2

2

∫ H vm dV

VP

∫

H v2τ m dS

=

2 µa

δ µσ
0

SP

∫ H vm dV p

VP

2
∫ H vτ m dS

,

(11.34)

SP

- глубина проникновения (по ослаблению в е раз) поля

1

в стенку, δ 0 = ∆ f v − 2 [Гц]. для идеально гладкой стенки ∆=66 мм для меди,
62 мм для серебра, 127 мм для латуни.
Структура формулы для собственной добротности (11.34) указывает на
то, что чем меньше область на стенках, занятая магнитным полем данного ν го колебания, тем выше добротность. Поэтому увеличить собственную добротность (и существенно) можно, «оттеснив» магнитное поле данного колебания от стенки либо поместив вблизи их диэлектрики с достаточно высоким
εa, либо за счет специальной конфигурации поверхности стенок (запирающие
четвертьволновые канавки).
Приведем вычисленные по формуле (11.34) омические добротности некоторых колебаний в резонаторах простейших форм с гладкими стенками.
1. H101 колебание в прямоугольном резонаторе

Qvσ =

(

)
) + 2b(a

µ a a bd a 2 + d 2

[ (

)]

.
+ d3
2. E110 колебание в прямоугольном резонаторе

Qvσ =

0

2

δ µσ ad a + d

2

(

)
) + 2b(a

3

µ a a bd a 2 + d 2

[ (

δ 0 µσ ad a 2 + d 2

3

+ d3

)].

3. E010 колебание в цилиндрическом круглом резонаторе

Qvσ =

µa a d
.
µσ δ 0 (d + a )
203

4. H011 колебание в цилиндрическом круглом резонаторе

Qvσ =

χ=

µab d
2
⎡
⎤
⎛ χ ⎞
0
δ µσ ⎢(2b − d )⎜ ⎟ + d ⎥
⎝ 2d ⎠
⎥⎦
⎣⎢

2
2

⎛ 1 ⎞ ⎛ µ 01 ⎞
⎟⎟
⎜ ⎟ + ⎜⎜
d
b
π
⎝ ⎠ ⎝
⎠

2

,

.

204

ГЛАВА XII
ВОЗБУЖДЕНИЕ ОБЪЕМНЫХ РЕЗОНАТОРОВ
СТОРОННИМИ ТОКАМИ
12.1 Постановка задачи
Пусть задан конечный объем V, ограниченный замкнутой проводящей
поверхностью S, характеризуемой комплексным поверхностным импедансом
W&σ . В объеме V заданы гармонические сторонние источники с плотностью
r&
r
стороннего электрического тока δ e = δ e0 (r )e jω t и магнитного тока
r
r
δ& m = δ m0 (r )e jω t (рис. 12.1)

Рис. 12.1.
Будем считать, что потерь в среде, заполняющей резонатор (объем V), нет,
среда однородна и изотропна, а также недисперсна. Эти условия можно записать в виде

I mε a = I m µa = 0,

ε a , µa ≠ f ( r ) ,

ε a , µ a ≠ f (ω ) .

(12.1)

Задача возбуждения резонатора может быть поставлена в виде следующей краевой задачи для неоднородных уравнений Максвелла

r&
r& r&
rot H = jωε a E + δ e ;
r&
r
rot E = − jωµa H − δ& m .

(12.2)

[nr , Er ] S = −Wσ [nr[nr , Hr ]] S

(12.3)

Решение краевой задачи (12.2), (12.3) естественно искать в виде разложения по собственным колебаниям того же резонатора без потерь (собственным функциям). Коэффициенты разложения можно определить на основе
проекционного метода Б.Г. Галеркина.

12.2 Свойства собственных функций резонатора

205

Собственные функции резонатора без потерь являются решениями однородной краевой задачи для уравнений Максвелла

r
r
rot H& k = jω k ε a E& k ;
r
r
rot E& = − jω µ H& .
k

[nr , Er& ]
k

k

S

a

(12.4)

k

=0.

(12.5)

Докажем некоторые свойства решений краевой задачи (12.4), (12.5).
1. Собственные значения (собственные частоты) ωk - вещественные
(ввиду граничного условия (12.5) задача - самосопряженная).
Применяя операцию rot ко второму уравнению (12.4) и используя первое уравнение, имеем

r
r
rot rot E& k = K k2 E& k , K k = ω k2 ε a µ a .

(12.6)

Умножим обе части (12.6) скалярно на E& k* :

r
r r
r
E& *k rot rot E k = k k2 E k E& *k .

(12.7)

Для преобразованной левой части (12.7) используем тождество

[

]

r
r
r r
r
r
E *k rot rot E k = div rot E& k , E *k + rot E k rot E *k .
Затем проинтегрируем обе части преобразованного уравнения (12.7) по
vp и воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса для первого члена слева. В результате получим

[

]

r r*
r 2
r 2
2
∫ rot E k , E k n dS + ∫ rot E k dV p = K k ∫ E k dV p .

S

Vp

Vp

В соответствии с граничным условием (12.5) для Ek* первый член оказывается нулевым, в результате чего имеем
r& 2
rot
E
dV
∫

K k2 = ω k2 ε a µ a =

Vp

r& 2
∫ E k dV

(12.8)

Vp

206

Поскольку в (12.8) правая часть вещественная и положительная, при
действительных и положительных εа, µа (что оговорено выше) получаем искомый результат: ωk - вещественны.
2. Собственные функции ортогональны в Vp с границей S.
Рассмотрим наряду с системой (12.4) для Ek, Hk комплексно сопряженную систему для собственных функций Eq* , H q* :

r
r
rot H& *q = − jω q ε a Е& *q ;
r
r
rot E& *q = jω q µ a H& *q .

(12.9)

Умножим обе части второго уравнения (12.9) скалярно на Hk, а первое
уравнение (12.4) - на - Eq* и сложим получившееся

[

]

r
r
r
r
r r
r r
r r
H& k rot E& *q − E& *q rot H& k = div H& k , E& *q = jω q µ a H& *q H& k − jω q ε a E& k E& *q . (12.10)
Проинтегрируем (12.10) по Vp с границей S. Применяя в левой части
теорему Остроградского-Гаусса и граничное условие для Eq* на S (12.5), имеем
r r
r r
ω q ∫ µ a H& k H& *q dV =ω k ∫ ε a E k E *q dV .
(12.11)
Vp

Vp

Аналогично, используя второе уравнение (12.4) и первое из (12.9), не
трудно получить

r r

r r

ω k ∫ µ a H k H *q dV =ω q ∫ ε a E k E *q dV .
Vp

(12.12)

Vp

Из системы (12.11), (12.12) находим

(ω

2
k

)

(

)

− ω q2 hkq = 0, ω k2 − ω q2 ekq = 0 ,

(12.13)

r r
r r
hkq = ∫ µ a H k H *q dV , ekq = ∫ ε a E k E *q dV .
Vp

Vp

При невырождении собственных колебаний идеального резонатора, т.е.
при ωq≠ ωk, из (12.13) следует свойство ортогональности собственных функций

hkq = ekq = δ kq N k ,

(12.14)

207

Nk =

2
2
∫ µ a H km dV p = ∫ ε a Ekm dV p > 0 ,

Vp

Vp

⎧0, k ≠ q ,
⎩1, k = q .

δ kq = ⎨

Далее Nk будем именовать нормой собственного колебания с номером K.
3. Собственные функции
r r соленоидальны.
Собственные функции E k′ , H k′ , для которых собственное значение ωk≠ 0,
r
r
являются, как нетрудно показать, соленоидальными, т.е. divE k′ = divH k′ = 0 .
Действительно, применяя операцию div к обеим частям уравнений (12.4) и
учитывая, что div rot A≡ 0, получаем

{

}

r

r

ω k ε a divE k = 0 , ω k µ a divH k = 0 .
Таким образом, те собственные функции, которые соответствуют собственным колебаниям идеального резонатора и для которых ω к ≠ 0 , являются соленоидальными.
Однако сторонние источники могут иметь структуру разомкнутых
электрических и магнитных токов (штыри, электронные сгустки, щели и
т.д.). В этом случае имеются сторонние электрические и магнитные заряды и
для искомых полей должны выполняться 3 и 4 уравнения Максвелла:

r ρe
r ρm
divE =
, divH =
.

εa

µa

(12.15)

r
r
r r
r r r
r
Представим искомые поля E и H в виде сумм E = E ′ + E ′′, H = H ′ + H ′′ , где
составляющие с одним штрихом-соленоидальные, с двумя-потенциальные.
Для них соответственно выполняются условия

r
r
divE ′ = 0, divH ′ = 0 ;
r
r
rotE ′′ = 0, rotH ′′ = 0 .
r
′′
E
Исходя
из
первого
и
второго
уравнений
Максвелла,
заключаем,
что
r
и H ′′ могут быть ненулевыми только при ω к = 0 , т.е. они описываются уравнениями электростатики и магнитостатики. Поэтому решения для них следует искать в виде

r
r
E ′′ = − gradφ e , H ′′ = − gradφ m .

208

Подставляя эти выражения в (12.15), получаем уравнения для потенциалов φ e и φ m

ρe
ρm
2 m
∇ φ =− , ∇ φ =−
,
εa
µa
∂φ
e
r
φ
= 0, ∂n
= 0.
S
S
2 e

(12.16)

Задача (12.16) имеет известные решения и на ней мы rбудем
r останавливаться.
Обратимся к расчету только соленоидальных полей E ′ , H ′ , которые в дальнейшем для упрощения будем записывать без штрихов.

12.3 Уравнение возбуждения резонатора

{

}

r r
r r
Система E k , H k - полная на множестве соленоидальных E ′ , H ′ в Vp.
Используя ее как базис в L2(V), представим искомые соленоидальные E, H в
виде

r
r
r
r
E& = ∑ A& S E& S , H& = ∑ B& S H& S .
S

(12.17)

S

Для определения коэффициентов A& S , B& S в (12.17) воспользуемся проекционным методом Галеркина. Заменим исходную систему (12.2) эквивалентной ей системой проекционных равенств

(∫ rotHr& − jωε Er& − δr )Er& dV = 0,
(∫ rotEr& + jωµ Hr& + δr )Hr& dV = 0, p = 1,2,... .
Vp

Vp

e

a

a

m

*
p

*
p

(12.18)

Непосредственно подставляя (12.17) в (12.18), однако, нельзя: ряды
(12.17) сходятся вблизи S неравномерно ввиду различия граничных условий
(12.3) и (12.5) и поэтому дифференциальные операторы rot к этим рядам неприменимы. Фактически с помощью рядов (12.17) ищется обобщенное решение краевой задачи (12.2), (12.3): граничные условия (12.3) удовлетворяются
в среднем (А.С. Ильинский, Г.Я. Слепян. Колебания и волны в электродинамических системах с потерями. Изд. Моск. университета, 1983). Для того,
чтобы обойти эту трудность, сделаем следующие преобразования в правых
частях (12.18):

r&
r& r&
r&
r& r&
E *p rot H = H rot E *p + div ⎡⎢ H , E *p ⎤⎥ ,
⎣
⎦

209

r&
H *p rot
r
rot E& *p =

r& r&
r&
r& r&
E = E rot H *p − div ⎡⎢ H *p , E ⎤⎥ ,
⎣
⎦
r& *
r& *
r
jω p µ a H p , rot H p = − jω p µ a E& *p ,

r r
⎡ H& , E& * ⎤dV =
div
∫ ⎢⎣ p ⎥⎦

r r r
r r&
⎡ H& , E& * ⎤ ndS
⎡ nr, E& * ⎤ HdS
=
−
∫ ⎢⎣ p ⎥⎦
∫ ⎢⎣ p ⎥⎦ = 0 ,

V

Sp

r r
⎡ H& * , E& ⎤dV =
div
∫ ⎣⎢ p ⎦⎥

r r r
r r
⎡ H& * , E& ⎤ ndS
& 0 ⎡ nr ⎡ nr , H ⎤ ⎤ H& * dS .
W
=
σ ∫ ⎣ ⎣
∫ ⎣⎢ p ⎦⎥
⎦⎦ p

V

Sp

Sp

Sp

Таким образом, дифференциальные операции над рядами (12.17) исключаются, и мы приходим к следующей системе линейных алгебраических
уравнений для определения A& p , B& p (используется свойство ортогональности
(12.14)):

jω p N p B& p − jω N p A& p = V pe ,

(12.19)

− jω р N p A& p + jω N p B& p + ∑ S sp B& S = −V pm ,
S

r r
r r
V pe = ∫ δ e E& *p dV , V pm = ∫ δ m H& *p dV ,
Vp

Vp

r r
S sp = W&σ0 ∫ H& sτ H& *pτ dS .
S

Исключая из (12.19) A& p , получаем систему связанных уравнений относительно B& p :

j⋅

ω 2p − ω 2
ω

B& p N p − ∑ S SP B& S = V pm +
S

ωp
ω

V pe ,

(12.20)

ω
V pe
p
A& p =
B& + j
, p = 1, 2, ... .
ω p
ω Np
Введем величину собственной омической добротности p-колебания резонатора Qp:

210

2

∫ µ a H pm dV

ωp

Qp =

Vp

ReWσ0

=

2
∫ H pτ m dS

ωpN p
Re S pp

.

(12.21)

S

Аналогично определим «взаимную» добротность колебаний p и s как
2

Qsp =

ωpNp
Re S sp

=

∫ µ a H pm dV

ωp

Vp

Re Wσ ∫ H sτ H *pτ
S
0

dS

.

Учитывая, что волновое сопротивление металлической стенки при достаточно большой проводимости σ может быть представлено как

W&σ0 =

µσ

σ⎞
⎛
⎜ ε aσ − j ⎟
ω⎠
⎝

µσ ω
= (1 + j )Z 0 ,
2σ

≈ (1 + j )

r r
0
0
запишем S& sp = (1 + j ) S sp
, S sp
= Z 0 ∫ H& sτ H& *pτ dS .
S

Тогда можно ввести комплексные величины

Q& −p1

= Q p−1

(1 + j ),

Q p−1

=

−1
−1
(1 + j ), Qsp−1 =
Q& sp
= Qsp

S 0pp

ωpN p
0
S sp

ωpN p

,

.

Теперь система уравнений связанных вынужденных колебаний (12.20)
принимает вид

(

)

(

)

−1
(1 + j ) B& s = ω V pm + ω p V pe N −p1 , (12.22)
j ω 2p − ω 2 B& p − ∑ ω ω p Qsp

A& p =

S

ωp
V pe
&
B + j
, p = 1, 2, ... .
ω p
ω Np

−1
В случае, когда ω ≈ ωp (условия резонанса) и при очень малых Qsp
(хорошая проводимость стенок) можно считать все B& s пренебрежимо малыми

211

по сравнению с B& p . Тогда система (12.22) редуцируется к одному уравнению
для колебания с s=p. Ee решение имеет вид
ω V pm + ω p V pe
&
Bp = − j 2
,
ω p − ω 2 + ω ω p ( j − 1)Q −p1 N p

[

A& p = − j

]

[

]
]N

ω р V pm + ω − ω p ( j − 1)Q −p1 V pe

[ω

2
p

− ω 2 + ω ω p ( j − 1)Q −p1

.

(12.23)

p

Из (12.23) следует, что точный резонанс имеет место при
2

ω +

ωω p
Qp

− ω 2p

= 0 , т.е. резонансная частота ω 0 =

ω 2p

−

ω 2p
4Q 2p

−

ωp
2Q p

≈

⎛
1 ⎞⎟
≈ ω p ⎜1 −
.
⎜ 2Q p ⎟
⎝
⎠
Полученный результат (12.23) и его следствия существенно отличаются от приведенных в известных (В.В. Никольский, Т.И. Никольская. Электродинамика и распространение радиоволн. -М.: Наука, 1989; Б.З. Каценеленбаум. Высокочастотная электродинамика. -М.: Наука, 1966; Г.Т. Марков,
Б.М. Петров, Г.П. Грудинская. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: «Сов. радио», 1979; В.И. Вольман, -М. Связь, 1971, частично Л.А.
Вайнштейн. Электромагнитные волны. М.: Радио и связь, 1988) и др. учебниках.
Дело в том, что в имеющихся учебниках задача возбуждения резонатора ставится некорректно как задача возбуждения идеального резонатора (т.е.
в отсутствие потерь). При этом нарушаются условия теоремы единственности. Полученный результат «обобщается» путем замены вещественной собственной частоты исходной самосопряженной краевой задачи на комплексную собственную частоту (см. главу XI) реального колебания с потерями.
Естественно, при такой замене комплексный характер импеданса стенок игнорируется и смещение частоты собственного колебания по отношению к
идеальному (при нулевом импедансе) случаю за счет реактивной части импеданса оказывается не учтенным, как и другие сопутствующие эффекты.
Полученные нами уравнения возбуждения (12.20) и формулы (12.23)
соответствуют исходной задаче (12.2), (12.3) и относятся к случаю возбуждения автономного (ненагруженного) резонатора. Такие случаи встречаются в
технике СВЧ: холостые резонаторы в группирователях клистронов, гироклистронов, гироконов, гиротонов, параметрических усилителей и т.д.; стабилизирующие резонаторы электронных и твердотельных генераторов, резонаторы специальных фильтров СВЧ и т.д. Однако в общем случае резонаторы
связаны с внешней нагрузкой, т.е. нагружены. Нагрузку в принципе можно
учесть в интегралах Ssp в (12.19) как излучение через часть поверхности сте-

212

нок резонатора S. На этой части, соответствующей окну связи с нагрузкой,
можно также ввести поверхностный импеданс W& н0 . В этом случае структура
полученных уравнений возбуждения не изменяется, однако внешняя добротвн
ность Qsp
войдет в общем случае уже в другой комбинации, чем собственная
W& 0
Qsp. В случае, когда согласование с нагрузкой выполнено так, что н = c , где
W&σ

c - действительная функция S, в формулах (12.23) можно заменить Qp (омическую добротность) на Q нp (нагруженную добротность) и тем учесть связь
резонатора с внешними цепями. В общем случае нужно отдельно учесть
влияние излучения в нагрузку и через каустику, что можно сделать, разделив
0
в интеграле Ssp поверхности с W&σ , W& н0 , W& каустики
.
Проанализируем содержание формул возбуждения (12.23). Частотная
зависимость амплитуд B& p и A& p имеет явный и достаточно простой характер.
Резонанс имеет место, как указывалось ранее, при ω 0 =

ω 2p

−

ω 2p
4Q 2p

−

ωp
2Q p

.

Таким образом, для расчета резонансной частоты достаточно знать собственную частоту эквивалентного идеального резонатора ωp и добротность колебания Qp. Зависимости же B& p (ω ) и A& p (ω ) вблизи ω0 имеют вид резонансных кривых обычного колебательного контура.
Кроме частотного резонанса, существует и пространственный резонанс, выражаемый интегралами V pe и V pm : V pe = ∫ δ& e E& *p dV , V pm = ∫ δ& m H& *p dV .
Vp

Vp

Структура V pe и V pm указывает на то, что пространственному резонансу
r&
r& r
r
соответствуют условия: δ e E 0p , δ m H 0p . Используя пространственный резонанс, можно селективно возбуждать требуемый вид колебания, не возбуждая другие (паразитные). Иногда для достижения этой цели необходимо использовать несколько возбуждающих элементов, определенным образом фаr
r
зируя в них δ e и δ m , так, чтобы полные Vke и V pm для паразитных колебаний
обращались в нуль.

12.4. Способы возбуждения резонаторов
Рассмотрим некоторые типичные схемы возбуждения резонаторов.

213

1. Возбуждение коротким штырем (рис. 12.2)

Рис. 12.3.
2. Возбуждение квазистационарной петлей (рис. 12.3)
Пусть L<<λ и амплитуду возбуждающего линейного тока j em вдоль
штыря можно считать постоянной. Тогда

V pm

= 0,

V pe

L r
r& e r 0
r
cm
= ∫ δ E p dV p = J ∫ E 0p d l = J cmU& эфф p .
Vp

0

Пусть S<<λ2. Тогда J&cm постоянен вдоль всей длины l петли. В этом
случае

r r
r r
r r
V pm = 0 , V pl = ∫ δ e E 0p dV p = J& cm ∫ E 0p d l = J& cm ∫ rotE 0p dS =
l
Vp
Sпетли
r0 r
cm
cm
= − jJ& ω p ∫ µ a H p dS = − jJ& ω pФ рм ,
Sпетли

где Ф рм - магнитный поток р-го колебания через площадь петли Sпетли.
При выводе конечного результата использовалась теорема Стокса и уравнеr
r
ние для собственных функций: rotE 0p = − jω p µ a H 0p .
Полученный результат показывает, что уровень возбуждения данного

Рис. 12.2.

Рис. 12.4.
214

р-го вида колебаний можно регулировать поворотом петли, изменяя величиr r
ну Ф рм . Максимум Ф рм достигает при n H 0p .

Рис. 12.5.
3. Возбуждение узкой щелью (рис. 12.4)
В этом случае

[

]

r& r
r
r r
V pe = 0 , V pm = ∫ δ m H 0p dV p = − ∫ n , E& cm H 0p dS щели .
Vp

Sщели

Здесь E& cm - сторонняя напряженность электрического поля в плоскости щели, создаваемая источником через подводящий волновод.
Примеры расположения возбуждающих элементов для некоторых типов колебаний в цилиндрическом круглом резонаторе приведены на рис.
12.5.

215

ЧАСТЬ 4
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ В СВОБОДНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
ГЛАВА XIII
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ЭЛЕМЕНТАРНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ИЗЛУЧАТЕЛЯ В СВОБОДНОМ ПРОСТАНСТВЕ
13.1. Расчет полей с помощью электрического вектора Герца
Будем исходить из уравнения Гельмгольца для электрического вектора
r& e
Герца Π

r&
r&
r
∇ 2Π e + k 2Π e = − p& ст / ε a .

(13.1)

r& e
r
Здесь Π
- комплексный электрический вектор Герца, p& ст - комплексный
вектор сторонней поляризованности, k = ω µa , ε a - волновое число в свободном пространстве, ε a , µa - соответственно диэлектрическая и магнитная
проницаемости среды. Для простоты дальнейшего анализа будем считать,
что диэлектрических, омических и магнитных потерь в среде нет, т.е. ε a , µa действительные величины (в противном случае достаточно ввести комплексные параметры среды ε a , µa ).
Полагая пространство неограниченным, однородным и изотропным,
проинтегрируем (13.1). При этом получим для произвольной точки наблюдения А:

r&
Π e ( A) =

1

4πε a V∫∫∫
ист

r
p& стe − jkr
dVист .
r

(13.2)

r
Здесь Vист - объем источников (где p& ст ≠ 0 ).
Пусть источником электромагнитного поля является элементарный
электрический излучатель (ЭЭИ). Под ЭЭИ будем понимать отрезок
r r линейст
ного тока I& длиной l , причем l << λ = 2π / k . Положим, что l = z 0 l . Заряды на концах отрезка g& ст связаны с I& ст в соответствии с законом сохранения заряда соотношением
ст
&I ст = dq& = jωq& cт
dt

или

q& ст = I& cт / jω .

(13.3)

216

Таким образом, ЭЭИ представляет собой элементарный электрический диполь с дипольным моментом

r& cт r ст r lI& ст
p = z0 lq& = z0
.
jω

(13.4)

Такой диполь создает в пространстве стороннюю линейную поляризованность
r
r
r I&ст
.
(13.5)
p& lст = p& ст / l = z0
jω
При такой структуре источника интеграл в формуле возбуждения (13.2)
преобразуется из объемного в линейный:

r
∏e ( A ) =

r
p& lст e − jkr
dl .
∫
4πε a 0
r
1

l

(13.6)

Далее будем рассматривать источник как точечный, т.е. будем считать,
что r>> l . Тогда (13.6) преобразуется к виду

r
r& e
z0 lI&ст e− jkr
∏ ( A) =
.
jω 4πε a r

(13.7)

Используя (13.7), определим магнитное поле излучателя:

re
r&
H = jωε a rot (∏ ) .

(13.8)

Для расчета полей ЭЭИ воспользуемся сферической системой коордиr
нат. Оператор rot( A ) в криволинейной системе координат удобно представить в виде определителя, разлагаемого по первой строке:

r
e1
h2 h3

r
e1
h1h3

r
e1
h1h2

r
rot ( A) = ∂ / ∂g1 ∂ / ∂g 2 ∂ / ∂g3 .
h1 A1

h2 A2

(13.9)

h3 A3

r r r
Здесь e1 , e2 , e3 - координатные единичные векторы ортогональной криволинейной системы координат g1, g 2 , g3 ; h1, h2 , h3 - соответствующие метрические
r r r
коэффициенты Ламэ; А1, А2 , А3 - проекции вектора А на e1 , e2 , e3 соответст217

венно. В сферической системе координат g1 = r , g 2 = θ , g3 = ϕ (r - расстояние
от источника до точки наблюдения А, θ - меридианный угол,ϕ - азимутальr r r
r r r
ный угол). Соответственно e1 = r0 , e2 = θ 0 , e3 = ϕ 0 , h1 = 1, h2 = r , h3 = r ⋅ sin θ .
Введем для удобства величину

r& r I& ст l e − jkr r
Π = z0
= z0 Π& .
4π
r

(13.10)

Теперь (13.8) принимает вид

r&
r
H& = rot ∏ ,

(13.11)

причем в сферической системе координат

r
r& r
& sin θ .
& = rr0Π
& cosθ − θ 0Π
Π
= z0 Π

(13.12)

Используя (13.9), (13.11), (13.12), имеем

r
r
r
θ0
ϕ0
r0
2
r sin θ
r
r r sin θ
r
H = ∂ / ∂r
∂ / ∂θ
0 = ϕ0 H& ϕ .
Π& cosθ − rΠ& sin θ 0

(13.13)

Производя заданные операции в (13.13), получаем

∂ &
1
∂
I& cm l 2 j
1
&
&
)e − jkr sinθ (13.14
k ( +
( Π cos θ )] =
H ϕ = [ − ( rΠ sinθ ) −
2
∂θ
kr ( kr )
∂r
4π
r
Перейдем теперь к расчету электрического поля ЭЭИ. Для этого воспользуемся первым уравнением Максвелла

r&
r&
rotH = jωε a E или
r&
E=

1
jωε a

r&
rotH .

(13.15)

Для удобства записи введем переменную H& ′ :

218

H& ′ =

j
I& cm lk 2 1
&
( − 2 )e − jkr sin 2 θ .
r sinθ ⋅ H ϕ =
4πωε a k k r
jωε a
1

r
r
r0
θ0
2
r& r sin θ r sin θ
E = ∂ / ∂r
∂ / ∂θ
0
0

(13.16)

r

ϕ0
r
0
H′

r
r
= r0 E& r + θ 0 E&θ .

(13.17)

Производя определенные в (13.17) действия, находим

E& r =

1
j
∂H& ′ I& cm lk 3
(
=
−
)e − jkr cos θ ,
2
2
3
2πε aω ( kr )
r sinθ ∂θ
( kr )

E&θ = −

1

1
j
1 ∂H& ′ I& cm lk 3 j
− jkr
=
( +
−
)
e
sinθ .
r sinθ ∂r
4πε aω kr ( kr )2 ( kr )3

(13.18)

(13.19)

Таким образом, ЭЭИ имеет три компоненты электромагнитного поля:
&
H ϕ .(13.14), E& r (13.18), E&θ (13.19).

13.2. Анализ поля ЭЭИ в квазистатической (ближней) зоне
Рассмотрим структуру поля ЭЭИ в квазистатической
зоне, когда выr
r
полняется условие kr → 0 , т.е. запаздывание E и H относительно Icn отсутствует: e− jkr → 1 . Естественно, остается исходное условие: r>> l .
1
Оставляя главные (наибольшие по величине
) члены в формулах
kr
(13.14), (13.18), (13.19), имеем

r r
I&cml sin θ
H& = ϕ 0 H& ϕ , H& ϕ =
.
4π r 2

(13.20)

Перепишем (13.20) в следующей форме:

r
r& I& cm [l , rr ]
.
H=
4πr 3
r
Формула (13.20) выражает закон Био-Савара для элемента l проводника с током I& cm .

219

r
Аналогично для электрического поля E& находим в пределе kr → 0 :
jI&cml cosθ &
I&cml sin θ
&
Er = −
, Eθ = − j
.
2πε aω r 3
4πε aω r 3
Преобразуем

−

jI& cm

ω

(13.21),

учитывая,

(13.21)

что

−

jI& cm

ω

I& cm
=
= q& cm
jω

и

l = q& cm l = P& cm . При этом получим

P& cm cosθ &
P& cm sin θ
&
Er =
, Eθ = − j
.
2πε a r 3
4πε a r 3

(13.22)

Формулы (13.22) определяют электрическое поле электрического диполя
P& cm .
r
Сравнивая (13.20) и (13.21), заключаем, что Hϕ и E& 2 , E&θ сдвинуты по
π /2

фазе на π/2 (различие в множителе − j = e − ), т.е. это чисто реактивные поля, определяющие реактивную нагрузку ЭЭИ. Делая такой вывод, необходимо не забывать, что поля (13.20) и (13.21) являются главными составляющими поля ЭЭИ в ближней зоне, но не единственными. При их записи мы от1
бросили малые составляющие порядка
, которые, однако, тоже присут(kr )
ствуют в ближней зоне и представляют, как будет видно из дальнейшего анализа, поля излучения ЭЭИ.

13.3. Анализ поля ЭЭИ в волновой (дальней) зоне
Рассмотрим теперь структуру поля ЭЭИ на достаточно больших рас2π
1
стояниях от излучателя, когда kr =
r >> 1 . Теперь, поскольку
- малая
λ
(kr )
величина, главными (наибольшими) составляющими, как следует из решений
(13.14), (13.18), (13.19), будут H& ϕ и E&θ , которые выражаются следующим
образом:

r&
I&cmlk 2 j − jkr
Hϕ =
e
sin θ ,
4π kr

(13.23)

I&cmlk 3 j − jkr
&
Eθ =
e sin θ .
4πωε a kr

(13.24)

220

Обратим внимание на то, что поля H& ϕ (13.23) и E&θ (13.24) синфазны. Кроме
того, обе компоненты нормальны к r.
I& cm lk & jωt
Обозначим j
= Am e . Тогда
4π

sin θ j( ωt −kr )
H& ϕ = Am
e
,
r

(13.25)

µ a sin θ j( ωt −kr )
E&θ = A& m
e
.
εa r

(13.26)

Проанализируем свойства полей H& ϕ , E&θ в дальней зоне.
1. Поля, как указывалось выше, синфазны и их фаза Φ = ωt − kr . Если
положить t=const (мгновенное распределение поля), то Φ = const соответствует r=const, т.е. поля в дальней зоне образуют сферическую волну. Определим фазовую скорость этой волны. Представим Φ = ωt0 + ωτ − kr . Здесь t0 –
момент начала наблюдения, τ = t − t 0 . Положим, что мы перемещаемся вдоль
r со скоростью v. Тогда τ = r / v и фаза, которую мы наблюдаем

Φ = ω t0 +

ω

r − kr . Если бы мы перемещались со скоростью v, равной фазоv
вой скорости волны vф, то фаза поля, которую мы наблюдаем, оставалась бы
постоянной, т.е. Φ = ωt0 = const . Тогда Φ = ωt0 +
дим к результату k =

ω
vф

или vф =

ω
k

ω

vф

r − kr = ωt0 и мы прихо-

= 1/ ε a µa .

2. В пространстве без потерь, которое мы рассматриваем, E и H убывают с увеличением расстояния от точечного ЭЭИ как 1/r.
3. Излучение ЭЭИ неизотропно: Е,Н пропорциональны sin θ. Для характеристики неизотропности излучателей вводится угловая характеристика
E (θ )
= sin θ .
– диаграмма направленности: F (θ ) = θ
Eθ max
4. Введем понятие волнового сопротивления пространства W0:

W0 =

E& t
µa
=
.
εa
H& t

(13.27)

Здесь E& t , H& t - поперечные к направлению распространения компоненты волны, в данном случае E&t = Eθ , H& t = H& ϕ .

221

Подсчитаем теперь мощность излучения ЭЭИ. Для этого вначале определим вектор Пойнтинга для поля излучения ЭЭИ:

r& 1 r& r&
1 r r & & * I m2 (l / λ ) 2W 0 r
S0 = [ E , H *] = [θ 0 ,ϕ 0 ]Eθ Hϕ =
r0 sin 2 θ .
2
2
2
8r

(13.28)

Для подсчета полной мощности излучения ЭЭИ воспользуемся следующей схемой. Окружим точечный ЭЭИ сферой радиуса r c центром в точке расположения ЭЭИ. Элемент поверхности сферы может быть определен
r r
r
r
как ds = r0 hϕ hθ dϕdθ = r0 r 2 sin θdϕdθ ( r0 - вектор внешней нормали). Тогда
полная мощность излучения ЭЭИ рассчитывается как

r& r I m2 (l / λ ) 2W 0 π 2π 3
π
P∑ = Re ∫ s0ds =
sin θ dϕdθ = I m2 (l / λ ) 2W 0 .
∫
∫
8
3
s
0 0

(13.29)

Сделаем здесь следующее необходимое замечание. Если использовать
r&
полные выражения для полей (13.14), (13.19), мы получим те же формулы S0
r&
и P∑ , т.е. (13.28) и (13.29). Таким образом, полученные значения S0 и P∑ не
есть следствия приближения kr>>1. Они остаются теми же при любых kr, в
частности, в ближней зоне. Поскольку же P∑ не зависит от kr, мы получаем
важный вывод: мощность излучения постоянна в пространстве вокруг ЭЭИ
независимо от r, т.е. в любой зоне. Следовательно, в установившемся гармоническом процессе излучения, который мы рассматриваем, нет каких-либо
специальных зон, где формируется излучение («зон индукции», как говорится в некоторых учебниках и как считал Герц) и где его еще нет; излучение
непрерывно в пространстве. Пользуясь этим, введем понятие о сопротивлении излучения P∑ отрезка проводника l c током I&cт аналогично тому, как
вводится обычное сопротивление, характеризующее джоулевы потери

P∑ =

π

1
I m2 (l / λ ) 2W 0 = I m2 R∑ .
3
2

Отсюда следует формула R∑ :

2
R∑ = π (l / λ ) 2W 0 .
3

(13.30)

Если среда по своим свойствам близка к пустоте (например, атмосфера), то W 0 =

µ0
= 120π [Ом] тогда
ε0

222

R∑ = 80π 2 (l / λ ) 2 [Ом] .

(13.31)

При использовании формул (13.30), (13.31) не следует забывать, что
они справедливы лишь при l / λ << 1 , т.е. только для ЭЭИ. Поля и P∑ сложных распределенных излучателей (антенн) могут быть найдены по заданному
распределению I&ст (e) путем интегрирования полей ЭЭИ или использования
r& e
исходной формулы (13.6) для Π
( A) .
Следует также отметить, что для распределенных излучателей меняется и понятие ближней и волновой зон, поскольку фронт излучаемой такими
излучателями волны формируется на расстояниях r>D, где D – максимальный размер антенны.

223

ГЛАВА XIV
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ЭЛЕМЕНТАРНОГО МАГНИТНОГО
ИЗЛУЧАТЕЛЯ (ЭМИ)
14.1. Расчет поля ЭМИ
Как указывалось в первой части, во многих задачах возбуждения электромагнитных полей целесообразно введение фиктивных магнитных зарядов,
токов и диполей. Так, рамка со сторонним током I&ст при условии, что ее
площадь S << λ2 является элементарным магнитным излучателем (ЭМИ) с
r
магнитным моментом M& , связанным с I&ст следующим образом:

r
r& r
M = nsµa I&ст = q& ml .

(14.1)

r
Щель в металлической стенке, возбуждаемая E& ст , при l << λ также является
ЭМИ.
Поле ЭМИ можно рассчитать с помощью магнитного вектора Герца
r& m
Π . Однако проще воспользоваться свойством перестановочной двойственности уравнений Максвелла (см. первую часть). В соответствии с этим свойством при записи формул для составляющих поля ЭМИ следует воспользоваться соответствующими формулами (13.14), (13.18), (13.19) для полей
ЭЭИ, сделав в них следующие переобозначения переменных:

H& ϕ → E&ϕ ; E& r → H& r ; E&θ → H& θ ; P&zстl / jω → − M& zст = − SI&cт µa .

(14.2)

Проводя замены (14.2) в формулах (13.14), (13.18), (13.19), получаем
формулы для составляющих поля ЭМИ:

1
jωSI& cт µak 2 j
)e − jkr sinθ ,
( +
E& ϕ = −
2
kr ( kr )
4π

(14.3)

jSI& cт k 3
1
j
&
Hr =
(
−
)e − jkr cos θ ,
2
3
2π
( kr )
( kr )

(14.4)

jSI& cт k 3 j
1
j
− jkr
&
Hθ =
( +
−
)
e
sinθ .
4π
kr ( kr )2 ( kr )3

(14.5)

224

14.2. Анализ поля ЭМИ в квазистатической (ближней) зоне
Рассмотрим случай kr<<1, e − jkr ≈ 1 . В таком пределе получаем из
(14.3)

jωSI& cт µ a sinθ
.
E& ϕ = −
2
4π
r

(14.6)

Формула (14.6) выражает квазистатическую часть E&ϕ рамки с током

I&m .
Выделяя таким же образом главные (по величине) члены в (14.4) и
(14.5), имеем:

SI&cт cosθ &
SI&cт sin θ
&
Hr =
, Hθ =
.
2π r 3
4π r 3

(14.7)

Поля (14.7) представляют собой квазистатическую часть полного магнитного поля ЭМИ и соответствуют стационарному полю магнитного диполя.
Существенно отметить, что поля E&ϕ (14.6) и H& r , H& 0 (14.7) сдвинуты по
−j

π

фазе на π/2 ( E&ϕ имеет множитель − j = e 2 ), т.е. это поля – чисто реактивные и к полю излучения отношения не имеют.

14.3. Анализ поля ЭМИ в волновой (дальней) зоне
Рассмотрим теперь противоположный случай, когда kr>>1 и поле приобретает волновой характер. Главные по величине составляющие поля ЭМИ
теперь имеют следующий вид:

ω SI&cт µa k e − jkr
E&ϕ =
sin θ ,
r
4π
SI&cт k 2 e − jkr
&
Hθ = −
sin θ .
r
4π

(14.8)
(14.9)

SI& cт k 2
&
Введем комплексную амплитуду магнитного поля A =
. Тогда
4π
e
E&ϕ = A& mW 0

j (ωt − kr )

r

sin θ ,

(14.10)

225

e
H& θ = − A& m

j (ωt − kr )

r

sin θ .

(14.11)

Анализ формул (14.10), (14.11) приводит к выводам того же характера,
что и при анализе полей в волновой зоне ЭЭИ:
1) поля Е и Н синфазны и образуют структуру сферической волны, расr
пространяющейся в направлении r0 от источника с фазовой скоростью

vф = ω / k = 1 / ε a µ a ;
2) в пространстве без потерь Е и Н убывают пропорционально 1/r;
3) излучение ЭМИ неизотропно, диаграмма направленности F(θ)=sinθ;
4) отношение E& и H& равно волновому сопротивлению W 0 = µ a / ε a .
Составим вектор Пойнтинга для поля излучения ЭМИ (14.10), (14.11):

r&
1 r& r&
1 r r & & * r I m2 π 2 ( S / λ2 )2 W 0
sin 2 θ .
S 0 = [ E , H *] = − [ ϕ 0 ,θ 0 ] Eϕ H θ = r0
2
2
2
2r

(14.12)

Как и в случае ЭЭИ для подсчета полной мощности излучения ЭМИ,
r&
найдем поток Re S0 через сферу радиуса r с центром в точке расположения
ЭМИ. Тогда получим

r& r I m2 π 2 ( S / λ2 )2 W 0 π 2π 3
P∑ = Re ∫ S 0 ds =
∫ ∫ sin θdϕdθ =
2
0 0
s
.
4 3
= π ( S / λ2 )2 I m2 W 0
3

(14.13)

Вводя, как и ранее, сопротивление излучения RΣ рамки с током Iст, получаем
4
1
P∑ = π 3 ( S / λ2 ) 2 I m2W 0 = I m2 R∑ ,
3
2
8
R∑ = π 3 ( S / λ2 ) 2W 0 .
(14.14)
3
В случае возбуждения волны в атмосфере или пустоте W 0 = 120π [Ом]
и

P∑ = 320π 4 ( S / λ2 ) 2 [Ом}.

(14.15)

226

ГЛАВА XV
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ИСТОЧНИКИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
При расчете электромагнитных полей часто удобно прибегать к декомпозиции задачи: сложный исследуемый электродинамический объект подразделяется на независимо анализируемые части, или автономные блоки. Эти
блоки разделяются некоторыми заданными поверхностями, на которых задаются эквивалентные граничные условия, которые позволяют после решения краевой задачи для автономных блоков синтезировать решение общей
(исходной) задачи. Один из способов согласования решений в отдельных подобластях - введение системы эквивалентных источников на граничных поверхностях. Например, стоит задача расчета поля излучения рупорной антенны (или рупорного облучателя антенны). Очевидно, задача возбуждения
ЭМП от заданного распределения сторонних источников в рупоре является
самостоятельной, довольно детально разработанной задачей. Поэтому можно
r r
считать, что поле E 0 , H 0 на плоскости S раскрыва рупора известно (можно
ввести в качестве границы не плоскость, а, например, участок сферической
или эллипсоидальной поверхности, если это повышает точность представления граничных полей). Тогда для расчета поля излучения рупора удобно ввести на S эквивалентные источники ЭМП, определяемые через значения
r r
E 0 , H 0 на S по следующей схеме.
Если заменить поверхность раскрыва рупора идеально проводящей поr
верхностью, то для задания на этой поверхности H 0 следует в соответствии с
известными граничными условиями (глава, первая часть курса) ввести эквиr
валентную поверхностную плотность тока δ se :

r

r r

δ se = [n, H 0 ]/ s ,

(15.1)

r
n - внешняя нормаль к S.
r
Для замены E 0 следует ввести на S эквивалентную поверхностную
r
плотность магнитного тока δ sm , используя свойство перестановочной двойственности уравнений Максвелла:
r

r r

δ sm = −[n, E 0 ]/ s .

(15.2)

С другой стороны, для гармонических источников имеем:

r
∂p cm
r
δs =
= jωp& cm ,
∂t
r& e

(15.3)

227

r& m

δs

r
r
∂J cm
=
= jωJ& cm .
∂t

(15.4)

r
r
Здесь p& cm и J& cm соответственно сторонние поляризованность и намагниченr
r
ность на S. Таким образом, на S заданы p& cm и J& cm эквивалентных источников следующим образом:

r r
r& cm
[n, H 0 ]
=
p
,
s
jω s

(15.5)

r r
r& cm
[n, E 0 ]
=−
J
.
s
jω s

(15.6)

r
r
Теперь можно использовать решения для Π& l ( A ) и Π& m ( A ) типа (13.2)
из главы XIII данной части курса:
r& l
( A) =
Π

1
4π jωε a

r r&
[n , H 0 ]e − jkr ds
,
∫∫
r
s

(15.7)

r& m
Π
( A) =

−1
4π jωµ a

r r&
[n , E 0 ]e − jkr ds
.
∫∫
r
s

(15.8)

Здесь r – расстояние от элемента поверхности ds до точки наблюдения
r r
r
r
А. Используя известные формулы связи E , H с Π l и Π m (cм. Главу V
первой части), получаем следующие общие выражения для полей излучения
исследуемой антенны:

r&
r
r
r
E = k 2Π l + graddivΠ l − jωµa rotΠ m ,

(15.9)

r&
r
r
r
H = k 2Π m + graddivΠ m + jωε a rotΠ l .
(15.10)
Дифференцирование в (15.9), (15.10) производится по координатам точки наблюдения А.

228

ГЛАВА XVI
ПЛОСКИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
16.1. Определение плоских электромагнитных волн

r
Плоскими
называются
электромагнитные
волны,
в
которых
векторы
Е
r
и Н нормальны к направлению распространения z, зависят только от z и не
зависят от поперечных к z координат q1, q2 (x, y, например).
Между тем, как следует из материалов глав XIII, XIV, поля элементарных источников в волновой зоне представляют собой сферические волны,
расходящиеся от источников в свободном пространстве.
Плоскую волну можно рассматривать как некоторое приближение
структуры сферической волны в конечном объеме, достаточно удаленном от
источника. Геометрические характеристики такого объема V представлены
на рис. 16.1.

Рис. 16.1.
Для определенности рассмотрим электромагнитное поле элементарного
электрического излучателя (ЭЭИ), расположенного при r=0 в сферической
системе координат r , θ , ϕ , как это указано на рис. 16.1. Рассматриваемый конечный объем V расположен на расстоянии r0 от источника, внутри V r=r0+z,
угловое расхождение по максимальным поперечным размерам V равно ∆θ .
Поля источника в области V в сферической системе координат, как было установлено в главе XIII, для волновой зоны могут быть записаны как

E&θ = A& W 0 e − jkr sinθ / r ,
(16.1)

H& ϕ = A& e − jkr sinθ / r
Положим теперь, что поперечные размеры V настолько ограничены,

что

∆θ
→ 0 , а удаление V от источника настолько велико (а длина его L наθ0

229

столько ограничена), что L<<r0. Но в то же время будем предполагать, что
L>> λ , т.е. kz – величина большая.
При указанных условиях

sinθ sinθ 0
≈
, kr = kr0 + kz
r
r0
Используя приближение (16.2) в формулах (16.1), положим
− jkr0
&A e
sinθ 0 = A& 0 e jωt
r0

(16.2)

(16.3)

При обозначении (16.3) с учетом (16.2) из (16.1) получаем следующее
приближение для V:

E&θ = A& W 0 e j( ωt −kz ) ,
(16.4)

H& ϕ = A& e j( ωt −kz )
В дальнейшем для описания плоских волн в V удобно ввести прямоугольную систему координат и переобозначить в (16.4): Е&θ = Е& Х , Н& ϕ = Н& У .
Тогда мы приходим к обычной записи компонент плоской волны в координатах x, y, z:

E& Х = A0W 0 e j( ωt −kz ) ,
(16.5)

H& У = A0 e j( ωt −kz )
Поля Е& Х , Н& У , определяемые формулами (16.5) полностью соответствуют определению плоской волны с амплитудой А0.
Нетрудно убедиться прямой подстановкой решений (16.5) в уравнения
Максвелла, что они этим уравнениям удовлетворяют, т.е. приближение плоской волны вполне реально.

16.2. Плоские волны в однородной изотропной среде без потерь.
Поляризация плоских волн
В рассматриваемом случае электрические и магнитные параметры среды ε а и µ а - действительные, постоянные (не зависящие от координат) и
скалярные (не тензоры) величины. Поэтому волновое число k имеет только
фазовую постоянную β , постоянная затухания α равна нулю:

230

k = ω ε a µa = β =

ω
2π
=
,
λ
υ cp
(16.6)

υ cp = 1

ε a µa

, λ = υ cpT = T

ε a µa

Запишем теперь (16.5) в векторной форме

r r
E& = x0 A0W 0 e j( ωt −kz )
(16.7)

r r
H& = y0 A0 e j( ωt −kz )

r
Формулы (16.7) определяют плоскую волну, вектор E в которой при
любых t, z колеблется в плоскости xz. Такая волна называется
линейно поляr
ризованной, а плоскость, в которой расположен вектор E (в рассматриваемом случае – плоскость xz) называется плоскостью поляризации плоской
электромагнитной волны. При распространении волны у земной поверхности
r
плоскости поляризации обычно называют горизонтальной (вектор E параллелен горизонту) и вертикальной, если плоскость поляризации нормальна
горизонту. В дальнейшем будем придерживаться такой терминологии.
В общем случае плоская волна представляет собой суперпозицию волн
вертикальной и горизонтальной поляризаций:

r r
r
Е& = x0 А& В е − jkz + y0 A& Γ e − j( kz +α )

(16.8)

Здесь A& B = AB0 e jωt - комплексная амплитуда вертикально поляризованной
волны, А& Г = АГ0 е jωt - комплексная амплитуда горизонтально поляризованной
волны, α - сдвиг фазы горизонтально поляризованной волны относительно
вертикально поляризованной.
Рассмотрим некоторые типичные случаи.
а) Амплитуды волн различны: АВ0 ≠ АГ0 , сдвиг фаз отсутствует: α =0.
В этом случае суммарная волна линейно поляризованная, ее плоскость
поляризации отклонена от вертикальной плоскости xz на постоянный угол υ ,
AΓ0
который определяется как tgυ = 0 = const .
AB
Амплитуда суммарного поля А0 =

(А ) + (А )
0 2
В

0 2
Г

.

231

б) Амплитуды волн одинаковы: АВ0 = АГ0 = А0 , α = π . В этом случае
2
из (16.8) следует:

r
r
r
Е& = А0 ( х0 − jy0 )e j( ωt −kz ) .
Перейдем к действительным величинам

r
r&
r
r
r
r
E = Re E = A0 ⎡⎣ x0 cos (ω t − kz ) + y0 sin (ω t − kz ) ⎤⎦ = x0 EB ( t , z ) + y0 EΓ ( t , z ) ,
E B (t , z ) = A0 cos(ωt − kz ), E Γ = A0 sin(ωt − kz ).
r
Теперь угол отклонения вектора E суммарной волны определяется как

υ = arctg

EΓ ( t , z )
= ωt − kz .
EB ( t , z )

Таким
образом, если зафиксировать t=t0=const (мгновенная картина),
r
вектор E располагается на винтовой поверхности, определяемой вращением
угла υ по закону: υ = −kz + ωt0 . Если же зафиксировать плоскость
r
z=z0=const, то в этой плоскости вектор
E
вращается с частотой ω по закону:
r
υ = ωt − kz0 . Причем, амплитуда E остается постоянной и равной А0.
r r r
В тройке векторов x0 , y0 , z0 вращение происходит против часовой
стрелки (по закону правой тройки) и поэтому волна описанного типа называется правополяризованной волной с круговой поляризацией (поскольку
А0=const).
в) Амплитуды волн одинаковы: АВ0 = АГ0 = А0 , α = − π 2 . В этом случае
E B ( t , z ) = A0 cos(ωt − kz ), E Γ ( t , z ) = − A0 sin(ωt − kz ) . Соответственно υ ( t , z ) =
= −(ωt − kz ) . Это тоже волна с круговой поляризацией, но левополяризованr
ная в отличие от предыдущей, поскольку вращение вектора E в ней происходит в противоположном направлении.
Нетрудно убедиться, что любую линейно-поляризованную волну с амплитудой А0 можно представить как суперпозицию двух лево- и правополяризованных волн с одинаковой амплитудой А0/2. Такое представление весьма
полезно при анализе распространения линейно поляризованных волн в анизотропных средах (например, в намагниченных плазме или феррите). Дело в
том, что взаимодействие лево- и правополяризованных волн с анизотропной
средой существенно различается и разложение линейно поляризованной волны на две указанные составляющие весьма полезно при анализе взаимодействия.

232

π

r
. При этом вращение вектора E
2
r
также происходят с угловой rчастотой ω , но амплитуда вектора E зависит от
угла υ , т.е. конец вектора E «описывает» не круг, а эллипс. Поэтому в общем случае волна имеет ни линейную, ни круговую, а эллиптическую поляризацию.
В общем случае АВ0 ≠ АГ0 и α ≠ ±

16.3. Плоские волны в среде с потерями
Если свободное пространство однородно и изотропно, но имеются диэлектрические, джоулевы и магнитные потери, то параметры среды ε а и µ а комплексные. Представим их в показательной форме:
ε&а = ε а e − j∆E , µ& a = µ a e − j∆H
(16.9)
Здесь ε a , µ a - модули соответствующих величин; ∆Е , ∆Н - угол соответственно электрических и магнитных потерь.
Теперь как волновое число, так и волновое сопротивление пространства – комплексные величины. Запишем их в следующей форме:

k& = ω ε&a µ& a = ω ε a µ a e − jθ1 = β − jα ,

β = k cosθ 1 , β = k sinθ 1 , k = ω ε a µ a
(16.10)

W& 0 =

µ& a
µ a jθ 2
e
=
= W 0 e jθ 2 ,
ε&a
εa

W0 =

µa
∆ + ∆H
∆ − ∆H
, θ1 = E
, θ2 = E
.
2
2
εa

r r
Теперь компоненты E , H плоской волны могут быть представлены как
r r
E& = x0W 0 A0 e j( ωt − βz +θ 2 )e −αz ,
r r
H& = y0 A0 e j( ωt − βz ) e −αz

(16.11)

Таким образом, в среде с потерями, как следует из (16.11), имеют место
два эффекта.

233

1. Напряженности поля Е, Н убывают в направлении распространения
экспоненциально с постоянной затухания α .
r
r
2. Вектор Е& имеет фазовый сдвиг относительно Н& величиной θ . Это,
2

между прочим, означает, что на периодических интервалах по z длиной
r
θ λ
∆z = 2
( λ = 2π / k cos θ 1 ) в связи со сменой ориентации Е относительно
2π
r
r r
r
Н вектор Умова-Пойнтинга S 0 = E , H меняет знак на обратный. Иначе говоря, на указанных интервалах поток энергии в волне в заданный момент
t=t0=const противоположен направлению распространения волны, что представляется весьма интересным с точки зрения физики распространения радиоволн.
К ним следует добавить еще и третий эффект: поскольку в средах с потерями ∆Е и ∆Н зависят от частоты, в таких средах имеет место дисперсия, т.е.
зависимость β, α, W0 от частоты.

[

]

234

ЧАСТЬ 5
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
В ПРИРОДНЫХ УСЛОВИЯХ
ГЛАВА XVII
ДИАПАЗОНЫ ВОЛН. КЛАССИФИКАЦИЯ РАДИОВОЛН
ПО МЕХАНИЗМУ РАСПРОСТРАНЕНИЯ
Как указывалось в первой части курса, мы рассматриваем классическую теорию электромагнитных явлений, в которой дискретность вещества
(среды) и излучения не учитывается, а поле предполагается континуальным.
Такие представления ограничивают спектр волн, где классическая теория
еще применима; если рассматривать мощности > I мкВт, то границей частот,
выше которой заметно проявляется дискретность излучения, будет fгр ~ 3⋅1012 .
Весь спектр частот f < fгр может быть разбит на диапазоны. В нашей стране
принято следующее разделение радиоволн по диапазонам:
Сверхдлинные волны (СДВ): λ ≥ 10000 м, f ≤ 3 ⋅10 4 Гц ,
Длинные волны (ДВ): λ = 10000 ÷ 1000 м, f = 3 ⋅10 4 − 3 ⋅10 5 Гц ,
Средние волны (СВ): λ = 1000 ÷ 100 м, f = 3 ⋅10 5 ÷ 3 ⋅10 6 Гц ,
Короткие волны (КВ): λ = 100 ÷ 10 м, f = 3 ⋅10 6 ÷ 3 ⋅10 7 Гц ,
Ультракороткие волны
(УКВ):
λ = 10 ÷ 1 м, f = 3 ⋅10 7 ÷ 3 ⋅10 8 Гц ,
Дециметровые волны
(ДМВ):
λ = 1 ÷ 0,1 м, f = 3 ⋅108 ÷ 3 ⋅10 9 Гц ,
Сантиметровые волны
(СМВ):
λ = 0,1 ÷ 0,01 м, f = 3 ⋅10 9 ÷ 3 ⋅1010 Гц ,
Миллиметровые волны
(ММВ):
λ = 0,01 ÷ 0,001 м, f = 3 ⋅1010 ÷ 3 ⋅1011 Гц ,
СБММ:
λ = 0,001 − 0,0001 м, f = 3 ⋅1011 ÷ 3 ⋅1012 Гц .
Характер распространения волн различных диапазонов различен как
при распространении вокруг земной поверхности, так и при распространении
под землей, в воде, тропосфере и ионосфере, а также и в космическом пространстве.
Как было показано в третьей части (глава XVI), в однородной, изотропной и неограниченной среде (в «свободном пространстве») электромагнитные волны распространяются прямолинейно со скоростью υ = 1 ε a µ a . В
атмосфере
можно
приближенно
считать,
что
ε a ≈ ε 0 , µa ≈ µ0 , υ = 3 ⋅ 108 м сек . Волны, распространяющиеся в свободном
пространстве, будем называть свободно распространяющимися.

235

Рис. 17.1.
Представим теперь, что распространение радиоволн происходит вблизи
плоской границы раздела двух сред, например, в атмосфере вблизи земной
поверхности, отражающий участок которой можно считать гладким и плоским. Тогда пути распространения волн от источника (0) к приемнику (А)
могут быть двоякого рода (рис. 17.1):
прямой луч (1) и отраженный луч (2) складываются в точке приема (А).
Очевидно, что интерференция волн, приходящих к приемнику по пути 1 и 2,
приводит к ряду явлений, которые необходимо учитывать; это прежде всего
изменение диаграммы направленности излучателя за счет отражающей поверхности и искажение сигнала за счет разного времени распространения
волн по пути 1.2.
Очевидно, что если неровности земной поверхности значительно превосходят рабочую длину волны, предыдущая картина значительно усложня-

Рис. 17.2.
ется за счет увеличения числа отраженных лучей (рис. 17.2).
Земная поверхность на достаточно высоких частотах по своим свойствам соответствует полупроводящей среде; поле волны, распространяющейся непосредственно над земной поверхностью, частично проникает в землю, за счет
чего соответственно искажается структура поля над земной поверхностью.
Образуется специфическая по структуре поверхностная волна, следующая
вдоль искривлений земной поверхности, т.е. не прямолинейно. К такому же
эффекту приводит явление дифракции электромагнитных волн вокруг сферической земной поверхности на достаточно длинных волнах, когда высота
шарового сегмента h (рис. 17.3) сравнима с длиной волны λ .

236

Рис. 17.3.
Следующие вдоль земной поверхности волны (независимо от механизма образования) принято называть общим термином – земные волны.
Над земной поверхностью расположена атмосфера, нижний (плотный)
слой которой называется тропосферой. Тропосфера не является однородным
диэлектриком – с увеличением высоты (расстояния от поверхности земли)
плотность тропосферы падает, соответственно и ε несколько уменьшается;
кроме того, в тропосфере всегда существуют нестационарные локальные неоднородности различного происхождения (облака, турбулентные слои и т.д.).
За счет регулярной неоднородности тропосферы происходит искривление
радиолуча (рис. 17.4), за счет случайных локальных неоднородностей (рис.
17.5) происходит рассеяние радиоволн. Как волноводное (направляющее радиолуч вдоль земной поверхности) действие тропосферы, так и рассеяние на
неоднородностях приводит к дальнему распространению волн (до 1000 км).
Волны, распространяющиеся таким образом, называются тропосферными.

Рис. 17.4.
Рис. 17.5.
Над тропосферой на высотах 60 ÷ 600 км располагается ионосфера,
представляющая собой слои частично или полностью ионизированного газа

Рис. 17.6
различной плотности и с различной электронной концентрацией. Волны с
длиной волны λ >10 м отражаются от ионосферы и поэтому за счет последо237

вательных отражений радиоволн от ионосферы и земной поверхности возможно дальнее распространение в естественном волноводе ионосфера-земная
поверхность (рис. 17.6)
Волны, имеющие описанный выше характер распространения, называются пространственными или ионосферными.
Радиоволны различных диапазонов распространяются в виде волн различного типа. Преимущество какого-либо вида распространения зависит от
расстояния, времени суток, характера радиотрассы, метеорологических условий и т.д. Учет всех этих условий весьма сложен, и точный расчет радиотрассы почти всегда исключен; необходимы специальные тесты для выявления
наилучшего диапазона и наилучшей радиотрассы при обеспечении связи между заданными географическими пунктами в заданное время года и суток.

238

ГЛАВА XVIII
ДИФРАКЦИЯ РАДИОВОЛН
18.1 Принцип Гюйгенса. Формула Кирхгофа
На распространение радиоволн от источника к приемнику существенное влияние, очевидно, оказывают свойства не всего окружающего пространства, а только некоторой его ограниченной области, расположенной между
приемником и источником. Рис. 18.1 иллюстрирует этот очевидный факт –
препятствие С (например, непрозрачный экран) существенно влияет на распространение волн к приемнику В, но, очевидно, мало влияет на интенсивность поля в точке приема А.
Для выяснения формы и размеров существенной области воспользуемся принципом Гюйгенса. Принцип Гюйгенса в простейшем понимании утверждает: каждая точка, лежащая на поверхности фронта распространяющейся волны, возбужденной первичным источником, является источником
вторичных сферических волн. Новое положение фронта распространяющейся волны в пространстве есть огибающая суперпозиции вторичных сферических волн.

Рис. 18.1
Нетрудно заметить, что принцип Гюйгенса представляет собой частный случай использования фиктивных источников электромагнитного поля,
которые вводятся для упрощения решения задач электродинамики (см. главу
XV части 4). Поэтому далее можно было бы непосредственно использовать
полученные в главе XV части 4 формулы для математической формулировки
этого принципа. Представляется, однако, более оправданным использовать
исторически сложившуюся математическую формулировку принципа Гюйгенса в виде формулы Кирхгофа.
Рассмотрим исходную структуру задачи, представленную на рис. 18.2.
Пусть источник электромагнитных волн расположен в точке О, точка
наблюдения – А(x, y, z), B(x’, y’, z’) – вспомогательная точка, r – расстояние
между А и В:
r=

(x − x ')2 + (y − y')2 − (z − z')2 .

239

Рис. 18.2
Замкнутая поверхность S изолирует объем V от источника, расположенного в точке О. Вторая замкнутая поверхность S’ ограничивает объем V,
делая его конечным. Будем считать, что источником является элементарный
электрический
излучатель и его поле описывается
электрическим потенциаre
re
лом Герца Π . В объеме V источника нет, Π удовлетворяет однородному
уравнению Гельмгольца:
r
r
∇ 2Π e + k 2Π e = 0 ,

(18.1)

k 2 = ω 2 ε а µ а , ε а , µ а - действительные.

Введем также вспомогательную функцию ϕ , удовлетворяющую уравнению:
∇ 2ϕ + k 2ϕ = −4πδ [( x − x ')( y − y ' )( z − z ')] = −4πδ ( A − B ) (δ − дельта − функция )

и имеющую вид ϕ =

e − jkr
.
r

(18.2)

r

Умножим уравнение (18.1) на ϕ , уравнение (18.2) – на – Π e и сложим.
В результате имеем:
r
r
r
ϕ ⋅ ∇ 2 Π e − Π e ⋅ ∇ 2 ϕ = 4πδ(А − В)Π e
(18.3)
Проинтегрируем (18.3) по V и воспользуемся свойством δ -функции.
При этом получим:
re re 2
re
2
(18.4)
∫ (ϕ∇ Π − Π ∇ ϕ)dV = 4πΠ (A)
V

Используя для преобразования левой части вторую теорему Грина, находим:
r
re
⎛ ∂Π e r e ∂ϕ ⎞
⎜
⎟
(A )
ϕ
−
Π
dS
=
4
π
Π
r
r
∫ ⎜ ∂n
∂n ⎟⎠
S+ S ' ⎝

(18.5)

240

Устремляя S′ в (18.5) в бесконечность и помещая точку В на поверхность S, имеем:
r
re
1 ⎛ r e ∂ϕ
∂Π e
⎜Π r − ϕ r
Π (А) = −
4π ∫S ⎜⎝
∂n
∂n

⎞
⎟⎟dS
⎠

(18.6)
r

Соотношение (18.6), выражающее поле Π e в точке наблюдения А через
re
Π в точках В поверхности S и вспомогательную, пока не доопределенную
функцию ϕ , называется формулой Кирхгофа. Функция ϕ обычно называется
функцией Грина. Теперь геометрия задачи принимает вид, указанный на рис.
18.3. Здесь дополнительно указано ρ - расстояние от источника до точки В на
поверхности S.

Рис. 18.3
Выберем поверхность S специальным образом, как это показано на рис.
18.4. Тогда S=Sc+S0, где Sc – полусфера с радиусом rc, S0 – замыкающая ее

Рис. 18.4
плоскость, нормальная к лучу ОА.
Будем далее считать, что электромагнитное поле создается элементарным (точечным) электрическим излучателем, и поэтому (см. главу XIII):
. cm r
r
I l e− jk ρ r e− jk ρ
Π e (S ) =
⋅
=C
,
(18.7)
ρ
ρ
j 4πε aω
. cm

r
r
I l
где C =
.
j 4πε aω

241

Запишем теперь формулу Кирхгофа для рассматриваемого случая:
r
r
re
∂Π e ⎫
∂Π e ⎫
1 ⎧ r e ∂ϕ
1 ⎧ r e ∂ϕ
Π (A) = −
⎨Π r − ϕ r ⎬dS −
⎨Π r − ϕ r ⎬dS
∂n ⎭
∂n ⎭
4π S∫0 ⎩ ∂n
4π S∫C ⎩ ∂n

(18.8)
r

Рассмотрим предел второго интеграла при rC → ∞ , имея в виду, что Π e (S) определяется (18.7). При таком переходе ввиду конечности расстояния ОА
имеют место следующие пределы:
r
→ 1;
ρ

r
,
rC

ρ
→ 1,
rC

(18.9)

(

)

(18.10)

(

)

(18.11)

r r
cos n , l r → −1 ,
r r
cos n , l ρ → −1 ,
r

r

В (18.10) и (18.11) l r , l ρ - единичные вектора вдоль направлений соответственно r и ρ (от точек А и О).
Распишем последовательно элементы подынтегральных выражений,
используя вид функции ϕ , (18.7), (18.9) ÷ (18.11).
⎧
r r
r r
∂ϕ dϕ
e − jkr ⎛
1 ⎞⎫
⎜⎜1 +
⎟⎟⎬ cos n , l r ,
cos n , l r = ⎨− jk
r =
∂n dr
r ⎝
jkr ⎠⎭
⎩
re
re
r⎧
r r
r r
dΠ
e − jkρ ⎛
1 ⎞⎫
∂Π
⎟⎟⎬ cos n , l ρ .
⎜⎜1 +
cos
n
,
C
jk
l
=
=
−
r
⎨
ρ
dρ
jkρ ⎠⎭
∂n
ρ ⎝
⎩

(

)

(

(

)

)

(

)

(18.12)
(18.13)

Таким образом, подынтегральное выражение имеет вид:
r
r e − jkρ e − jkr ⎛
r e ∂ϕ
r r
1 ⎞
∂Π e
⎜⎜1 +
⎟⎟ cos n , l r +
Π r − ϕ r = − jkC
⋅
r ⎝
jkr ⎠
∂n
∂n
ρ
r e − jkr e − jkρ ⎛
r r
1 ⎞
⎜⎜1 +
⎟⎟ cos n , l ρ
+ jkC
⋅
r
jkρ ⎠
ρ ⎝

(

(

)

)

(18.14)

Очевидно, что при rC → ∞ (r, ρ → ∞ ) и выполняются (18.9) ÷ (18.11).
При этом (18.14) представляет собой разность одинаковых по величине членов. Учитывая, что Sc~r2 и ρ ⋅ r → rc2 заключаем, что второй интеграл в (18.8)
r
при rc → ∞ обращается в нуль, и, следовательно, Π e (А) находится интегрированием по бесконечной плоскости S0, разделяющей О и А. Таким образом,
r
re
1 ⎧ r e ∂ϕ
∂Π e ⎫
Π (A) = −
⎨Π r − ϕ r ⎬dS .
4π S∫0 ⎩ ∂n
∂n ⎭

(18.15)

242

Проведем теперь дальнейшие упрощения (18.15). Очевидно, что инте∂ϕ
∂n

грал (18.15) упростится, если положить r (S0 ) = 0 или ϕ(S0 ) = 0 . Примем второе
условие, т.е. положим
ϕ(S0 ) = 0 .

(18.16)

Имея в виду, что общий вид ϕ указан выше, представим ϕ с учетом
(18.16) следующим образом:
ϕ=

e − jkr1 e − jkr2
−
,
r1
r2

(18.17)

где r1 – расстояние от точки А до любой текущей точки В, r2 – расстояние от
точки А’, являющейся зеркальным изображением А относительно S0, до той
же точки В (рис. 18.5). Очевидно, что для всех В ∈ S r1=r2 и ϕ =0, т.е. условие
S0

A’

A

r2

r1
B

Рис. 18.5
(18.16) удовлетворяется.
Теперь

Рассчитаем

r
1 r e ∂ϕ
Π e (A) = −
Π r dS .
4π S∫0
∂n

(18.18)

∂ϕ
r (S0 ) . Поскольку на S0 r1=r2=r, выполняется также следующее
∂n

равенство:
r
r r
− cos(n , l r1 ) = cos(n , l r2 ) ,
∂ϕ
d ⎛ e − jkr1
⎜
r =
∂n S0 dr1 ⎜⎝ r1

(

(18.19)

)

⎞
r r
d ⎛ e − jkr
⎟⎟ cos n , l r1 −
⎜
dr2 ⎜⎝ r
⎠

= (r1 = r2 = r, учитываем (18.19 )) = 2

∂ ⎛ e − jkr
= 2 r ⎜⎜
∂n ⎝ r

(

)

⎞
r r
⎟⎟ cos n , l r2 =
⎠

d ⎛ e − jkr
⎜
dr ⎜⎝ r

(

)

⎞
r r
⎟⎟ cos n , l r =
⎠

(18.20)

⎞
⎟⎟ .
⎠ S0

243

Теперь с учетом результата (18.20) имеем:
r
1 r e ∂ ⎛ e − jkr
Π e (A) = −
Π r ⎜⎜
2π S∫0
∂n ⎝ r

⎞
⎟⎟dS .
⎠

(18.21)

Рис. 18.6
Для дальнейших расчетов введем следующие обозначения (рис. 18.6):
Рассчитаем

∂ ⎛ e − jkr
r⎜
∂n ⎜⎝ r

⎞
⎟⎟ при условии, что kr>>1. В этом случае получим
⎠

∂ ⎛ e − jkr
r⎜
∂n ⎜⎝ r

⎞
⎟⎟ =
⎠
− jkr
e ⎛
1 ⎞
e − jkr
⎜
⎟
= − jk
1+
cos γ ≈ − jk
cos γ .
r ⎜⎝
jkr ⎟⎠
r

(18.22)

Таким образом, когда для полей справедливо приближение дальней зоρ
r
ны ⎛⎜ >> 1, >> 1⎞⎟ получаем, подставляя в (18.21), (18.22) и (18.7):
λ
⎝λ
⎠
r
re
jCk e − jk (r +ρ )
Π (A) =
cos γdS 0 ,
2π S∫0 rρ

(18.23)

18.2. Зоны Френеля. Область, существенная
для распространения радиоволн
Проанализируем полученное выражение. В соответствии с формулой
(18.23) каждый участок плоскости
S – dS0, являясь элементарным вторичre 0
ным излучателем, создает поле d Π (A) в точке наблюдения А, которое в соответствии с (18.23) записывается как
r
re
jC e − jk ( r +ρ )
cos γdS 0 .
dΠ ( A ) =
⋅
rρ
λ

(18.24)

244

Из (18.24) следует, что амплитуда возбуждаемого в точке А поля пропорциональна

cos γdS 0
⎛ρ+r⎞
, фаза ψ = k (r + ρ) = 2π⎜
⎟ . Таким образом, с изменеρr
⎝ λ ⎠

нием ρ и r меняется как амплитуда, так и (что существенно) фаза поля. Такое
положение приводит к мысли о разбиении плоскости S0 на отдельные зоны,
такие, что фаза поля вторичных источников, расположенных в каждой зоне, в
точке А меняется в пределах π , т.е. для каждой зоны ∆ψ = π . Как следует из
определения ψ , такие зоны на S0 будут иметь вид колец. Эти кольцеобразные
зоны называются зонами Френеля. Найдем границы этих зон, исходя из того,

λ
2π
∆(ρ + r ) = π , откуда следует, что ∆(ρ + r ) = , т.е. при перехо2
λ
де от одной границы зоны до другой ρ + r имеет приращение, равное λ 2 .

что ∆ψ = π : ∆ψ =

Пусть n определяет номер зоны. Тогда
зона 1 → ρ1 + r1 − (ρ 0 + r0 ) = λ 2 , ⎫
⎬.
зона n → ρ n + rn − (ρ 0 + r0 ) = n λ 2⎭

(18.25)

Структура зон изображена на рис. 18.7
Соседние зоны помечены чередующимися знаками, поскольку поля,

Рис. 18.7
возбуждаемые от соседних зон в точке А противофазны. Полное поле в точке
наблюдения А, таким образом, будет представлено знакопеременным рядом,
каждый член которого представляет поле отдельной зоны
∞ r
r
Π е (А) = ∑ Π iе .
i =1

Поскольку фаза возбуждаемого поля при перемещении по радиусу
кольца в каждой зоне непрерывно изменяется, на комплексной плоскости
.

сложение элементарных комплексов d Π i даст следующую геометрическую
картину (рис. 18.8):

245

Как видно из рис. 18.8 предел суммы

∞

re

∑Π
i =1

i

r
равен Π 1e 2 , т.е. если бы были

Рис. 18.8
закрыты все зоны, кроме первой, интенсивность поля в точке А была бы
вдвое большей. Из характера графика рис. 18.8 видно, что основной вклад
дают зоны с наименьшими номерами, вклад от зон с высшими номерами
пренебрежимо мал. Это означает, что существенной для распространения является область пространства вдоль луча ОА, занимающая в поперечнике конечное число зон Френеля (обычно n<10).
Остановимся теперь на определении размеров и формы существенной
области. Пусть можно ограничиться зоной с номером n, тогда, при произвольном расположении S0, должно сохраняться условие, следующее из
(18.25)
ρ n + rn = (ρ 0 + r0 ) + n

λ
.
2

(18.26)

Это одновременно и уравнение граничной поверхности существенной
области. Уравнение (18.26), как известно, описывает эллипсоид вращения с
фокальными точками О и А. Таким образом, по форме существенная область
представляет собой эллипсоид вращения.
Определим максимальные поперечные размеры существенной области.
Введем следующие обозначения (рис. 18.9). Будем считать, что R n << ρ 0 , r0 ,
поскольку R ~ { λρ 0 , λr0 }, a λ << ρ 0 , r0 .

Рис. 18.9
R 2n
Определим Rn. ρ n = ρ + R ≈ ρ 0 +
, поскольку Rn << ρ 0 . Соответственно,
2ρ 0
2
0

2
n

R 2n
, поскольку Rn<<r0.
rn ≈ r0 +
2r0

Используем теперь уравнение (18.26)

246

R 2n
2

⎛ 1 1⎞
λ
⎜⎜ + ⎟⎟ = n .
2
⎝ ρ 0 r0 ⎠

(18.27)
⎛ 1

1⎞

Из (18.27) вытекает, что R 2n ⎜⎜ + ⎟⎟ = nλ или
⎝ ρ 0 r0 ⎠
Rn =

nλρ 0 r0
.
ρ 0 + r0

(18.28)

Очевидно, что размеры существенной области зависят от соотношения
ОА и λ . Определим R max
. Из (18.28) следует, что Rn достигает максимума при
n
r0 = ρ 0 , когда S0 находится в центре отрезка ОА. При этом
R max
=
n

1
nλR 0 , R 0 = ρ 0 + r0 .
2

(18.29)

Форму существенной области, очевидно, характеризует отношение
R

max
n

/ R0
R max
1 nλ
n
.
=
R0
2 R0

(18.30)

Таким образом, чем меньше λ R 0 , тем более вытянутой по форме становится существенная область. При

nλ
→ 0 существенная область вырождаR0

ется в нить ОА; в таком пределе строго выполняются все предположения и
выводы геометрической оптики.
Поскольку поперечные размеры существенной области при λ R 0 <<1
малы по сравнению с R0, интегрирование по S0 в формуле (18.23) можно проводить не по всей бесконечной плоскости, а только в области S0, ограниченной Rn. Это приводит к значительным упрощениям формулы (18.23). Действительно,
при
условии
Rn
<<
R0
можно
считать:
1)
cos γ → 1; 2) 1 ρr → 1 ρ 0 r0 ; 3) (ρ + r ) ≈ ρ 0 + r0 +

R2 ⎛ 1 1 ⎞
⎜ + ⎟;
2 ⎜⎝ ρ 0 r0 ⎟⎠

соответственно

⎛ 1 1⎞
jk (r + ρ) = jk (ρ 0 + r0 ) + jk z 2 + y 2 ⎜⎜ + ⎟⎟ 2 , где z 2 + y 2 = R 2 .
⎝ ρ 0 r0 ⎠

(

)

247

С

учетом

перечисленных

упрощений

r
⎛ 1 1⎞
k
− j (z 2 + y 2 )⎜⎜ + ⎟⎟
re
jC
2
− jk (ρ 0 + r0 )
⎝ ρ 0 r0 ⎠
Π (A) =
⋅e
⋅ ∫∫ e
dydz .
λρ 0 r0
S0

(18.23)

принимает

вид

(18.31)

Не следует забывать, что (18.31) применимо только при условии, когда
⎞
⎛ λn
<< 1⎟⎟ .
Rn << R0, т.е. в «коротковолновом» приближении ⎜⎜
R0
⎝

⎠

Рис. 18.10

18.3. Дифракция электромагнитных волн от края
непрозрачного экрана
Рассмотрим следующую схему расположения полубесконечного непрозрачного экрана (рис. 18.11).

Рис. 18.11
Расстояние z0 характеризует расстояние от среза экрана до луча ОА.
Решение задачи проведем на основе (18.31), воспользовавшись методом
Кирхгофа.
В основе метода Кирхгофа лежат следующие упрощающие предположения.
1. Поле в области S0, не занятой экраном, остается таким же, как если
бы экрана не было. 2. Токи на теневой стороне экрана отсутствуют.
Эти условия соответствуют пренебрежению искажениями падающей
волны на крае экрана. Подобные условия, вообще говоря, выполняются лишь
в случае, когда экран согласован слева (не создает отражений), а токи на его
248

крае отсутствуют. В практически интересных случаях (например, проводящий экран) эти условия не выполняются и их использование ограничивает
область применения метода Кирхгофа только случаями, когда поперечные
размеры существенной области, не закрытой экраном, значительно превышают длину волны. Тогда местное возмущение поля на краю экрана несущественно: неискаженное поле занимает значительно большую площадь.
Введем в подынтегральном выражении (18.31) следующую замену переменных:
⎫
⎞
⎟⎟ = u ,⎪
⎪
⎠
⎪
⎬
⎪
2⎛ 1 1 ⎞
⎜⎜ + ⎟⎟ = υ ⎪
y
⎪
λ ⎝ ρ 0 r0 ⎠
⎭

z

2⎛ 1 1
⎜ +
λ ⎜⎝ ρ 0 r0

Соответственно имеем
dz =

du
2⎛ 1 1 ⎞
⎜ + ⎟
λ ⎜⎝ ρ 0 r0 ⎟⎠

dυ

; dy =

2⎛ 1 1 ⎞
⎜ + ⎟
λ ⎜⎝ ρ 0 r0 ⎟⎠

.

Запишем в новых переменных (18.31)
r
re
jC e − jk (ρ0 + r0 )
Π (A) =
2 ρ 0 + r0

Здесь u 0 = Z 0

Интеграл

∞

∫e

−∞

∞

∫e

−∞

π
− j υ2
2

∞

dυ ∫ e

π
− j u2
2

(18.32)

du

U0

2⎛ 1 1 ⎞
⎜ + ⎟.
λ ⎜⎝ ρ 0 r0 ⎟⎠
π
− j υ2
2

dυ =

2
.
j

Проведем проверку (18.32). Положим u 0 → −∞ , тем самым перейдя к
случаю свободного пространства. Тогда

∞

∫e

−∞

π
− j u2
2

du =

2
и из (18.32) мы полуj

чаем

r e − jk (ρ0 + r0 ) r e − jkR 0
r
r
Π e (A) = C
=C
, что точно соответствует выражению Π e (A) в своR0
ρ 0 + r0

бодном пространстве.
r
В рассматриваемом случае запишем Π e (A) в виде

249

r e − jk (ρ0 + r0 ) .
r
Π e (A) = C
⋅ F(u 0 ) ,
ρ 0 + r0

(18.33)

.

где F(u 0 ) - дифракционный множитель.
u0
π
∞
∞
j − j 2 u2
j ⎪⎧
π u2
π u2
F (u0 ) =
e
du
du
du −
cos
cos
=
−
⎨
∫
2 u∫
2 ⎪ ∫0
2
2
0
⎩
0
.

=

j ⎧1
⎨ − C (u0 ) −
2 ⎩2

u0
⎡∞ π u 2
π u 2 ⎤ ⎪⎫
j ⎢ ∫ sin
du − ∫ sin
du ⎥ ⎬ =
2
2
⎢⎣ 0
⎥⎦ ⎪⎭
0

⎡1
⎤⎫
j ⎢ − S (u0 ) ⎥ ⎬ .
⎣2
⎦⎭

u0

Здесь С(u 0 ) = ∫ cos
0

u

0
πu 2
πu 2
du; S(u 0 ) = ∫ sin
du - интегралы Френеля.
2
2
0

.

График модуля | F(u 0 ) | = F(u0) приведен на рис. 18.12.

Рис. 18.12
Из анализа приведенного графика следует: 1) в области тени (u0>0) поле не исчезает, за счет явления дифракции поле остается конечным при достаточно больших u0; 2) в открытой области F(u0) имеет осциллирующий характер, причем при u0 ≈ −1, 2 F(u0) достигает максимального значения (Fmax =
r
1,175), т.е. Π e (A) имеет большее значение, чем если бы экрана не было.
Тот и другой вывод хорошо объясняются с точки зрения зон Френеля: в
тени часть зон Френеля оказывается не закрытой экраном и за счет вторичных источников в этой не закрытой части существенной области возбуждается поле в точке А; при u0 ~ -1,2 экран перекрывает зоны таким образом, что
«отрицательные» зоны закрыты больше, чем положительные, поэтому результирующее поле в точке А оказывается усиленным. Если бы речь шла о
дифракции на круглом отверстии в непрозрачном экране, то при выборе его
диаметра равным диаметру первой зоны Френеля, можно было бы перекрыть
r
r
r
r
все высшие зоны, и тогда, как мы знаем, Π e (A)= Π 1e =2 Π e ( Π e - поле в открытом пространстве), т.е. F=2.
В заключение заметим, что метод Кирхгофа дает заниженные значения
re
для Π (A) в области тени. Это связано с пренебрежением искажениями поля
на крае препятствия и, особенно, с пренебрежением влияния токов, затекаю250

щих на теневую сторону препятствия (особенно, в случае проводящих препятствий). Ошибка может достигать многих порядков.
К настоящему времени предложены более совершенные приближенные
методы учета дифракционных полей, из которых следует упомянуть метод
дифракционных лучей, в котором учитываются «ползущие» вокруг поверхности препятствия волны, связанные с затеканием токов на теневую сторону
(П.Я. Уфимцев «Метод краевых волн в физической теории дифракции». М.,
Сов. Радио, 1962 г.), а также более сильный метод параболического уравнения, в котором учитывается поперечная диффузия дифракционных лучей
(В.А. Фок, Дифракция радиоволн вокруг земной поверхности. АН СССР,
1946 г.).

251

ГЛАВА XIX
ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ВОЛН НА ГРАНИЦЕ
РАЗДЕЛА ДВУХ СРЕД
19.1. Отражение и прохождение волн при нормальном
падении на плоскую границу раздела
Пусть плоская электромагнитная волна, проходящая в среде 1 падает
нормально на плоскую границу, разделяющую среду 1 и среду 2 (рис. 19.1).
Среда 1 характеризуется параметрами ε1 , µ1 , среда 2 - ε 2 , µ 2 (значок «а» у
ε а и µ а здесь и далее опустим для сокращения записи). Непосредственно на
r r
границе раздела существуют три вида волн: падающая (Е 0 , Н 0 ), отраженная
r r
r r
(Е − , Н − ), проходящая (Е + , Н + ) . Мы будем предполагать, что как среда 1, так и
среда 2 однородны и изотропны, поэтому волны в обеих средах распространяются прямолинейно и нормально к границе, как это изображено на рис.
19.1.

Направления

[

]

Рис. 19.1
распространения волн

определяются

векторами

r
1 r r
S0 = E, H , поэтому ориентация E − , H − в отраженной волне изменена по от2
ношению к падающей, так что направления S00 и S0− противоположны.

Запишем компоненты трех волн, придерживаясь условной ориентации

r r
Е, Н , заданной на рис. 19.1 (действительная относительная ориентация, т.е.
r r
знак компонент Е − , Н − будет определен соотношением ε1 , µ1 ; ε 2 , µ 2 ).

(

)

1. Падающая волна:
⎫
⎪
⎪
⎬.
⎪
. 0
r
r
E 0 = A W10 x 0 e − jk1z , W10 = µ1 ε1 ⎪⎭
r 0 . 0 r − jk z
H = A y 0 e 1 , k 1 = ω ε 1µ 1 ,

(19.1)

2. Отраженная волна:

252

. − r
r
⎫
H − = − A y 0 e jk1z , ⎪
⎪
⎬
⎪
−
.
r−
jk1z ⎪
0r
E = A W1 x 0 e ⎭

(19.2)

3. Проходящая волна:
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
+
.
r
r
E + = A W20 x 0 e − jk 2 z , W20 = µ 2 ε 2 ⎪⎭
. + r
r+
H = A y 0 e − jk 2 z , k 2 = ω ε 2 µ 2 ,

(19.3)

Запишем уравнение связи между компонентными амплитудами трех
волн на границе раздела двух сред (z = 0). Предположим, что на границе разr
дела поверхностных
токов
нет;
тогда
тангенциальные
составляющие
как
Е,
r
так и Н полного (суммарного) поля при переходе границы должны быть непрерывными
(см.
главу II первой части). В рассматриваемом случае все комr
r
поненты Е и Н являются тангенциальными, и поэтому

r
r
r
r
r
r
⎡H 0 + H − ⎤
= H z+= 0 , ⎡ E 0 + E ⎤
= E z+= 0 .
⎣
⎦ z =0
⎣
⎦ z =0
(19.4)
Подставляя в (19.4) (19.1) ÷ (19.3), имеем
⎫
⎪
A −A = A ,
⎪
⎪
⎬
⎪
−
+
0
.
⎛ .
⎞ 0 .
0⎪
⎜ A + A ⎟ W1 = A W2
⎜
⎟
⎪⎭
⎝
⎠
. 0

. −

. +

(19.5)

Введем для удобства дальнейших расчетов коэффициент отражения и
коэффициент прохождения
.

ρ=

. −

E τ (0)
. 0

. −

=

E τ (0)

A

. 0

− коэффициент отражения,

A

(19.6)
.

τ=

. +

. +

E τ (0)
. 0

E τ (0)

=

A W20
. 0

− коэффициент прохождения.

0
1

A W

Таким образом, амплитуды отраженной и проходящей волн могут быть
выражены как

253

. −

. 0 .

. +

. 0 .

A = A ρ, A = A τ

W10
.
W20

(19.7)
.

.

Подставляя (19.7) в (19.5), получим уравнения для ρ и τ :
W10 ⎫
,⎪
W20 ⎪
⎪
⎬
⎪
.
.
⎪
1+ ρ = τ
⎪⎭
.

.

1− ρ = τ

(19.8)

Решая (19.8), находим:
2W20 ⎫
,⎪
W20 + W10 ⎪
⎪
⎬
0
0
.
W2 − W1 ⎪⎪
ρ= 0
W2 + W10 ⎪⎭
.

τ=

(19.9)

Рассмотрим предельные случаи для (19.9), т.е. случаи, когда
.

.

ρ = 0 и ρ = 1.
.

1. Случай согласования двух сред, т.е. ρ = 0 . Из (19.9) следует, что это
возможно при условии
W20 = W10 или

µ 2 µ1
= .
ε 2 ε1

(19.10)

При этом τ = 1 .
2. Случай полных отражений от границы раздела при нормальном па.

дении, т.е. ρ = 1 .
.

.

Из анализа формулы для ρ следует, что | ρ |→ 1 при:
а)

W20
W10
(
)
0
1
или
б
)
→
ρ
=
−
→ 0 (ρ = 1) .
W10
W20

Условие а) выполняется, когда среда 2 по своим свойствам приближается к идеальному проводнику. Действительно, W20 =

µ
σ
ε− j
ω

→ 0 при σ → ∞ .

При этом τ = 0 , т.е. поле во второй среде отсутствует.
Условие б) соответствует случаю, когда волна распространяется в среде с большой оптической плотностью (например, в диэлектрике с очень
большим ε ), а среда 2 имеет относительно большое волновое сопротивление.
В этом случае получаем, что ρ =1, а τ = 2 . Последнее, однако, не говорит о

254

том, что поле в среде 2 есть. Действительно, используя формулу (19.7), име. +

. 0
W10
W10
W10
A
2
0
при
=
⋅
→
→0.
W20
W20
W20

. 0

ем: A = A τ

Тот факт, что τ = 2 лишь означает, что электрическое поле на границе
раздела по амплитуде
вдвое
превышает амплитуду электрического поля паr
r0
дающей
волны ( Е (0)=2 Е (0)), магнитное же поле на границе равно нулю
r
( Н (0)=0).
.

При ρ = 1 в области 1 образуется картина чисто стоячего поля: амплитуда отраженной волны равна амплитуде падающей волны.
В общем же случае имеем:
.
.
r
⎞
⎞
r ⎛
r ⎛
r
Н1 = А& 0 у0 ⎜ е − jk1 z − ρ е jk1 z ⎟ = А& 0 у0 ⎜1 − ρ е 2 jk1 z ⎟ е − jk1 z = у0 А& H ( z )e − jk1 z
⎝
⎠
⎝
⎠
.
r
⎞
r
0r
0⎛
&
E1 = А х0W1 ⎜1 + ρ е 2 jk1 z ⎟ е − jk1 z = х0 А& E ( z )e− jk1 z .
⎝
⎠
.

Из приведенных формул видно, что при любом ρ распределение амплитуды электрического поля А& E ( z ) и распределение амплитуды магнитного
поля А& H ( z ) вдоль z сдвинуты по фазе на λ1 4 .
В минимуме поле обращается в нуль только при

.

ρ = 1 ; нули

E1 (z) и H1 (z) смещены на λ1 4 .

19.2. Наклонное падение горизонтально-поляризованной
волны на плоскую границу раздела двух сред
Введем следующие предположения.
1. Падающая на границу раздела волна – линейно поляризованная и ее
электрический вектор параллелен границе раздела («горизонтальная» поляризация).
2. 1 и 2 среды изотропные и однородные.
Последнее предположение позволяет считать, что плоскость поляризации отраженной и проходящей волн совпадают с плоскостью поляризации
падающей, а направления распространения падающей, отраженной и проходящей (преломленной) волн лежат в одной плоскости. На этом основании
чертеж, изображающий
направления распространения трех волн и ориентаr r
цию векторов Е , Н в них, будет иметь вид, показанный на рис. 19.2. Система
x, y, z – расчетная, в ней наиболее просто задается граница раздела сред. В
системе rx1, ry1, z1 наиболее просто описывается распространение падающей
волны ( Е 0, Н 0). Такой же смысл имеет система x2, y2, z2 в отношении отра255

женной волны, а система x3, y3, z3 – в отношении преломленной волны. Указанные системы z1, z2, z3 развернуты по отношению к расчетной в плоскости
чертежа (в «плоскости падения») соответственно на угол ϕ1 , ϕ 2 , ϕ3 .
Правила пересчета направляющих векторов развернутых систем координат в расчетной системе состоят в следующем (рис. 19.3):
r
r
x 0i = x 0 ,
⎫
r
r
r
y 0i = y 0 ⋅ cos ϕ i − z 0 ⋅ sin ϕ i ,⎪⎪
r
r
r
⎬
z 0i = y 0 ⋅ sin ϕ i + z 0 ⋅ cos ϕ i , ⎪
⎪⎭
z i = y sin ϕ i + z cos ϕ i .

(19.11)

Запишем поле падающей волны сначала в системе координат z1
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
. 0
r0
r
E = A W10 х 01е − jk1z1 .⎪⎭
. 0 r
r0
H = A у 01е − jk1z1 ,

Рис. 19.2

(19.12)

Рис. 19.3

Пользуясь правилами (19.11), перепишем (19.12) в расчетной системе z
. 0 r
r0
⎫
r
H = A (у 0 cos ϕ1 − z 0 sin ϕ1 )e − jk1 ( y sin ϕ1 + z cos ϕ1 ) ,⎪
⎪
⎬
⎪
0
.
r
r
⎪
E 0 = A x 0 W10 е − jk1 ( y sin ϕ1 + z cos ϕ1 )
⎭

(19.13)

Аналогичным образом запишем и поля отраженной и проходящей волн
в расчетной системе координат:

256

. − r
r
⎫
r
H − = A (y 0 cos ϕ 2 − z 0 sin ϕ 2 )е − jk1 ( y sin ϕ2 + z cos ϕ2 ) ,⎪
⎪
. −
r
r
⎪⎪
E − = A W10 x 0 е − jk1 ( y sin ϕ2 + z cos ϕ2 ) ,
⎬
. + r
r+
r
− jk 2 ( y sin ϕ3 + z cos ϕ3 ) ⎪
H = A (y 0 cos ϕ 3 − z 0 sin ϕ 3 )е
,
⎪
. +
r+
⎪
r
⎪⎭
E = A Wl0 x 0 е − jk 2 ( y sin ϕ3 + z cos ϕ3 )

(19.14)

Граница раздела двух сред определяется условием z=0. Независимо от
формулы граничных условий, эти условия, связывающие три волны на границе раздела, должны выполняться одновременно на всей границе, т.е. одновременно при всех значениях y. Это означает, что функциональные зависимости всех трех волн от у должны быть одинаковыми. Из этого условия вытекают следующие уравнения, формулирующие законы Снеллиуса:
1) k 1 sin ϕ1 = k 1 sin ϕ 2 ,
(19.15)
2) k 1 sin ϕ1 = k 2 sin ϕ3 .

(19.16)

Уравнение (19.15) имеет бесконечное множество решений из-за периодичности функции sin . Выберем решение, соответствующее физическому
смыслу задачи. Решение ϕ1 = ϕ 2 очевидно, не подходит, поскольку отраженная волна распространяется в среде 1, а не в среде 2. Приемлемым, повидимому, будет решение
ϕ1 = π − ϕ 2 = γ

(19.17)

Обозначим далее ϕ1 = ϕ - угол падения. Тогда (19.17) формулирует первый закон Снеллиуса: угол падения (ϕ) равен углу отражения (γ ) .
Обозначая ϕ3 = ϑ - угол преломления, из (19.16) получим формулировку второго закона Снеллиуса:
ε1µ1
n
sin ϑ k 1
=
=
= 1
sin ϕ k 2
ε 2µ 2 n 2

(19.18)

В (19.18) по аналогии с принятыми в оптике терминами обозначено
k1 n1
=
, где n1 – показатель преломления среды 1, n2 – показатель преломлеk2 n2

ния среды 2.
В соответствии с первым законом Снеллиуса имеем:
cos ϕ 2 = − cos γ = − cos ϕ

(19.19)

Это условие учтем в дальнейшем при использовании (19.14).

257

Воспользуемся теперь граничными условиями на поверхности раздела,
предполагая, что поверхностных токовr на rней нет. Тогда при переходе границы тангенциальные составляющие Е и Н должны быть непрерывны. Эти
граничные условия можно записать в виде:
H yI
E xI

z =0

= H yII

z =0

= E xII

,⎫
⎬
z =0 . ⎭
z =0

(19.20)

Перепишем условия (19.20), используя (19.14) и (19.19)
. +
⎫
⎛ . 0 . −⎞
⎜ A − A ⎟ cos ϕ = A cos ϑ,⎪
⎜
⎟
⎝
⎠
⎪
⎬
−
+
0
.
⎛ .
⎞ 0 .
0
⎜ A + A ⎟ W1 = A W2 . ⎪
⎜
⎟
⎪
⎝
⎠
⎭

(19.21)

Введем, как и ранее, коэффициенты отражения и прохождения.
. −

. +

.
E − (0) A
E + (0) A W20
ρ г = 0x
= 0 , τ г = 0x
=
E x (0) .
E x (0) . 0 W10
A
A
.

(19.22)

Теперь имеем
. −

. +

. 0 .

. 0 .

A = A ρг ; A = A τг

W10
W20

(19.23)

Подставляя (19.23) в уравнения (19.21), получаем следующую систему
.

.

для определения ρ г , τ г :
.

.

1 − ρг = τг

.
.
W10 cos ϑ
, 1 + ρг = τг .
0
W2 cos ϕ

(19.24)

Решая (19.24) получаем
⎫
2 W20 cos ϕ
τг = 0
,⎪
0
W2 cos ϕ + W1 cos ϑ ⎪
⎪
⎬
0
0
.
W cos ϕ − W1 cos ϑ ⎪⎪
ρ г = 20
.
W2 cos ϕ + W10 cos ϑ ⎪⎭
.

(19.25)

.

.

Проанализируем полученные формулы для ρ Γ , τ Γ в одном из наиболее
важных в теории распространения волн в случае двух идеальных диэлектриков. В этом случае

258

⎫
⎪
ε1'' = ε '2' = 0, µ1 = µ 2 = µ,
⎪
⎪
0
W1
ε2
ε1
sin ϑ
⎪
=
,
=
,
⎬
0
ε1
sin ϕ
ε2
W2
⎪
⎪
ε1
2
2
cos ϑ = 1 − sin ϑ = 1 − sin ϕ.⎪
ε2
⎪⎭

(19.26)

Учитывая (19.26), получаем
.

ρг =

ε1 cos ϕ − ε 2 − ε1 sin 2 ϕ
ε1 cos ϕ + ε 2 − ε1 sin ε ϕ

.

(19.27)

Рассмотрим два случая: ε 2 > ε1 и ε 2 < ε1 .
1) ε 2 > ε1 , т.е. волна падает из менее плотной среды (например, воздуш.

ной) на более плотную. Представим ρ г = ρ г е − jΦ и проанализируем зависимоΓ

Рис. 19.4
сти ρ г , Φ г от ϕ :
.

а) ϕ = 0 → ρг =

ε1 − ε 2
ε1 + ε 2

< 0, т.е. ρ г < 1, Φ г = 180 0.

.

б) ϕ → 90 0 , ρ г → −1 Φ г = 180 0 , ρ г = 1

Таким образом, зависимости ρ Γ , Φ Γ от ϕ имеют вид, представленный на
рис. 19.4.
2) ε 2 < ε1 , т.е. волна распространяется внутри более плотной среды.
.

а) ϕ = 0 → ρг =

ε1 − ε 2
ε1 + ε 2

> 0, т.е. ρ г < 1, Φ Γ = 0.

.

б) ϕ = 90 0 , ρ г = −1, Φ г = 180 0 , ρ г = 1.

259

.

Очевидно, что существует ϕ = ϕ кр , при котором ρ впервые становится
⎛.
⎞
⎜ ρ = 1⎟ .
⎝
⎠
2
ε 2 − ε1 sin ϕ кр = 0 , т.е.

равным

1

sin ϕ кр =

Условием

этого,

очевидно,

является

ε2
ε1

уравнение

(19.28)
.

При ϕ > ϕ кр выражение для ρ г ввиду того, что вторые члены в числите-

Рис. 19.5
ле и знаменателе оказываются мнимыми, принимает вид:
.

ρг =

a − jb cе − jα
=
= 1 ⋅ е − j2 α ,
jα
a + jb cе

a = ε1 cos ϕ, b = ε1 sin 2 ϕ − ε 2 .
.

Таким образом, при ϕ > ϕ кр ρ г = 1 , Φ г = 2α .
Графики ρ г , Φ г имеют вид, изображенный на рис. 19.5.

19.3. Наклонное падение вертикально-поляризованной волны
на плоскую границу раздела двух сред

260

Пусть электрический вектор падающей волны лежит в плоскости падения (т.е. в вертикальной к границе раздела плоскости). Как и в предыдущем
случае, будем считать, что среда 1 и среда 2 изотропны и однородны, поэтому плоскость поляризации отраженной и преломленной волн не изменяются
по отношению к падающей, а направления распространения всех трех волн
лежат в плоскости падения. Построим чертеж, аналогичный рис. 19.2 для
рассматриваемого случая (рис. 19.6).
Как и ранее, углы ϕ1 , ϕ 2 , ϕ3 определяют поворот вспомогательных систем координат z1, z2, z3 по отношению к расчетной z. Правила пересчета направляющих векторов и координат остаются теми же, что и в предыдущем
случае, поэтому мы сразу запишем компоненты полей в расчетной системе
координат:
. 0 r
r.
⎫
H 0 = A x 0 е − jk1 ( y sin ϕ1 + z cos ϕ1 ) ,
⎪
⎪
0
.
.
r
r
r
E 0 = − A W10 (y 0 cos ϕ1 − z 0 sin ϕ1 )е − jk1 ( y sin ϕ1 + z cos ϕ1 ) , ⎪
⎪
. − r
r. −
⎪
− jk1 ( y sin ϕ 2 + z cos ϕ 2 )
H = A x 0е
,
⎪
⎬
−
.
.
r−
r
− jk1 ( y sin ϕ 2 + z cos ϕ 2 ) ⎪
0 r
E = − A W1 (y 0 cos ϕ 2 − z 0 sin ϕ 2 )е
,
⎪
. + r
r. +
⎪
H = A x 0 е − jk 2 ( y sin ϕ3 + z cos ϕ3 ) ,
⎪
⎪
. +
r. +
r
− jk 2 ( y sin ϕ3 + z cos ϕ3 )
0 r
⎪
E = A W2 (y 0 cos ϕ 3 − z 0 sin ϕ 3 )е
⎭

(19.29)

Как и в ранее рассматриваемом случае, необходимым условием для согласования полей на границе раздела (z=0) при любом значении у является:
k 1 sin ϕ1 = k 2 sin ϕ 2 ,

(19.30)

k 1 sin ϕ1 = k 2 sin ϕ 3

Таким образом, в рассматриваемом случае имеют место законы Снеллиуса. Обозначим как и ранее ϕ1 = ϕ (угол падения), ϕ = π − ϕ 2 = γ (угол отра-

Рис. 19.6
жения) и ϕ3 = ϑ (угол преломления). Учитывая (19.17) и (19.18) и используя
условие непрерывности Н τ , Е τ при переходе границы (z=0), из (19.29) получим
261

. −

. 0

. +

A +A =A
. 0

(H xI = H xII ),

. −

(19.31)

. +

(A − A ) W10 cos ϕ = A W20 cos ϑ (E yI = E yII ).

Введем коэффициенты отражения и прохождения. Для их определения
r

.

теперь удобно воспользоваться Н τ , поскольку вектор Н параллелен границе
r. r .
раздела и H = x0 H x . Положим
. −

.

ρB =

H τ (0)
. 0

. −

=

H τ (0)

τB =

H τ (0)
. 0

H τ (0)

. 0

=

H x (0)

. +

.

H x (0)

. −

H x (0)
. 0

. 0

,

(19.32)

.

(19.33)

A

. +

=

A

. +

=

H x (0)

A

. 0

A

.

.

При таком определении ρ B , τ B из (19.31) имеем
⎫
⎪
1 + ρB = τB ,
⎪⎪
⎬
0
.
.
W cos ϑ ⎪⎪
1 − ρ B = τ B 20
W1 cos ϕ ⎪⎭
.

.

(19.34)

Решая (19.34), находим
2 W10 cos ϕ
τB = 0
,
W2 cos ϑ + W10 cos ϕ

(19.35)

W10 cos ϕ − W20 cos ϑ
ρB = 0
W2 cos ϑ + W10 cos ϕ

(19.36)

.

.

.

Проанализируем функцию ρ B (ϕ) в простейшем случае, когда обе среды
являются идеальными диэлектриками, т.е. ε1'', 2 = 0, µ1'', 2 = 0, µ1 = µ 2 = µ 0 . В этом
случае

262

.

ρB =

=

⎛
⎞
ε
= ⎜ cosϑ = 1 − sin 2 ϑ = 1 − 1 sin 2 ϕ ⎟ =
⎟
ε2
ε 2 cos ϕ + ε1 cosϑ ⎜⎝
⎠

ε 2 cos ϕ − ε1 cosϑ

ε 2 cos ϕ − ε1 ε 2 − ε1 sin 2 ϕ
ε 2 cos ϕ + ε1 ε 2 − ε1 sin 2 ϕ
(19.37)

Пусть ε 2 > ε1 , т.е. отражения происходят от оптически более плотной
среды. Представим, как и ранее,
.

ϕ → 0, cos → 1, sin → 0, ρ =

ε 2 − ε1 ε 2
ε 2 + ε 1ε 2

> 0, Φ B = 0,

.

ϕ → 90 0 , cos ϕ → 0, sin ϕ → 1, ρ = −1, ρ = 1, Φ B = 180 0.

Отсюда следует, что должен существовать такой угол ϕ0 , при котором
.

ρ = 0; угол ϕ0 называется углом Брюстера. Из (19.37) находим
ε 2 cos ϕ 0 − ε1 ε 2 − ε1 sin 2 ϕ 0 = 0.

(19.38)

Очевидным решением (19.38) является
cos ϕ 0 =

ε
ε1
ε2
, sin ϕ 0 =
или tgϕ 0 = 2 .
ε1 + ε 2
ε1 + ε 2
ε1

(19.39)

Напомним, что в случае горизонтальной поляризации углов ϕ0 , при ко.

торых ρ = 0 не существует, т.е. описанное явление характерно только для
вертикально поляризованных волн. Физическая сущность этого явления состоит в следующем. Из второго закона Снеллиуса (19.18) находим
sin ϑ0 =

ε1
ε2

sin ϕ 0 = cos ϕ 0 .

Таким образом, допустимое направление распространения отраженной
волны z2 и направление распространения преломленной волны z3 ортогоr
r
нальны (рис. 19.7), т.е. y 03 || z 02 .

263

Рис. 19.7
r

r

Вектор же Е + ориентирован по y 03 . В таком же направлении колеблются электрические заряды в среде 2. Эти колеблющиеся заряды представляют
r
собой элементарные электрические диполи, ориентированные по y 03 . Отраженная волна образуется за счет их суммарного излучения. Однако диаграмма направленности элементарного электрического диполя такова (см. главу
r
13 из части 4), что вдоль оси диполя (в нашем случае y 03 ) излучение отсутстr
r
вует. Поэтому, если y 03 || z 02 , отраженная волна не возникает. В случае же гоr r
ризонтальной поляризации E || x 0 отраженная волна всегда существует. Если
на границу раздела диэлектриков падает электромагнитная волна с произвольной поляризацией при ϕ = ϕ 0 , то отраженная волна будет иметь линейную – горизонтальную поляризацию.
Построим теперь ход зависимостей ρ В (ϕ) и Φ В (ϕ) (рис. 19.8)

Рис. 19.8
Пусть теперь ε1 > ε 2 . Тогда зависимости ρ В (ϕ) и Φ В (ϕ) изменяются за
счет того, что будет существовать ϕ = ϕ кр , начиная с которого ρ В =1. Как и в
предыдущем случае (горизонтальная поляризация) ϕ кр определяется условием

264

ε2
, ϕ кр > ϕ 0
ε1

ε 2 − ε1 sin ϕ кр = 0, т.е. sin ϕ кр =

Графики зависимостей ρ В (ϕ) и Φ В (ϕ) приведены на рис. 19.9

Рис. 19.9

19.4. Отражение плоских волн от плоской границы
среды с потерями
Предположим, что в среде 1 потерь нет, а в среде 2 потери имеются.
Тогда

⎫
⎪
k1 = β1 ,
⎬
&
k2 = β 2 − jα 2 .⎪⎭
.

(19.40)

Как и ранее необходимым условием согласования полей на границе
раздела является равенство (2-й закон Снеллиуса):
.

.

k 2 sin ϕ 3 = k 1 sin ϕ1 .

(19.41)
.

.

Из (19.41) следует, что ϕ3 - комплексное число, поскольку k 2 - комплексное, а справа в (19.41) стоит действительное число.
Запишем фазовый множитель проходящей волны f3 (y, z)

f3 ( y, z ) = е
(19.42)

− jk&2 ( y sin ϕ&3 + z cos ϕ 3 )

.

Обозначим
.

.

k 2 sin ϕ3 = β y = k 1 sin ϕ1 ,

(19.43)

.

k&2 cos ϕ 3 = k&22 − k&12 sin 2 ϕ1 = β z − jα z .
(19.44)
Перепишем теперь f3 (y, z)

265

f 3 ( y, z ) = е − α z z ⋅ е

(

− j β y y +β z z

)

(19.45)

.

Теперь очевидно, что фазовый и амплитудный фронты проходящей
волны различаются. Действительно, условие равных амплитуд в соответствии с (19.45) выражается как
z = const,
(19.46)
Условие равных фаз выражается как
(19.47)

β y y + β z z = const

Амплитудный и фазовый фронт оказываются развернутыми, как это
показано на рис. 19.10 (направление распространения z3 проходящей волны
перпендикулярно к фазовому фронту). Нетрудно увидеть, что в системе координат z3 условие постоянства фазы может быть записано как z3=const или,
используя угол преломления ϑ , можно записать
z3 = ysin ϑ + zcos ϑ = const.
(19.48)
Из сравнения (19.48) и (19.47) находим угол преломления ϑ

tgϑ =

βy
βz

k1 sin ϕ1

=
Re

2
.2
k 2 − k1 sin 2 ϕ1

(19.49)
Уравнение (19.49) выражает закон преломления в случае, когда среда 2
имеет потери.

Рис. 19.10
Рассмотрим предельные случаи.

266

1. Потери в среде 2 пренебрежимо малы, т.е. α 2 << β 2 . Тогда по формуле
.

(19.49) можно приближенно положить k 2 ≈ β 2 . В этом случае в (19.43)
sin ϕ 3 / sin ϕ1 ≈ k 1 / β 2 , т.е. ϕ 3 = ϑ как и в случае отсутствия потерь.
2. Среда 2 по своим свойствам близка к идеальному проводнику. Тогда
.
ωµ σ σ
σ⎞
⎛
.
k 2 = ω µ σ ⎜ ε '2 − j ⎟ ≈ − jωµ σ σ = (1 − j)
ω⎠
2
⎝
.

В этом случае (σ → ∞ ) k 2 >> k 1 , и из формулы (19.49) следует, что
tgϑ → 0 . Таким образом, в среде с очень большой проводимостью угол преломления ϑ = 0 всегда независимо от ϕ . Это означает, что при любых углах

падения ϕ проходящая волна в среде 2 распространяется строго по нормали
к границе раздела. Этим обстоятельством можно воспользоваться для формулировки приближенных граничных условий на поверхности неидеального
проводника (приближенность этих условий состоит в том, что tgϑ приближенно равен нулю, если σ ≠ ∞ ). Плоская волна в среде 2 распространяется
r
r
нормально к границе раздела (рис. 19.11) и поэтому оба вектора Е + и Н + на
границе тангенциальны; отношение же

E& +
= W&σ0 . Используя это, можно запи+
&
H

сать

r&
E

z =0

r& r
r& r
= W&σ0 ⎡⎢ H , n0 ⎤⎥ = −W&σ0 ⎡⎢ H , n0 ⎤⎥
⎣
⎦
⎣
⎦

z =0

.

(19.50)

Условие (19.50) носит название приближенного граничного условия
Щукина-Леонтовича. Это условие широко используется в задачах электроди-

Рис. 19.11
намики; оно, в частности использовалось нами в 1 части курса при расчете
затухания в волноводах и при расчете добротности резонаторов.
Обратим внимание на характер затухания проходящей волны в среде 2
при больших σ
.
⎡
ωµσ σ ⎤
α = − J m k&22 − k12 sin 2 ϕ ≈ − J m k 2 = − J m ⎢(1 − j )
⎥ = πµσ σ f .
2 ⎥⎦
⎢⎣

267

Расстояние, на котором поле в среде 2 уменьшается в е раз по сравнению со значением его на границе раздела, называется глубиной скин-слоя δ 0 .
Очевидно, A + (δ 0 ) / A + (0) = e − αδ = e −1 , откуда следует
0

δ0 =

1
1
=
= ∆ ⋅ f −1 / 2
α
πfµ σ σ

[Гц] .

Причем ∆ =62 мм для серебра, ∆ =66 мм для меди, ∆ =127 мм для латуни.

268

ГЛАВА XX
ВЛИЯНИЕ ЗЕМНОЙ ПОВЕРХНОСТИ НА РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
20.1. Характеристики направленности реальных
излучателей в свободном пространстве
Как было показано в главе XIII вектор Умова-Пойнтинга (плотность
потока энергии электромагнитного поля) для элементарного электрического
излучателя выражается следующим образом:
2

⎛l⎞
Im ⎜ ⎟ W 0
r
r
⎝λ⎠
sin 2 θ
S0 = r0
2
8r
2

(20.1)

Из выражения (20.1) видно, что излучение даже элементарного излучателя неизотропно: плотность потока излучаемой энергии максимальна в экваториальной плоскости (θ = 90 0 ) и отсутствует в направлении оси излучателя
(θ = 00 ) . Для характеристики направленности излучателя введем понятие о
диаграмме направленности излучателя, определив ее с помощью следующей угловой функции:
F(θ, ϕ) =

E m (θ, ϕ)
| r =const , где r – расстояние от излучателя.
E m max

(20.2)

Функция F(θ, ϕ) является характеристикой направленности действия
любого излучателя (антенны).
Для сравнения различных по направленности действия излучателей
введем понятие об изотропном излучателе, который излучает по всем направлениям одинаково. Для такого излучателя S0 r = S00 ≠ f (θ, ϕ) . Рассчитаем
полную мощность излучения такого излучателя, выбрав для этого сферу радиуса r , окружающую излучатель
(20.3)

P = S00 4πr 2
∑

Тогда
(20.4)

S00 = P / 4πr 2
∑

С другой стороны
2

2

E 0m
E 0m
1 0 0
S = EmHm =
=
2
2 W 0 240π
0
0

(20.5)

269

Из сравнения (20.4) и (20.5) следует, что напряженность электрического поля изотропного излучателя E 0m выражается через мощность излучения
P как
∑
(20.6)

E 0m = 60P / r
∑

Используя выражение (20.6) для E 0m , введем коэффициент направленного действия (КНД) реального излучателя с той же мощностью излучения
P следующим образом:
∑

D (θ ,ϕ ) =

Em2 (θ ,ϕ )
Em0 2

r = const
P = const

∑

(20.7)
Представим D(θ, ϕ) в виде
D(θ, ϕ) =

E 2m (θ, ϕ) E m max
⋅
= F 2 (θ, ϕ) ⋅ D m
2
2
0
E m max
Em
2

(20.8)

Из (20.8) с учетом (20.6) следует
E m (r, θ, ϕ) =

60P D m
∑
F(θ, ϕ)
r

(20.9)

В частном случае, для элементарного излучателя F(θ, ϕ) = sin θ
90P
∑
sin θ
Dm = 3 2, Em =
r

Наряду с КНД используется также и другая характеристика антенн –
коэффициент усиления (КУ) G. Если подводимая к антенне мощность от генератора равна Р Γ , а мощность излучения антенны Р ∑ , то КПД антенны
η=Р

∑

РΓ < 1 и Em =

60PΓ ηD(θ, ϕ)

.

r
Величина G = η ⋅ D = G m ⋅ F 2 (θ, ϕ) называется коэффициентом усиления ан-

тенны. Напряженность поля излучателя Em при использовании Gm может
быть определена как

270

Em =

60PΓ G m
r

F(θ, ϕ)

(20.10)

Этой формулой мы и будем пользоваться в дальнейшем, обозначая
PГ = P0 .

20.2. Напряженность поля излучателя, поднятого над плоской
и однородной поверхностью Земли на высоту h1
Для определенности будем иметь в виду вертикальный элементарный
электрический излучатель и рассмотрим схему расположения излучателя и
приемника, изображенную на рис. 20.1. Волна от источника (0) к приемнику
(А) распространяется двумя путями – r1 и r2. В последнем случае волна отражается в области В от плоской земной поверхности. Направление на приемник по пути r1 определяется углом θ1 , по пути r2 − θ 2 . Высоты подъема антенн
передатчика и приемника соответственно h1 и h2. Распространение волны по
пути r2 можно условно представить, как распространение по прямолинейному пути из точки О1 (разумеется, учитывается коэффициент отражения в области В, а свойства среды предполагается теми же, что над поверхностью
земли).
Для расчета интерференционного поля в точке А введем следующие
предположения: h1<<r1, h1<<r2. Тогда r1 ≈ r2 , r1 || r2 (рис. 20.2). Соответственно

Рис. 20.1

Рис. 20.2

(θ = θ1 )

θ 2 ≅ 180 0 − θ1 , r2 = r1 + 2h 1 cos θ

(20.11)

Учитывая эти упрощения, запишем поле в точке А
.

.

.

.

.

.

.

.

E = E 1 + E 2 , E 1 = E m1 е − jkr1 , E 2 = E m 2 ρ е − jkr2
.

(20.12)
.

.

Здесь ρ = ρе − jΦ - коэффициент отражения в точке В. Запишем E1 , E 2 через мощность генератора Р0

271

.

E1 =

.

E2 =

60P0 G m

⎫
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
0
− jΦ − jkr2 jωt ⎪
F 180 − θ ρе е е .
⎪⎭

F(θ )е − jkr1 е jωt ,

r1
60P0 G m
r2

(

(20.13)

)

Используя (20.11) и предполагая, что

F(θ) = F(180 0 − θ),

получим

(r2 ≈ r1 = r )
.

E=

60P0 G m
r

(

)

e j( ωt − kr ) 1 + ρe − j(2 h1k cos θ+ Φ ) F(θ )

(20.14)

Запишем теперь модуль комплексной амплитуды
Em =

60P0 G m
r

[

]

F(θ) 1 + ρ 2 + 2ρ cos(2h 1 k cos θ + Φ )

1/ 2

(20.15)

.

Формула (20.15) является основой для дальнейшего анализа влияния
отражений от земной поверхности на диаграмму направленности излучателей. В случае горизонтального вибратора в формуле (20.15) следует угол θ
заменить на угол ϕ .
Таким образом, как следует из сравнения формул (20.10) и (20.15), за
счет отражений от земной поверхности в выражении Em появляется интерфе1/ 2

ренционный множитель I (θ ) = ⎡⎣1 + ρ 2 + 2 ρ cos ( 2h1k cosθ + Φ ) ⎤⎦

.

20.3. Поле вертикального вибратора над плоской
отражающей поверхностью
Пусть свойства среды над отражающей поверхностью определяются
.

.

.

.

как ε1 ,µ1 , свойства среды под отражающей поверхностью - ε 2 ,µ 2 . Соответст.

.

.

.

.

венно k 1 = ω ε1 µ1 , k 2 = ω ε 2 µ 2 , W10 =

µ1
.

ε1

.

, W20 =

µ2
.

ε2

.

.

Коэффициент отражения ρ В для вертикально поляризованной волны
выражается следующим образом:
.

ρB =

W10 cos θ − W20 cos ϑ
W10 cos θ + W20 cos ϑ

(20.16)

Здесь ϑ - угол преломления. Используя второй закон Снеллиуса, исключим cos ϑ

272

cos ϑ = 1 −

k 12
sin 2 θ
2
k2

(20.17)

Подставляя (20.17) в (20.16), получим
.

ρB =

k 2 W10 cos θ − W20 k 22 − k 12 sin 2 θ
k 2 W10 cos θ + W20 k 22 − k 12 sin 2 θ

Рассмотрим два предельных случая, представляющих практический
интерес.
1. Отражение происходит от границы среды, которая может быть охарактеризована как проводник (ДВ, СВ над сушей и морем, КВ над морем). В
этом случае W20 → 0, ρ B = 1, Φ B = 0 . Соответственно
Em =

60P0 G m
r

F(θ) 2[1 + cos(2h 1 k cos θ)] =

60P0 G m
r

F(θ )2 cos(h 1 k cos θ ) .

В отличие от поля в свободном пространстве здесь появляется интерференционный множитель I(θ) = 2 cos(h 1k cos θ) . Теперь диаграмма направленности излучателя изменяется: F1 (θ) = F(θ) ⋅ I(θ) .
Проанализируем функцию I(θ) . Нули этой функции определяются условием
h 1k 1 cos θ 0 =

π 3π
, ,...
2 2

Таким образом,
cos θ 0 =

2n + 1 λ
⋅ , n = 0, 1, 2,...
4
h1

Соответственно максимумы | I(θ) | определяются условием
cos θ max =

n
⋅λ .
2h 1

(20.18)

В направлениях θ = θ 0 излучение отсутствует, в направлениях θ = θ max
напряженность поля оказывается вдвое большей, чем в свободном пространстве ( | I(θ) | =2). Диаграмма направленности элементарного излучателя при
h 1 λ =3 показана на рис. 20.3. Число лепестков диаграммы направленности N
легко определить, исходя из формулы (20.18)

273

Рис. 20.3
N = n max + 1, n max ≤

2h 1
.
λ

Таким образом, чем больше относительная высота подъема излучателя
h 1 λ , тем больше интерференционных лепестков имеет диаграмма направленности.
2. По своим свойствам отражающая среда (земля) близка к диэлектри.

ку, т.е. ε '2 >> σ 2 ω (КВ, УКВ над сушей). В этом случае ρ В = f (θ) . Напомним
характер этой зависимости (рис.20.4 – идеальный диэлектрик, рис. 20.5 – ди.

электрик с потерями ρ В = ρ B e − jΦ ).
B

Рис. 20.4
Рис. 20.5
Здесь θ 0 - угол Брюстера. Как следует из приведенных зависимостей
ρ В , ρ В = 1 достигается только при θ → 90 0 , т.е. только для скользящих лучей.
При θ > θ 0 Φ B = π , при θ < θ 0 Φ B = 0 для идеальной отражающей поверхности (в отсутствии потерь). Поэтому рассмотрим раздельно случаи
θ > θ0 и θ < θ0

1) θ > θ 0 , Φ B ≈ π , ρ B ≤ 1,

274

Em =

60P0 G m
r

F(θ ) 1 + ρ B − 2ρ B cos(2h 1 k 1 cos θ ),
2

I(θ) = 1 + ρ B − 2ρ B cos(2h 1 k 1 cos θ)
2

Проанализируем положения минимумов и максимумов интерференционного множителя I(θ) .
Imax соответствует cos(2h 1k 1 cos θ max ) = −1, т.е. cos θ max =

2n + 1 λ
⋅ .
4
h1

Соответственно направления минимального излучения находятся из
условия
cos θ min =

n λ
⋅ .
2 h1

При этом
=
E max
m

E min
m =

60P0 G m
r
60P0 G m
r

⎫
F(θ max )[1 + ρ B (θ max )],⎪
⎪⎪
⎬
⎪
F(θ min )[1 − ρ B (θ min )] ⎪
⎪⎭

(20.19)

Заметим, что для n = 0, θ min = π 2 и ρ B (θ min ) = 1 и, следовательно, E min
m =0.
2) θ < θ 0 , Φ B ≈ 0, ρ B < 1,
Em =

60P0 G m
r

F(θ) 1 + ρ B + 2ρ B cos(2h 1 k 1 cos θ ) .
2

Соответственно
cos θ max =

n λ
2n + 1 λ
⋅ .
⋅ , cos θ min =
2 h1
4
h1

т.е. эти условия по сравнению с предыдущими противоположны.
Поля Emmin и Emmax описываются теми же формулами (20.19). Типичная диаграмма направленности вертикального диполя для рассматриваемого случая
σ2 '
⎛ 1
⎞
, ε1 < ε 2' ⎟ приведена на рис. 20.6.
⎜ ε 2 >>
ω
⎝
⎠

275

Z

θ
F(θ)

0

2 X

Рис. 20.6

20.4. Поле горизонтального вибратора, поднятого
над плоской поверхностью земли на высоту h1
В рассматриваемом случае поле излучателя рассматривается в экваториальной плоскости и поэтому в расчетных формулах следует заменить
θ на ϕ . Напомним одновременно, что излучение элементарного электрического излучателя в экваториальной плоскости изотропно, т.е. E m ≠ f (ϕ) и F(ϕ) = 1 .
Таким образом, в рассматриваемом случае
Em =

60P0 G m
r

1 + ρ г + 2ρ г cos(2h 1 k 1 cos ϕ + Φ г ) .
2

Коэффициент отражения для горизонтально поляризованных волн, как
показано в теме 4, рассчитывается следующим образом:
.

ρ г = ρ г е − jΦ Γ =

0
0
2
2
2
W20 cos ϕ − W10 cos ϑ k 2 W2 cos ϕ − W1 k 2 − k 1 sin ϕ
=
.
W20 cos ϕ + W10 cos ϑ k 2 W20 cos ϕ + W10 k 22 − k 12 sin 2 ϕ

Рассмотрим те же предельные случаи, что и в предыдущем разделе.
1. Отражающая среда близка по своим свойствам к проводнику
.
W0
σ ⎞
⎛ '
⎜ ε 2 << 2 ⎟ . В этом случае 20 → 0 и ρ г = −1, т.е. ρ г = 1, Φ г = π . Соответственно
ω⎠
W1
⎝

Em =

60P0 G m
r

2 sin (h 1 k 1 cos ϕ).

Направления максимального излучения, ϕ max находятся из условия
cos ϕ max =

2n + 1 λ
⋅ , n = 0, 1, 2,...
4
h1

Направления, в которых излучение отсутствует, определяются как

276

cos ϕ min =

n λ
⋅ .
2 h1

Диаграмма направленности излучателя в рассматриваемом случае показана на рис. 20.7. Число лепестков диаграммы направленности определяется как
⎛ 2h 1 ⎞
N = n max + 1 ≤ ⎜ 1 + ⎟ .
2⎠
⎝ λ

На рис. 20.7 изображен случай, когда h 1 λ =2,3.

Рис. 20.7
2. Отражения происходят от поверхности среды, близкой по своим
свойствам к идеальному диэлектрику. В этом случае графики зависимостей
ρ г (ϕ) и Φ г (ϕ) имеют вид, изображенный на рис. 20.8. В предельном случае, ко-

Рис. 20.8
гда σ 2 ε 2′ω → 0, Φ Γ = π . Поэтому
Em =

60P0 G m
r

1 + ρ г − 2ρ г cos(2h 1 k 1 cos ϕ) .
2

Направления минимального излучения определяются как

277

cos ϕ min =

n λ
⋅ , E min
m =
2 h1

60P0 G m
r

[1 − ρ г (ϕ min )].

Направления максимального излучения определяются следующим образом:
cos ϕ max =

2n + 1 λ
⋅ , n = 0,1,2,... E max
=
m
4
h1

При n = 0 ϕ min =

π
2

60P0 G m
r

[1 + ρ г (ϕ max )] .

⎛π⎞
и ρ г = 1, поэтому E m ⎜ ⎟ = 0 .
⎝2⎠

Типичная диаграмма направленности в рассматриваемом случае приве-

Рис. 20.9
дена на рис. 20.9. В отличие от случая вертикального вибратора возможно
излучение в вертикальном направлении.

278

20.5. Распространение радиоволн над неоднородной
и негладкой отражающей поверхностью
Свойства отражающей поверхности на протяжении радиотрассы (в
пространстве между передатчиком и приемником) обычно не остаются одинаковыми, т.е. отражающая поверхность обычно неоднородна, и поэтому
возникает проблема определения ρ& β , ρ& r в интерференционных формулах
типа (19.25), (19.36). Заранее очевидно, что при отражении играют роль свойства ограниченного участка отражающей поверхности, границы которого определяются пересечением эллипсоида существенной области и отражающей

.

Рис. 20.11

.

Рис. 20.10

поверхности (рис. 20.10). Этот участок имеет вид вытянутого в направлении
радиотрассы эллипса с поперечными размерами (рис. 20.10).
1

1
as ≅ Rn = (nλ r ) 2 ,
2

Rn - диаметр существенной области,
bs =

as
.
cos ϕ

В КВ диапазоне существенная область при отражении обычно в поперечнике занимает десятки метров, в продольном направлении – десятки километров ( h1 ≈ h2 ). На таком протяжении свойства отражающей поверхности
могут меняться. Обычно используется среднее значение коэффициента отра−

жения ρ по существенной области. Значение ρ может быть определенно

279

экспериментально при изменении h1 или h2 с использованием формул типа
(20.19):
min
min
max
E m = 1− ρ ; ρ = 1− E m / E m .
max
min
max
ρ
1
+
1
+
/
Em
Em Em
При отражении существенны не только свойства отражающей среды,
но форма ее границы. В случае, когда поверхность негладкая, ее наклон по
отношении к направлению на излучатель изменяется вдоль трассы, что может вызвать многолучевое отражение в сторону приемной антенны (рис
20.11). Это, конечно, имеет место только в том случае, когда характерные
размеры неоднородности рельефа отражающей поверхности значительно
превосходят рабочую длину волны. Только тогда возникает многолучевое
отражение.
Если неровности отражающей поверхности не очень велики по сравнению с длинной волны электромагнитного поля, то при некоторых условиях
ими можно пренебречь. Эти условия формулируются известным критерием
Релея. Рис 20.12 иллюстрирует суть этого критерия.
Пусть неровность имеет высоту h над отражающей «средней» плоскостью. И

Рис. 20.12

пусть плоская волна падает на эту систему под углом θ . Луч 1 отражается от
вершины неровности, луч 2 – от «средней» плоскости. Разность их хода в соответствии с чертежом (рис 20.12). ∆r = r2 − r1 = 2h cos θ , Фазовое запаздывание
луча 2 относительно луча 1, тогда составляет ∆ϕ = 2kh cos θ , k = 2π / λ . Это запаздывание несущественно, если ∆ϕ < π / 4 .
Это условие приводит к следующему критерию (критерию Релея):

h<

λ
16cosθ

Поскольку в знаменателе справа стоит cosθ , то очевидно, что для
скользящих лучей (θ → π ) критерий Релея выполняется для весьма боль2
ших h λ . А этот случай, как указывалось выше, как раз и характерен для наземных радиотрасс, когда h1 ~ h2 .

280

20.6. Формула Введенского
Рассмотрим случай, когда ϕ(θ) близок к 90 0 . В этом случае, если свойства отражающей поверхности соответствуют в данном диапазоне диэлектрику, ρβ → 1 , Φ β ⇒ π , ρ r → 1 , Φ r → π , причем для горизонтального вибратора
эти приближения справедливы в большем диапазоне углов падения, чем для
вертикального (см. рис. 19.4 и 19.8). Общая интерференционная формула
(20.15) в этом случае имеет вид:
Em =

60P0 G m
r

(20.20)

F(θ)2 sin( h 1k 1 cos θ).

Напомним, что 2h 1 cos θ = r2 − r1 - разность хода прямого и отраженного
лучей. Построим следующую схему вычисления r2 − r1 (рис 20.13). Из прямоугольного треугольника АОВ находим r1 :

Рис. 20.13
⎡ (h − h ) 2 ⎤
r1 = r 2 + (h 1 ± h 2 ) 2 ≈ r ⎢1 + 2 2 1 ⎥.
2r
⎣
⎦

(20.21)

В (20.21) учтено, что h1 << r, а также принято новое условие h 2 << r, отражающее то факт, что θ(ϕ) → 90 0 и, следовательно, h 2 ~ h 1.
Из треугольника АСД находим r2 :
⎡ (h 2 + h 1 ) 2 ⎤
r2 ≈ r ⎢1 +
⎥.
2r 2
⎣
⎦

Таким образом,
r2 − r1
hh
= h 1 cos θ ≅ 1 2 .
2
r

Положим далее, что

281

k1

h 1h 2 2π h 1h 2
π
=
<<
λ1 r
r
9

и, следовательно,
sin( h 1 k 1 cos θ) = sin(

2πh 1 h 2
2π h 1 h 2
.
)≈
λ1 r
λ1r

(20.22)

Подставляя (20.22) в (20.20), получаем
E=

60P0 G m
λ1 r 2

(20.23)

4πh 1h 2 .

Выражение (20.23) и представляет собой формулу Введенского. Эта
формула отличается простотой, однако не следует забывать, что она справедлива только в случае ϕ, θ → 90 0 , h 12 h 2 << r1 . когда ρβ,r > 0,95, Φ β,r > 1750 и когда
λr >> h 1h 2 .

20.7. Учет сферичности земной поверхности
До сих пор мы пользовались предположение о том, что отражающая
поверхность плоская. При распространении волн вблизи земной поверхности
на достаточно больших расстояниях приходится учитывать сферичность
земной поверхности и вносить соответствующую коррекцию в используемые
формулы.
Определим вначале максимальное распространение прямой видимости
для заданных высот антенн h 1 и h 2 (рис. 20.14). Треугольники ОСВ и АСВ –

.

Рис. 20.14

прямоугольные, поскольку в точке С луч ОА касается земной поверхности.
Будем считать, что высоты приемной и передающей антенн h1, h 2 << R 3 ( R 3 радиус земли).
Тогда можно записать: OC = (R 3 + h 1 ) 2 − R 32 ≈ 2R 3 h 1 ,
CA = (R 3 + h 2 ) 2 − R 32 ≈ 2R 3 h 2 .

Таким образом, максимальное расстояние прямой видимости определяется как
282

r0 = OC + CA = 2R ( h 1 + h 2 ).

Учитывая, что R3 =6370 км, получаем

r0 [ км ] = 3,57( h1 [ M ] + h2 [ M ]).

Рассмотрим далее случаи, когда r < r0 . В этих случаях с достаточной
степенью точности можно считать, что отражения происходят от плоской поверхности (в пределах существенной при отражении области поверхность
можно считать плоской: рис. 20.15). Если определить приведенные высоты

Рис. 20.15

антенны h 1' и h '2 , то можно использовать все полученные ранее формулы, заменяя в них h 1 на h 1' , h 2 − на h '2 . Определим h 1' и h '2 . При этом будем считать,
что h 1 , h 2 << R 3 , r < r0 и угловое расхождение между h 1 и h 2 пренебрежимо мало, т.е. h 1 ~ // h 2 . Тогда h 1' ≈ h 1 − ∆h 1 , h '2 ≈ h 2 − ∆h 2 . Причем

(O1C ) 2
(CA1 ) 2
∆h1 ≈
, ∆h2 ≈
.
2 R3
2 R3
При определении O1C и CA1 обычно рассматриваются два предельных
случая.
1. r << r0 ; это случай, приближающийся к плоской задаче (рис. 20.16). Из

Рис. 20.16

геометрической задачи находим
О1С h 1
≅ , O1C + CA1 = r
СA1 h 2

283

Таким образом, в этом случае
O1C ≅ r

h2
h1
, CA1 =
.
h1 + h 2
h1 + h2

2. r ≈ r0 ≈ 2R 3 ( h 1 + h 2 ) .
O1 C ≈ r

h1
h1 + h 2

, CA1 ≈ r

(20.24)

Тогда O1C ≈ 2R 3 h 1 , CA1 ≈ 2R 3 h 2 .
h2
h1 + h 2

(20.25)

.

Во всех промежуточных случаях перерасчет обычно не производится, а
берется среднее значение O1C и CA1 , определяемое по формулам (20.24) и
(20.25). Таким образом, за счет использования приведенных высот антенн
h 1' и h '2 задача сводится к плоской, и все предыдущие результаты могут быть
использованы.
20.8. Распространение радиоволн вблизи земной поверхности.
Поверхностные волны
Рассмотрим случай, когда излучатель находится непосредственно на
земной поверхности, т.е. h 1 → 0 . Будем считать, что свойства земной поверхности в данном диапазоне можно считать близкими к проводнику. Если
σ → ∞ , то для вертикального вибратора
E ⊥m = 2

E ||m =

60P0 G m
r

60P0 G m
r

F(θ) cos(h 1k 1 cos θ) = 2

60P0 G m
r

F(θ) (h 1 → 0).

2F(ϕ) sin( h 1 k 1 cos ϕ) = 0 (h 1 → 0)

(20.26)

(20.27)

Таким образом, далее имеет смысл рассматривать только вертикальный
вибратор.

284

Как следует из (20.26), поле вибратора из-за идеально проводящей поверхности удваивается в верхней полуплоскости по сравнению со свободным
пространством. Структура поля вблизи проводящей поверхности изображена
на рис. 20.17. Линии напряженности электрического поля нормальны к идеально проводящей поверхности, линии напряженности магнитного поля
строго параллельны этой поверхности. Вектор Умова-Пойнтинга направлен
r
параллельно поверхности непосредственно вблизи ее. Поскольку вектор Е
нормален к идеально проводящей поверхности, при плавных ее изгибах (радиус изгиба намного больше длинны волны) волна вблизи проводящей поверхности следует за ее изгибами (рис 20.18). Вектор Умова-Пойнтинга ме-

Рис. 20.17

Рис. 20.18

няет направление и вблизи границы направлен по касательной к ней. Вдали
же от границы поле изменяется только из-за изменений фазовых условий в
отраженной волне в случае изгиба границы, т.е. изменяются лишь условия
интерференции. Поле вдали от границы «не замечает» ее деформации и направление распространения волн изменяется слабо. Таким образом, вблизи
границы образуется типично поверхностная волна, амплитуда которой быстро убывает с увеличением расстояния от поверхности. Эта волна следует за
изгибами «ведущей» поверхности, как в плавно изогнутом волноводе.
В случае, когда σ конечна, картина качественно изменяется за счет того, что часть энергии поверхностной волны теряется; поля проникают через
границу, в толщу земли. Чем ближе волновое сопротивление земли к 377 Ом,
тем большая часть энергии тратится на потери в земле. Формально затухание
.

поверхностной волны можно учесть, введя множитель затухания Fs .
.

E ⊥m = E 0⊥m Fs

где E 0⊥m - поле поверхностной волны при σ → ∞ .
.

Расчет Fs в общем случае достаточно сложен. Для приближенной его оценки
обычно используется формула Шулейкина-Ван дер Поля
.

Fs =

2 + 0,3ρ
,
2 + ρ + 0,6ρ 2

(20.28)

285

π r
- приведенное расстояние.
λ ε*2 ε 2

где ρ =

ε 2 = ε '2 − jε '2' .

Формула Шулейкина-Ван дер Поля применима при условии ε '2' > ε '2 .
При ρ > 10 из (20.28) получаем
.

Fs ≅

1
2ρ

(20.29)

Как следует из (20.29), закон изменения амплитуды напряженности поля поверхностной волны с расстоянием r соответствует

1
. Напомним, что в
r2

свободном пространстве амплитуда напряженности поля излучателя убывает
с расстоянием от источника r как

1
; то же самое относится и к интерференr

ционному полю вдали от отражающей поверхности. Поскольку зависимость
от r вблизи неидеальной отражающей поверхности (θ ≅ 90 0 ) и вдали от нее
(т.е. при θ < 90 0 ) изменяется с изменением r. Характерные изменения в зависимости от ρ(r ) представлены на рис.20.19.

.

Рис. 20.19
.

.

Учтем теперь, что Fs - комплексный множитель, т.е. Fs = Fs e + jϕ и, следовательно, E m⊥ = E 0m⊥ Fs e + jϕ = 2

60P0 G m
r

Fs e − j( ωt −k1r −ϕ) . Причем,

ϕ = ϕ (r ) . Введем

обозначение: k 1r + ϕ = k 1' r .
Поскольку k 1 =

ω
ω
= const , k 1' =
, υΦ = υΦ (r ) и, кроме того, υΦ < C , т.е.
c
υΦ

поверхностная волна оказывается замедленной. Степень замедления зависит
от свойств земной поверхности: чем больше ее проводимость и чем, следовательно, меньше потери, тем меньше и замедление и наоборот. Особенно резко изменяется υΦ для данного диапазона длин волн при распространении
волн над сушей (малая проводимость) и над морем (большая проводимость).
Это различие лежит в основе явления, называемого береговой рефракцией.

286

Сущность его поясняется на рис. 20.20. Фазовая скорость υΦ1 распростране-

.

Рис. 20.20

ния поверхностных волн над морем больше, чем скорость υ Φ 2 распространения этих волн над сушей. Вследствие этого точка, лежащая на фронте волны
А, проходит над сушей путь АА’ – меньший, чем путь ВВ’, проходимый точкой В над морем. В результате фронт волны над сушей оказывается развернутым на угол α ; на тот же угол изменяется направление распространения
волн. Поэтому из точки наблюдения a источник виден в направлении на точку 0 ' , а не на точку 0, где он действительно расположен. Угол α называется
углом рефракционной ошибки; при отладке работы береговой радиолокационной станции он тщательно измеряется и учитывается на каждом из рабочих диапазонов.

20.9. Дифракция радиоволн вокруг сферической
земной поверхности
В диапазоне длинных и сверхдлинных радиоволн существенное значение имеет дифракция радиоволн вокруг сферической земной поверхности.
Если приемная и передающая антенны закрыты шаровым сегментом высоты
h и h меньше радиуса существенной области R n , в точке приема А будет существовать достаточно заметное дифракционное поле (рис.20.21). Поскольку
R n ~ λ , чем больше λ , тем существеннее явление дифракции и, наоборот, с
уменьшением λ явление дифракции становится все более несущественным

Рис. 20.21

287

при расчете поля в точке приема. На рис 20.22 представлены зависимости
напряженности дифракционного поля в точке приема в зависимости от рас-

Рис. 20.22

стояния для различных диапазонов волн при Р 0 = 1 кВт.
Пунктирные линии соответствуют случаю распространения волн над
морем, сплошные – над сушей.

288

ГЛАВА XXI
РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В ТРОПОСФЕРЕ
21.1 Строение тропосферы
Тропосферой называется нижняя часть атмосферы до высоты порядка
15 км. Если предположить, что состав газов и температура не меняются по
высоте, то давление в атмосфере определяется известной барометрической
формулой
p = p0e

−

Mg
h
RT

(21.1)

где h – высота, R=8,32 Дж/град.моль, T – абсолютная температура, g – ускорение силы тяжести, M – масса грам-молекулы газа.
На самом деле температура в тропосфере не остается постоянной, а падает с высотой приблизительно на 50 С с каждым километром, поэтому формула (21.1) имеет приближенный характер. Состав же тропосферы действительно остается постоянным по высоте и составляет: 78% - молекулярный
азот, 21% - молекулярный кислород, 1% - прочие составляющие – озон, пары
воды, углекислый газ и др.
Относительная диэлектрическая проницаемость тропосферы определяется следующей эмпирической формулой:
4800Pп
⎡157
⎤
(p +
)10 −6 ⎥
ε =1+ ⎢
T
⎣ T
⎦

(21.2)

Здесь Рп – парциальное давление паров воды в тропосфере. Как видно из
(21.2), водяные пары существенно изменяют значение ε тропосферы, что
связано с большим значением ε для воды. Ввиду малого отличия ε от 1 показатель преломления тропосферы можно записать в виде
n = ε = (ε − 1) + 1 ≈ 1 +

ε −1
4800Pп ⎤ −6
78,5 ⎡
=1+
10
p+
⎢
T ⎥⎦
T ⎣
2

Для удобства действия с числовыми величинами, характеризующими n
тропосферы, обычно используется величина N, называемая индексом преломления

N = (n − 1)106

289

Индекс преломления тропосферы сильно зависит от высоты, метеорологических условий, времени года и широты. На высоте 9 км N=109 и не меняется в зависимости от времени года и широты.

21.2. Поглощение радиоволн в тропосфере
Поглощение радиоволн в тропосфере существенно только в дециметровом и более коротковолновых диапазонах. Это поглощение обусловлено, в
основном, тремя факторами.
1)Поляризационные потери на каплях воды.
2)Рассеяние радиоволн на неоднородностях (каплях воды, микротурбулентностях, пылевых включениях и т.п.).
3) Резонансное поглощение на частотах энергетических переходов молекул Н2О (нескомпенсированный электрический момент) и молекул О2 (нескомпенсированный магнитный момент). Резонансное поглощение является
селективным и существенно в узком диапазоне длин волн.
Суммарные потери в тропосфере характеризуются коэффициентом поглощения αТ ( Hn / км) :
r
r
r
E (r ) = E 0 (r )e −αT r = E 0 (r ) ⋅ 10−0.05 ГТ r
где Е0 – напряженность поля волны без влияния потерь, Е – действительная
напряженность поля.
В расчетах обычно используется значение коэффициента затухания в
дБ/км (Гт).

E0
ГТ = 20lg
E

r =1km

⎡ ∂Б ⎤
= 8,6 ⋅ 103αT ⎢ ⎥ .
⎣ км ⎦

.

Рис. 21.1

Рис. 21.2

290

Графики зависимости ГТ от λ для двух видов потерь приведены на
рис.21.1 (зависимость ГТ от интенсивности дождя и λ ) и рис. 21.2 (зависимость селективного поглощения в Н2О и О2 от λ ).

21.3. Рефракция радиоволн в тропосфере
Поскольку показатель преломления в тропосфере убывает с высотой,
наклонные радиолучи преломляются и отклоняются к земле. Законы преломления в тропосфере наиболее просто устанавливаются с использованием второго закона Снеллиуса для плоскопараллельной слоистой модели тропосферы (с последующим предельным переходом) – рис. 21.3. В соответствии со
вторым законом Снеллиуса
sin ϕ n n n +1
=
.
sin υ n
nn

(21.3)

n1>n2>n3

Рис. 21.3

С другой стороны, как следует из рис. 21.3,
υ1 = ϕ 2 , ⎫
⎬.
υ n = ϕ n +1 ⎭

Таким образом, (21.3) можно переписать в виде
sin ϕ n
n
= n +1 или n n sin ϕ n = n n +1 sin ϕ n +1 = const .
sin ϕ n +1
nn

Переходя к пределу ∆h → 0 , получаем точное уравнение
n sin ϕ = const .

(21.4)

Это уравнение можно рассматривать как уравнение радиолуча в плоском неоднородном диэлектрике – тропосфере.
Рассчитаем радиус кривизны радиолуча ρ (рис.21.4).

291

Рис. 21.4

Поскольку dh бесконечно тонкий слой, из рис. 21.4) находим
ρ=

dh / cos ϕ
.
dϕ

(21.5)

Определим теперь dϕ cos ϕ из уравнения радиолуча (21.4):
dn sin ϕ + ndϕ cos ϕ = 0, d (n sin ϕ) = 0,

dϕ cos ϕ = −

dn sin ϕ
.
n

(21.6)

Подставляя (21.6) в (21.5), получим
ρ=−

n
dn
sin ϕ
dh

.

(21.7)

Выражение (21.7) является общим для любого плоского неоднородного
диэлектрика и для любого луча (любое ϕ ). В случае же тропосферы n ≈ 1 и,
поскольку интерес представляют пологие лучи, sin ϕ ≈ 1 . Учитывая последние
условия, найдем
ρ = −1

dn
.
dh

(21.8)

Из (21.8) следует, что при линейном изменении n с высотой h ρ = const ,
причем, если

dn
< 0, то ρ > 0 , т.е. радиолуч откланяется в сторону земли.
dh

Для учета тропосферной рефракции обычно вводится понятие об эквивалентном радиусе земли. При этом реальная картина распространения волны заменяется эквивалентной, причем, в исходной картине поверхность земли имеет радиус кривизны R3, радиолуч – ρ , а в эквивалентной – земля имеет
радиус R3, радиус же кривизны радиолуча ρ → ∞ , т.е. в эквивалентной картине радиолуч распространяется прямолинейно. Условием эквивалентности яв-

292

ляется равенство разности кривизны радиолуча и земли в том и другом случае:
1
1 1
−0 =
− .
'
R3
R3 ρ

Таким образом, R 3' =

R3
R3
=
.
1 − R 3 ρ 1 + R dn
3
dh

В последнем равенстве мы использовали (21.8). Отношение

R 3'
обоR3

значают обычно К.
Различают следующие случаи тропосферной рефракции.
1. Отрицательная рефракция (на некоторых участках, в отдельных слоdn
> 0 . В этом случае ρ < 0 и луч отклоняется от поверхности
dh
земли. В этом случае R 3' < R 3 и К < 1 .
dn
1
4
, R 3' > R 3 , K = .
2. Нормальная рефракция:
= −4 ⋅10 −5
dh
км
3

ях тропосферы):

3. Критическая рефракция:
dn
1
= −15,7 ⋅10 −5
, ρ = R 3 , R 3' → ∞, K → ∞ .
dh
км

В этом случае в эквивалентной картине земля плоская и над ней распространяется прямолинейный радиолуч.
dn
1
.
< −15,7 ⋅10 −5
dh
км
В этом случае R 3' < 0 и К < 0 , радиолуч распространяется за счет после-

4. Сверхрефракция:

довательного отражения от земной поверхности; образуется приземной диэлектрический волновод.
Представление об эквивалентном радиусе земли весьма удобно, поскольку позволяет использовать все ранее полученные интерференционные
формулы без учета тропосферной рефракции путем простой замены.

293

ГЛАВА XXII
РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В ИОНОСФЕРЕ
22.1. Строение ионосферы
Ионосферой называется верхняя часть атмосферы, подверженная действию ионизирующего солнечного и космического излучения. Она простирается с высоты 60 км и дальше – до высот порядка 20000 км. Основными составляющими газа ионосферы по прежнему остаются азот и кислород, однако заметную часть составляют водород и гелий.
Строение ионосферы оказывается достаточно сложным; достаточно
полные сведения о строении ионосферы получены лишь в последнее время за
счет использования спутников и геофизических ракет.
Распространение электронной концентрации в ионосфере изображено
на рис. 22.1.

Рис. 22.1

С точки зрения распространения радиоволн основной интерес представляет внутренняя ионосфера, т.е. та ее часть, которая расположена ниже
главного максимума электронной концентрации. Поскольку зависимость Nе
(h) во внутренней ионосфере неравномерна и существуют скачкообразные
изменения концентрации Nе, принято деление внутренней ионосферы на
слои: D, E, F.
Слой D. Этот слой расположен на высоте 60 – 80 км. В слое D
эл
, однако, имеется большая плотность отрицательных иосм 3
ион
нов: N i− ~ 108 3 . Благодаря большой плотности газов в слое D, здесь велика
см
1
частота столкновений электронов с тяжелыми частицами ν = 10 7
. Слой D
сек
N е max ~ 10 2 − 10 3

существует только в дневное время и с заходом солнца почти мгновенно исчезает.
294

Слой Е. Его нижняя граница расположена на высоте 100 км; Ne днем
достигает 1,5 ⋅10 5 эл см 3 и падает до 1,5 ⋅10 3 эл см 3 ночью. Толщина слоя составляет 30 – 40 км. В дневное время максимум Nе в слое Е достигается в
полдень, при максимальном солнечном освещении; в ночное время Nе сохраняется почти постоянной. Слой наиболее устойчивый из слоев ионосферы.
Слой F. Этот слой расположен на высоте 250 – 400 км. Слой имеет различную структуру в зимние и летние месяцы. В зимние месяцы в дневное
время слой F расположен на высоте 220 – 240 км и Nе max после полудня достигает 6 ⋅10 5 − 2 ⋅10 6 эл см 3 ; ночью этот слой расположен на высоте 300 – 330
км и его электронная концентрация уменьшается до 2,5 ⋅10 5 эл см 3 .
В летние месяцы в дневное время слой F расщепляется на два слоя – F1
и F2. F1 расположен на высоте 200 – 230 км, F2 – на высоте 300 – 400 км. Nеmax
слоя F1 – 2 ⋅10 5 − 4 ⋅10 5 эл см 3 Ne max слоя F2 – 4 ⋅10 5 − 9 ⋅10 5 эл см 3 . В ночное время
слой F1 исчезает вслед за заходом солнца; Ne в слое F2 в это же время меняется слабо и составляет 2,5 ⋅10 5 эл см 3 .
На высотах более 300 км ионосфера представляет собой полностью ионизированный газ, т.е. нейтральных атомов здесь нет. Выше слоя F на высотах 500 – 1000 км электронная концентрация резко падает до N е ~ 103

эл
.
см 3

Здесь основной газ – атомный кислород. На высотах 1000 – 1700 км основным газом становится водород.

22.2. Механизм ионизации и рекомбинации на
больших высотах
Для перевода молекулы или атома в ионизированное состояние, молекуле или атому необходимо сообщить некоторую энергию, называемую
энергией ионизации. Эта энергия измеряется в электрон-вольтах (ЭВ) eui.
Для газов, входящих в состав ионосферы, эта величина лежит в пределах:
О 2 ≅ 12,5 эВ, О ~ 13,5 Эв, H 2 ~ 15,4 Эв, Н ~ 15,5 Эв, N 2 ~ 15,5 Эв, N ~ 14,5 Эв .
Основным источником ионизирующего излучения является Солнце –
его световые потоки и потоки заряженных частиц.
Механизм фотоионизации. Энергия при таком механизме передается
квантом излучения – фотоном, энергия которого WΦ = hf , h - постоянная
Планка. Составим баланс энергий:
hf = eu i +

mυe2
,
2

(22.1)

m, υe - масса и скорость свободного электрона.
Из (22.1) следует, что не при всех f (λ ) излучениях возможна ионизация.
Граничное значение f гр =

с
определяется из условия υe =0. Из (22.1) следует,
λ гр

что

295

λ гр =

1,24
eu i

[мкм] .

Таким образом, ионизирующим действием обладает только незначительная по энергии часть солнечного излучения – ультрафиолетовая граница
при λ < λ гр ~ 0,1 мк . Однако именно фотоионизация является основным механизмом ионизации в верхних слоях атмосферы.
Ударная ионизация. Вторым по значимости механизмом ионизации
является ударная ионизация молекул и атомов быстродвижущимися заряженными частицами. Составим баланс энергии в этом случае
mυe2
m1υ12
,
= eu i +
2
2
где m1, υ1 - масса и скорость ионизирующей заряженной частицы.

(22.2)

Как следует из (22.2), минимальная скорость υ1 для ионизации составляет ~ 0,1 с. Ударная ионизация в ионосфере составляет примерно 50% от
фотоионизации.
Другими, менее существенными источниками ионизации, являются
космические лучи и метеоры, движущиеся со скоростью большей, чем 11
км/сек.
Процессы ионизации уравновешиваются противоположными процессами – процессами рекомбинации электронов и положительных ионов. На
больших высотах концентрация отрицательных ионов N i− незначительна, поэтому можно считать, что N e ≈ N i+ . Вероятность рекомбинации тем больше,
чем больше как Ne, так и N i+ . Так как N e = N i+ , вероятность рекомбинации
можно определить как α e N e2 (α e − постоянная рекомбинации) .
⎡

эл

⎤

Пусть интенсивность ионизации I s ⎢
на данной высоте задана.
3⎥
⎣ сек. см ⎦
Тогда уравнение установления электронной плотности можно записать в
форме:
dN e
= I s − α e N e2 .
dt

(22.3)

Уравнение (22.3) легко анализируется в предельных случаях.
1. Электронная концентрация установилась,

dN e
= 0 . Тогда I s = α e N e2 .
dt

Таким образом, равновесная концентрация
N 0e =

Is
.
αe

(22.4)

296

Из (22.4) следует, что N 0e тем больше, чем меньше α e ; с другой стороны, если бы α e не зависела от высоты, то распределение N 0e (h) повторяло бы
зависимость Is(h). На самом деле это не так, поскольку с высотой меняется
давление и газовый состав верхних слоев атмосферы; образование скачков
N 0e (h) (слоев E, F, D) обусловлено именно такими факторами.
2. Источник ионизации выключен в момент t = t0 например, после захода Солнца. Тогда
dN e
= −α e N e2 .
dt

(22.4)

Решая (22.4), получаем
Ne =

N 0e
.
1 + N 0e α e ( t − t 0 )

(22.5)

Здесь N 0e - равновесная концентрация в момент t = t0.
Формула (22.5) выражает закон изменения Ne в ночные часы. Очевидно, что нижних слоях, где α e велико, Ne убывает очень быстро и поэтому
слой D, например, исчезает почти мгновенно вслед за заходом Солнца (в
нижних слоях за счет присутствия отрицательных ионов α эфф >> α e ).

22.3. Электронная диэлектрическая проницаемость
ионизированного газа без учета столкновений электронов с
ионами и нейтральными молекулами
В соответствии с материальными уравнениями, вектор электрической
индукции определяется как
r
r r
D = ε0E + P .

(22.6)

r
Здесь ε 0 - диэлектрическая проницаемость вакуума, P - вектор поляриr r r
зованности среды, P = P E .
r
пренебрегая смещением положиРассчитаем P в ионизированном газе,
r
тельных ионов. Электрический момент P , возникающий при смещении одноr
го электрона на r относительно
равновесного (в статистическом смысле) поr
r
ложения определяется как - P =e r . е – заряд электрона по модулю.

()

Если электронная концентрация равна Ne, то rсредний электрический
момент единицы объема или же вектор поляризации P определится как
r

r

- P =e r Ne.

(22.7)

297

r

Определим теперь упорядоченное смещение r в электронном
газе, возr r j(ωt −krrr )
никающее под действием поля напряженности E = E m e
. Поскольку смеr
r
щение электронов | r |<< λ , запаздыванием в формуле E можно пренебречь и
r
r
считать, что на электрон действует сила Fe = −eE m e jωt . Тогда нерелятивистское
уравнение упорядоченного движения электрона будет иметь вид (внешнее
магнитное поле отсутствует)
r
r
d2r
m 2 = −eE m e jωt .
dt

Полагая решение для вынужденного упорядоченного движения элекr r
трона в виде r = rm e jωt (установившийся режим), получим:
r
r eE
r= 2 .
ωm

(22.8)

Подставляя (22.8) в (22.7), получим
r
e2 N r
P =− 2 e E.
ωm

(22.9)

Как следует из (22.9), электронный
газ характеризуется как материальr r
ная среда с линейными свойствами (P ~ E ). Это, вообще говоря, следствие
r
сделанного выше предположения о том, что | r |<< λ . При достаточно больших
r
смещениях электронов | r |~ λ проявятся нелинейные свойства электронного
газа.
Подставляя (22.9) в (22.6), найдем
r
r e2 Ne r
⎛
e2 Ne ⎞ r
⎟⎟E
De = ε0E −
E = ε 0 ⎜⎜1 −
2
ωm
⎝ ε0ω m ⎠

(22.10)

Таким образом, как следует из (22.10), электронная диэлектрическая
проницаемость ионизированного газа определяется как
r
⎛
e2 Ne ⎞
D
⎟ = ε0ε r ,
ε = r = ε 0 ⎜⎜1 −
2 ⎟
E
⎝ ε 0 mω ⎠

εr = 1−

e2 Ne
ε 0 mω2

Введем обозначение

298

ω02 =

e2 Ne
e2 Ne
, ω0 =
ε0m
ε0m

(22.11)

ω0 носит название круговой частоты Ленгмюра или собственной кру-

говой частоты ионизированного газа.
С учетом (22.11) ε r можно переписать в виде
εr = 1−

ω02
.
ω2

(22.12)

Проанализируем полученный результат (22.12).
1) ε r - действительная величина, ε 'r' = 0 . Следовательно, потерь в ионизированном газе нет. Этот результат – следствие пренебрежения столкновения электронов с ионами и нейтральными частицами, при которых расходуется энергия, сообщенная электронам внешним полем. Без учета же этих
столкновений сообщенная электронам энергия переизлучается полностью,
без потерь.
2) ε r - величина, всегда меньшая 1. Это означает с физической точки
зрения, что конвекционный электронный ток в ионизированном газе противофазен току смещения и при ω > ω0 приводит к уменьшению последнего.
Действительно,
r
r
r
r
N ee2E
N ee2E
,
δ e = − N e eυe =
= −j
jωm
ωm

(22.13)

r
r
r
∂E
δ cm = ε 0
= jωε 0 E .
∂t

(22.14)
r

r

Сравнение (22.13) и (22.14) показывает, что δ е и δ cm действительно
противофазны.
3) При ω = ω0 , ε r = 0 и волновые явления при ω ≤ ω0 невозможны. Действительно, при ω = ω0 , как это следует из (22.13) и (22.14),
r r
r
r
δ е + δ cm = δ г = 0 и rotH = 0 .
4) При ω < ω0 поле в ионизированном газе имеет не волновой, а квазистатический характер, волновое число k = ω µ 0 ε 0 ε r оказывается число мнимым
k = − jω µ 0 ε 0

ω02
−1 .
ω2

299

При ω < ω0 волны в ионизированном газе быстро затухают, подобно
волнам в закритической области в волноводе, причем ω0 играет роль аналога
критической частоты в волноводе.

22.4. Электронная диэлектрическая проницаемость
ионизированного газа с учетом столкновения электронов
с тяжелыми частицами
За счет столкновения электронов с тяжелыми частицами изменяется их
момент количества движения и упорядоченное движение нарушается. Для
простоты будем считать по этой причине, что при столкновении электрон
полностью теряет упорядоченную составляющую момента количества двиr
жения mυ . Пусть в среднем в 1 сек. происходит ν столкновений электрона с
r
тяжелой частицей. В результате этих столкновений в среднем теряется ν mυ
количества движения электрона. С учетом этих потерь уравнение движения
электрона можно записать в виде:
r
r
r
r r dr
d(mυ)
= −eE − νmυ, υ =
.
dt
dt

(22.15)
r

r

r

Считая, как и ранее, что | r |<< λ, положим E = E m e jωt и, считая режим установившимся, представим упорядоченное смещение
электрона в форме
r
r r jωt
r
r = r e . Тогда решение (22.15) имеет вид r =
r

eE
.
mω(ω − jν )

Подставляя r в (22.7), получим следующее выражение для поляризованности среды r
r
P=−

e2 NeE
.
mω(ω − jν )

Соответственно
⎛
⎞r
e2 Ne
⎟⎟E .
D = ε 0 ⎜⎜1 −
⎝ ε 0 mω(ω − jν ) ⎠

Таким образом,
εr = 1−

e 2 N e (ω + jν )
.
ε 0 mω ω2 + ν 2

(

)

При учете столкновений находим, что ε r - величина комплексная
ε r = ε − jε 'r' . Представим действительную часть ε 'r и мнимую ε 'r' следующим
образом:
'
r

ε 'r = 1 −

2

e Ne
mε 0 ω2 + ν 2

(

)

⎡ эл ⎤
Ne ⎢ 3 ⎥
см
= 1 − 3,19 ⋅10 9 2⎣ 2 ⎦ .
ω +ν

(22.16)

300

ε 'r' =

σ
, σ = 2,82 ⋅10 −2
ε0ω

При малых

ω
ν

ε 'r = 1 − 3,19 ⋅10 9
σ = 2,82 ⋅10

−2

⎡ эл ⎤
Ne ⎢ 3 ⎥
⎣ см ⎦ .
2
ω + ν2

(22.17)

ε r′ и σ можно упрощенно записать в виде
Ne
,
ν2

(22.18)

Ne
.
ν2

Таким образом, при условии

ω
<< 1 свойства ионизированного газа соν

ответствуют проводящей среде, параметры которой не зависят от частоты.
При противоположном условии
ε 'r = 1 − 3,19 ⋅10 9
σ = 2,82 ⋅10 −2

ω
>> 1 формулы для ε 'r и σ имеют вид:
ν

Ne
,
ω2

Ne
ν.
ω2

Здесь с увеличением ω σ монотонно уменьшается.
Используя (22.16), (22.17) и результаты расчета затухания плоских
волн в проводящих средах, определим фазовую постоянную β и постоянную
затухания α в ионизированном газе
2
⎞
ε' µ 0 ⎛⎜
⎛ σ ⎞
+1⎟,
β=ω
1+ ⎜
⎟
⎟
2 ⎜
⎝ ωε' ⎠
⎝
⎠

(22.19)
2
⎞
ε' µ 0 ⎛⎜
⎛ σ ⎞
−1 ⎟.
α=ω
1+ ⎜
⎟
⎟
2 ⎜
⎝ ωε' ⎠
⎝
⎠

Проанализируем (22.19) в предельных случаях:
а) ω << ν (но ω >> ω0 ) . В этом случае
(22.18), получим: α =

µ 0 ωσ
σ
. Используя
>> 1 и β = α =
2
ωε'

µ0
ω
ω
;
⋅ 2,82 ⋅10 − 2 N e ~
2
ν
ν

301

б) ω >> ν и

σ
1 µ0
<< 1 (ω > ω0 ). Тогда β = ω0 µ 0 ε' , α =
σ . Положим, что
ωε'
2 ε'

ε 'r → 1, т.е. ω >> ω0 . При этом α =

1 µ0
ν
ν
⋅ 2,82 ⋅10 −2 N e 2 = 1,69π 2 .
2 ε0
ω
ω

Таким образом, в случае а) α возрастает с увеличением ω пропорционально

ω , в случае б) – убывает пропорционально

1
. Это говорит о том,
ω2

что в области f ≈ ν имеется максимум α . Точный анализ с учетом (22.16) и
1
2

(22.17) показывает, что этот максимум имеет место при f = ν . Именно этим
объясняется сильное поглощение радиоволн средневолнового диапазона в
слое D (ν ≅ 10 7 Гц ) и прекращение ионосферного распространения этих радиоволн в дневные часы, когда существует слой D.

22.5. Преломление и отражение радиоволн в ионосфере
Рассмотрим, как и при анализе рефракции в тропосфере (раздел 21.3),
плоскую модель для отражающих слоев (рис.22.2)

Рис. 22.2

Здесь ϕ - угол падения радиолуча на ионосферу, N0 – электронная концентрация в слое, в котором радиолуч имеет угол падения ϕ = 900. Очевидно,
что глубина проникновения радиоволны в ионосферу зависит от угла падения ϕ и от рабочей частоты ω , поскольку ε r и n зависят от частоты ω . Рассчитаем критические углы падения ϕ кр и критические частоты ω кр, при которых отражение радиолуча от ионосферы еще возможно. Используем уравнение радиолуча n sin ϕ = const или
n 0 sin ϕ 0 = n 1 sin ϕ1 .

(22.20)

Учтем, что n 0 ≈ 1 (граница ионосферы), ϕ1 = 90 0 , a n 1 = ε r . Тогда из (22.21)
получим:
sin ϕ 0 = ε r = 1 −

f 02
.
f2

f0 – ленгмюровская частота (для простоты считается, что ν = 0 ).

302

При ϕ ≥ ϕ 0 радиолучи отражаются от ионосферы. Найдем критическую
рабочую частоту fкр при заданных ϕ 0, f0 (по N = Nmax)
f кр =

f0
.
cos ϕ 0

(22.21)

При f ≤ f кр отражения всегда имеют место. Наименьшая fкр получается
при ϕ 0 = 00, т.е., когда волна падает нормально на ионосферу. В этом случае
⎡ эл ⎤
f крmin = f 0 = 80,8 N e ⎢ 3 ⎥ [кГц].
⎣ см ⎦

Сферичность Земли ограничивает максимально возможные ϕ 0, тем самым ограничивается диапазон волн, которые могут отражаться от ионосферы
(в плоско-параллельной системе могли бы отражаться волны со сколь угодно
большой частотой при ϕ0 → 90 0 , как это следует из формулы (22.21)). Определим ϕ0max и, соответственно, максимальную частоту радиоволн, отражающихся от ионосферы (рис. 22.3).

Рис. 22.3

Как следует из рисунка, sin ϕ0max =

R3
. Если положить h0 ~ 200 – 300
R3 + h0

км, то f крmax ≅ 4f 0 .

22.6. Влияние магнитного поля Земли на распространение
волн в ионосфере. Двойное лучепреломление
До сих пор мы считали, что внешние статические поля в ионосфере отсутствуют. На самом деле это не так: ионосфера находится в магнитостатическом поле Земли. Магнитное поле существенно изменяет свойства ионизированного газа, делая эту среду анизотропной. Магнитное поле приводит к
искривлению траектории движения электронов и вследствие действия маг303

нитной силы Лоренца смещение электрона под действием поля проходящей
волны в различных направлениях неодинаково. Это означает, что вектор поляризации в среде зависит от ориентации плоскости поляризации электромагнитной волны, т.е. среда – анизотропна.
Проведем анализ в предположении, что ν = 0 (т.е. будем пренебрегать
для простоты столкновениями электронов с тяжелыми частицами). Запишем
r
уравнение движения электрона в присутствии магнитостатического поля В 0
r
r
r r
d2r
m 2 = −eE − e υ, B0 .
dt

[

]

(22.22)

Воспользуемся прямоугольной системой координат
r
r r r
r = i x + j y + kz ,
r r. r. r.
υ = i x + j y+ k z .
r

r

Положим, что B = kB0 , т.е. однородное магнитное поле направлено по
оси z. Как и ранее, поляризованность среды определяется через упорядоченное смещение электронов под действием поля волны как
r
r
P = −eN e r .

(22.23)

Подставляя (22.23) в (22.22), имеем
r..
r
P = ω02 ε 0 E − ωΗ

Здесь ωΗ =

⎡ r.
⎤
⎢ P, z 0 ⎥ .
⎣
⎦

(22.24)

eB0
- циклотронная частота.
m

Распишем (22.24) в прямоугольной системе координат:
..
.
⎫
Р х = ω02 ε 0 Е х − ωΗ Р у ,⎪
..
.
⎪
Р у = ω02 ε 0 Е у − ωΗ Р х ,⎬
⎪
..
2
⎪
Р z = ω0 ε 0 Е z .
⎭

(22.25)

Рассмотрим теперь различные случаи поляризации волн (и, соответственно, направлений их распространения).
1. Волна распространяется вдоль оси z, плоскость поляризации (для
определенности) – xz. Тогда
r
r r
E = i E = i E 0 e jωt .

(22.26)

304

Представим линейно поляризованное поле (22.26) как суперпозицию
Е
лево- и правополяризованных волн одинаковой ⎛⎜ 0 ⎞⎟ амплитуды

(

)

(

)

r r r
E r r
E r r
E = E1 + E 2 = 0 i − j j e jωt + 0 i + j j e jωt
2
2

⎝ 2 ⎠

(22.27)

Поскольку волна не имеет z-составляющей
электрического поля, Pz = 0;
r r jωt
для Рх и Ру из (22.25) получаем, предполагая P = P0 e ,
ωΗ
⎧
⎫⎫
ε 0 E y ⎬,⎪
⎨− ε 0 E x − j
ω
⎩
⎭⎪
⎪
⎬
⎪
2
ω
ω
⎧
⎫
Py = 2 0 2 ⎨− ε 0 E y + j Η ε 0 E x ⎬. ⎪
ω
ω − ωΗ ⎩
⎭ ⎪⎭
Px =

ω02
ω2 − ωΗ2

(22.28)

Перепишем
теперь (22.28) для право- и левополяризованных составr
r
ляющих Е1 и Е 2 :
r
а) Е1 . Для этого поля Ey = - jEx, поэтому
⎫
ω02
ε 0 E х ,⎪
ω(ω − ωΗ )
⎪⎪
⎬
⎪
2
ω0
Py = −
ε0E у .⎪
⎪⎭
ω(ω − ωΗ )

Px = −

Соответственно
r
⎞
⎛
ω02
ω02
⎟; ε1r = 1 −
D t = ε 0 E t ⎜⎜1 −
;
⎟
ω(ω − ωΗ )
⎝ ω(ω − ωΗ ) ⎠

(22.29)

r

б) Е 2 . В этом случае Ey = jEx и мы получаем
ε 2r = 1 −

ω02
.
ω (ω + ωΗ )

(22.30)

Таким образом, диэлектрические проницаемости для право- и левополяризованных волн оказываются различными. Следовательно, коэффициенты
преломления для них также будут различны и их распространение в ионосфере будет происходить по разным направлениям. Иначе говоря, рассматриваемая среда обладает свойством двойного лучепреломления, что характерно для всех анизотропных сред.
Следует отметить, что для волны 1 при ω < ωΗ ε r > 1 , т.е. при любом
значении ω0 и сколь угодно малой рабочей частоте ω волны 1 могут распространяться через ионосферу вдоль силовой линии магнитостатического поля
Земли.
305

С физической точки зрения различие в ε r для волн 1 и 2 объясняется
следующим образом. Электроны в поперечной к магнитному полю плоскости
вращаются с частотой ωΗ , т.е. представляют собой элементарные электрические осцилляторы с собственной частотой ωΗ . Направление их вращения
совпадает с направлением вращения вектора Е волны 1 и противоположно
направлению вращения вектора Е волны 2. При ω = ωΗ на волне 1 происходит
резонансное возбуждение электронных осцилляторов, что видно из формулы
(22.29). При переходе ω через значение ω = ωΗ меняется характер реакции
электронного осциллятора (как ω р и, вообще говоря, любого осциллятора –
контура, резонатора и т.д. при переходе через резонансную частоту); при
ω > ωΗ электронный ток поляризации имеет индуктивный характер, при
ω < ωΗ - емкостной. В последнем случае электронный ток поляризации складывается с током смещения для пустоты, т.е. ε r всегда оказывается больше 1,
что и объясняет упомянутый выше результат.
Поскольку ε r для волн 1 и 2 различна, возникает дополнительный эффект, приводящий к вращению плоскости поляризации волны, распространяющейся вдоль силовой линии магнитного поля (эффект Фарадея). Рассчитаем угол поворота плоскости поляризации электромагнитной волны. Запишем х и у – составляющие электрического поля волн 1 и 2

(

)

(

)

E0
⎫
cos ωt − k 0 ε r1 z , ⎪
2
⎪
⎪
⎪
.
E0
E y1 = Re E y1 =
sin ωt − k 0 ε r1 z , ⎪
2
⎪⎪
⎬
⎪
.
E
E x 2 = Re E x 2 = 0 cos ωt − k 0 ε r 2 z ,⎪
2
⎪
⎪
⎪
.
E0
E y 2 = Re E y 2 =
sin ωt − k 0 ε r 2 z , ⎪
⎪⎭
2
.

E x1 = Re E x1 =

(

)

(

)

k = ω ε 0µ 0 .

Найдем теперь суммарные компоненты Ех и Еу полного поля волны
⎡k z
Ex = Ex1 + Ex 2 = E0 cos ⎢ 0
⎣ 2

(

⎡k z
E y = E y1 + E y 2 = E0 sin ⎢ 0
⎣ 2

(

)⎤

⎡

)⎤

⎡

k z

ε r1 − ε r 2 ⎥ cos ⎢ωt − 0
2
⎦
⎣

k z

ε r 2 − ε r1 ⎥ cos ⎢ωt − 0
2
⎦
⎣

(
(

)⎤ ⎫

ε r1 + ε r 2 ⎥ , ⎪
⎦
ε r1 + ε r 2

)

⎪⎪
⎬
⎪
⎤ ⎪
.
⎥ ⎪
⎦ ⎭

Угол поворота плоскости поляризации волны ψ можно определить как

306

(

Ey

)

⎡k z
⎤
= tg ⎢ 0
ε r 2 − ε r1 ⎥ ,
Ex
⎣ 2
⎦
откуда следует, что
tgψ =

ψ=

k 0z
2

(

)

ε r 2 − ε r1 .

Среды, в которых происходит вращение плоскости поляризации волны,
называются гиротропными, примером такой среды является ионизированный газ в магнитном поле.
2. Распространение электромагнитной волны в поперечном относительно силовых линий магнитостатического поля направлении.
Пусть направление распространения соответствует оси у. Поскольку
имеется в виду плоская (ТЕМ) волна, Dy = 0. С другой стороны,
D y = ε 0 E y + Py = 0,

причем Ру ≠ 0. Поэтому и Еу ≠ 0:
Ey = −

Py
ε0

.

(22.31)
r

Запишем уравнения для Р в рассматриваемом случае с учетом (22.31)
..
.
⎫
Р k = ω02 ε 0 Е х − ωΗ Р у , ⎪
..
.
⎪⎪
Py
+ ωΗ Р х ,⎬
Р у = −ω02 ε 0
ε0
⎪
..
⎪
⎪⎭
Р z = ω02 ε 0 Е z .

(22.32)

r

r

В качестве решения (22.32) в предположении P = P0 e jωt имеем:
а ) Pz = −

ω 02
ω02
0
E
,
1
;
ε
ε
=
−
0 z
r
ω2
ω2

ω 02
ω02
E
1
−
ε
2 0 x
ω02
Η
ω2
б) Px = − ω
;
1
.
ε
=
−
r
ω02 ωΗ2
ω2
ωΗ2
1− 2
1− 2 − 2
ω − ω02
ω
ω
ε 0r относится к составляющей волны, имеющей поляризацию в плоскости yz.

Эта составляющая называется обыкновенной волной. ε 0r то же самое, что и
без магнитного поля. ε Ηr относится к составляющей, поляризованной в плоскости ух. Эта составляющая называется необыкновенной волной. Проанализируем ε Ηr более подробно:

307

Рис. 22.4

ω02
привеω2
ω02
0
ден на рис. 22.4. Для сравнения приведен также график ε r . Вблизи 2 ≈ 1 ε 0r и
ω
2
2
ω ω
ε Ηr существенно различаются. В точке, где 1- 02 - Η2 =0, имеется особенность
ω ω
Η
Η
ε r . Здесь график ε r разделяется на две ветви;

а) случай ω > ωΗ . График ε Ηr в этом случае в зависимости от

б) случай ω < ωΗ (на рис. 22.5).

Рис. 22.5

В этом случае имеется только одно решение ε Ηr и ε Ηr всегда больше,
чем ε 0r , т.е. отражение необыкновенной волны происходит от более плотных
Ne слоев, чем обыкновенной.
Следует отметить, что эта особенность приводит к расщеплению радиоимпульса при отражении волны, падающей на ионосферу нормально к
силовым магнитным линиям. Волна при этом разделяется на обыкновенную
и необыкновенную, и последняя проходит больший путь при отражении, чем
обыкновенная.

308

ω02
),
ω2
необыкновенная волна расщепляется на две, у одной из которых ε Ηr < ε 0r , у

В случае же а) ( ω > ωΗ ), когда имеется две ветви зависимости ε Ηr (

другой ε Ηr > ε 0r . Первая из этих волн отражается от нижних слоев ионосферы с
ω0 меньшим, чем ω0 для обыкновенной волны. Вторая отражается от слоев с
большей электронной концентрацией и проникает значительно глубже в ионосферу. Поскольку необыкновенная волна поглощается сильнее, чем обыкновенная, вторая волна ( ε Ηr > ε 0r ) почти полностью поглощается в ионосфере и
можно считать, что после отражения от ионосферы приходят лишь две расщепленные волны – необыкновенная с ε Ηr < ε 0r и обыкновенная. В этом случае
критическая частота необыкновенной волны превышает критическую частоту обыкновенной
f крΗ ≈ f кр0 +

fΗ
= f кр0 + 0,7 МГц.
2

Области отражения и направления распространения после отражения
обыкновенной и необыкновенной волн по указанной причине оказываются
разными.

309

ГЛАВА XXIП
ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ЭМП, ОБЛАДАЮЩИХ СИММЕТРИЕЙ
Во многих случаях электромагнитное поле в электронных приборах и
устройствах СВЧ обладает симметрией в пространстве или имеет простые
связи координат и времени (вращающееся поле, бегущая волна, поляризованная по кругу волна). В этих случаях легко определяются первые интегралы движения электронов, которые носят название законов сохранения. Законы сохранения играют важную роль в теории электронных приборов по следующим причинам:
1. Они позволяют получить ценную информацию о специфике процессов
взаимодействия электрона с электромагнитными полями и произвести анализ
этих процессов, не прибегая к численному решению задач. При этом могут
быть получены весьма общие и далеко идущие выводы; в частности, во многих случаях еще до решения задачи может быть решен вопрос о возможности
или невозможности полезного эффекта при том или другом новом механизме
взаимодействия в приборе (если закон сохранения противоречит условиям
получения полезного эффекта, то этого эффекта, естественно, не будет).
2. Законы сохранения позволяют контролировать точность численных
расчетов. Кроме того, они позволяют эффективно контролировать и правильность формулировки приближенных математических моделей процессов
взаимодействия в различных схемах приборов (в этих моделях неизбежны те
или иные приближения, т.е. некоторые эффекты и явления игнорируются).
Действительно, если интегралы, следующие из приближенных уравнений,
противоречат точным, то очевидно, что приближенная модель ошибочна.
3. Законы сохранения могут быть использованы и непосредственно для
понижения порядка системы нелинейных уравнений, описывающих процесс
взаимодействия электронов с электромагнитными полями.
Наиболее важными являются интегралы движения, не содержащие полевых составляющих. Эти интегралы связывают не только параметры движения электрона, но и позволяют получить достаточно глубокие и определенные выводы о характере этого движения.

23.1 Уравнения движения электрона в форме Лагранжа.
Исходными для построения законов сохранения являются уравнения
движения в форме Лагранжа
dpi ∂L
∂L
dq
=
, pi =
, q&i = i .
(23.1)
dt ∂qi
∂q&i
dt
Здесь pi – обобщенный импульс; qi – соответствующая обобщенная координата; L – функция Лагранжа, которая для электрона имеет вид

L = − m0c 2 1 − υ 2 / c 2 − eυ A + eΦ ,

(23.2)

310

где m0r, е – масса покоя и заряда электрона; с – скорость света; υ - его
скорость; A , Φ - векторный и скалярный потенциалы полного поля.
Полная энергия электрона выражается как
ε = mc 2 − eΦ = ∑ q&i ∂L − L ,
(23.3)
∂q&i
i
где. m = m0γ = m0 / 1 − (υ / c) 2 .
Используя (23.1) – (23.3), получаем необходимое для дальнейших преобразований тождество. Для этого продифференцируем (23.3) по времени t и
∂L
∂L
учтем в соответствии с (23.1), что
= pi и
= p& i .Тогда:
∂q&i
∂qi
⎞ d ⎛
dε d ⎛
∂L
∂L
∂L
∂L
∂L
⎞
q& i − ∑
q&&i = −
−∑
= ⎜⎜ ∑ q& i
− L ⎟⎟ = ⎜ ∑ q& i pi − L ⎟ = ∑ q&&i pi + ∑ q& i p& i −
&i
dt dt ⎝ i
∂t
∂t
∂q&i
i
i
i ∂q i
i ∂q
⎠
⎠ dt ⎝ i

Таким образом, имеет место следствие (23.1), (23.3) вида:
∂L
dε
=−
∂t
dt

(23.4)

23.2 Поступательная (трансляционная) симметрия

r
В случае поступательной симметрии Α, Φ ≠ f ( z ), и поэтому L ≠ f (z ) .
∂L
Соответственно
= 0 и из (23.1) следует
∂z
d
∂L
pz =
= 0, pz = const
(23.5)
dt
∂z
~
т.е. mz& − eAz = const , Az = Az + Az0 .
Рассмотрим некоторые частные случаи интеграла (23.4)
~
1. Н-волны на частоте отсечки, Az = 0 , магнитостатическое поле азиму~
тально-симметричное, и поэтому Az0 = 0 (гирорезонансные приборы с регулярной волноводной системой при настройке на критическую длину волны).
Естественно, что даже при такой идеализации нельзя утверждать, что
r
Α, Φ ≠ f ( z ), однако имеются протяженные участки взаимодействия (рис.
r
23.1), где можно считать, что Α, Φ ≠ f ( z ). На этих участках имеет место
точный интеграл движения:
mz& = const .
(23.6)
т.е. продольный механический импульс сохраняется.
Обратимся к рис. 23.1, поясняющему механизм взаимодействия в рассматриваемом случае. На рис. 23.1,а изображен участок круглого волновода
на частоте отсечки волны Н01. В этом случае фазовая скорость υф → ∞ и распределение компонентов поля не зависит от z. Винтовой электронный поток,

311

формируемый продольным магнитостатическим полем с индукцией В 0 ,
взаимодействует с компонентами поля Н01. Траектория электрона в однородном продольном магнитном поле с индукцией В 0 имеет вид спирали, как это
изображено на рис. 23.1,а. На рис. 23.1,б изображено поперечное вращение
электрона в однородном магнитном поле.

Рис. 23.1.
Здесь а – радиус вращения электрона (радиус ларморовской орбиты); υ ⊥

mυ⊥2
- поперечная скорость электрона. Центробежная сила
уравнивается
a
центростремительной, в качестве которой выступает магнитная составляющая силы Лоренца еB 0υ⊥ . Если считать, что круговое движение электрона не
возмущается, то υ⊥ = a Ω , где Ω - угловая частота вращения электрона в
магнитном поле В 0 .
B 0e
Из баланса сил следует Ω =
. Эта формула показывает, что вращение
m
электрона в постоянном магнитном поле неизохронно, т.е. угловая частота
вращения Ω зависит от массы электрона m% : с ростом массы (т. е. при ускорении электрона) его частота вращения уменьшается; у тормозящегося электрона частота вращения, наоборот, возрастает. За счет этого возможна релятивистская фазовая группировка электронов, лежащая в основе механизма
взаимодействия в гирорезонансных приборах. Для накопления эффектов
взаимодействия необходимо, чтобы фаза средней за период вращения силы

312

электромагнитного поля, воздействующей на электрон, изменялась медленно
во времени. Такое условие (называемое условием синхронизма) обеспечивается при k Ω ≈ ω , где k — целое число.
На рис. 23.1,в иллюстрируется случай k = l. В момент t0 электрическое
поле достигает максимального значения: при этом электрон 1 оказывается в
r
r
максимальной тормозящей фазе поля (электрическая сила F = −eE направлена противоположно вектору его скорости), электрон 2 — в максимальной
ускоряющей фазе, электроны 3 и 4 «нейтральны»: воздействующие на них
T
силы нормальны к траектории. Через полупериод в момент t = t0 + , как
2
видно из рис. 23.1, в, относительные фазы электронов во внешнем поле не
меняются: электрон 1 опять оказывается в тормозящей фазе, 2 — в ускоряющей, электроны 3, 4 остаются «нейтральными». Очевидно, что с течением
времени масса электрона 1 уменьшится, а электрона 2 увеличится. Изменение же частоты вращения будет обратным, за счет этого изменения электроны 1 и 2 сблизятся с электроном 4; произойдет, следовательно, фазовая группировка.
На рис. 23.1,г иллюстрируется случай ω ≈ 2Ω . При этом наиболее выгодным является положение ведущего центра орбиты электрона в узле расr
пределения поперечной составляющей Е . Теперь электроны 1, 2 — тормозящиеся, 3, 4 — ускоряющиеся. Очевидно, что если электронный поток на
входе области взаимодействия имеет равномерное по фазам вращения распределение электронов (равноперемешанный поток), то за счет фазовой
группировки при k = 2 возникают два фазовых сгустка: тормозящиеся электроны 1 сближаются с ускоряющимися электронами 4, а электроны 2 — с
электронами 3.
Вернемся теперь к интегралу движения (23.6). Как видно из структуры
поля на рис. 23.1, а, осевые составляющие сил поля равны нулю, т. е.
d (mz& ) / dt = Fz = 0 , что и соответствует интегралу (23.6). Интеграл (23.6) приводит к очевидному, но тем не менее интересному с физической точки зрения
выводу: тормозящийся электрон (масса которого уменьшается) ускоряется по
направлению z (релятивистское ускорение).
2. Случай Emn 0 -полей ( Emn -волны на частоте отсечки). При этом условие L ≠ f ( z ) выполняется точно и мы получаем при Az0 = 0

mz& − eA% z = const
(23.7)
Рассмотрим опять случай гирорезонансного взаимодействия электронов,
теперь уже с полем Emn 0 . На рис. 23.2,а рассмотрено взаимодействие винтового электронного потока с полем E110 круглого резонатора. Теперь, в отличие от предыдущего случая, имеются синхронные

313

Рис . 23.2.
составляющие как продольной магнитной, так и продольной электрической
сил Лоренца. Образование синхронной составляющей силы Fez = −eEz иллюстрирует рис. 23.2, б. Для существования этой составляющей достаточно поперечной неоднородности в распределении Ez ; наиболее же ясна ситуация,
когда ведущий центр электронной орбиты совпадает с узлом распределения
Ez , как это показано на рис. 23.2, б.
Обратимся теперь к интегралу (23.7). Положим, что выполняются условия резонансного взаимодействия на k − й гармонике циклотронной частоты
(т. е. ω ≈ k Ω ). В этом случае эффекты взаимодействия носят кумулятивный
характер и значительные изменения параметров движения электрона возможны в относительно слабом ВЧ поле (в отличие от нерезонансного случая,
когда для значительного изменения траектории электрона нужны сильные
T
поля). Поэтому можно считать, что mz& >> A% T . При таком условии в первом
z

приближении (23.7) дает mz& ≈ const .
Последнее приводит к далеко не очевидному заранее выводу: действие
продольных магнитной и электрической сил в поле Emn 0 при условии гирорезонанса взаимно компенсируется. Отбор энергии электрона в рассматриваемой схеме происходит весьма своеобразно: поперечная скорость ВЧ магнитным полем преобразуется в продольную, причем так, что торможение электрона продольным электрическим полем компенсируется. Более того, с
уменьшением энергии электрона (с уменьшением m ) z& возрастает, поскольку mz&T ≈ const . Отсюда, в частности, приходим к выводу, что прямолинейный на входе в поле Emn 0 пучок при условии гирорезонанса может только отбирать энергию от поля, но не отдавать ее. Это не означает, конечно, что обратная ситуация невозможна. Более подробный анализ показывает, что отдача энергии (и довольно эффективная) возможна, если B 0 в 2—3 раза превышает синхронное значение, т.е. отбор энергии от прямолинейного электронного пучка возможен в несинхронном режиме под действием сильных Emn 0 полей. Это явление представляет интерес в случае мощных релятивистских
электронных потоков, когда отдаваемая потоком энергия достаточна для
поддержания в нагруженном резонаторе напряженности поля необходимой
амплитуды.
T

314

Следует обратить внимание еще на один физический результат, вытекающий из (23.6) и полученного частного следствия (23.7): поскольку
mz& ≈ const ( H 011 , H mn1 , L >> λ ) или mz&T ≈ const (Emn0) в слабом ВЧ поле относительные изменения угловой скорости вращения электрона и скорости про∆z&
∆m ∆Ω
дольного движения одинаковы (
=−
=
, ∆m << m ). Иначе говоря,
z&
m
Ω
в слабом ВЧ поле электроны движутся вблизи невозмущенной винтовой траектории, а их группировка происходит за счет изменения под действием ВЧ
поля скорости движения вдоль этой траектории (на это физическое следствие
трансляционных интегралов движения обратил внимание авторов В. К. Юлпатов).

23.3. Азимутальная симметрия
В этом случае L ≠ f (ϕ ) и соответственно

pϕ = mr 2ϕ& − erAϕ = const ,

dpϕ
dT

=

∆L
= 0 или
∂ϕ

Aϕ = Aϕ0 + A%ϕ

(23.8)

Закон сохранения (23.8) имеет достаточно широкую область приложения. Рассмотрим здесь наиболее интересный частный случай — гиротрон со
слабонеоднородным магнитостатическим полем. При этом
⎤ rB 0
r⎡ 0
r 2 B 0′′
0
+ ...⎥ ≈
Aϕ = ⎢ B ( z ) −
(23.9)
2 ⎢⎣
8
2
⎥⎦
Положим также, что A%ϕ << Aϕ0 , т.е. что ВЧ поле мало по сравнению со
статическим и лишь слабо возмущает электронную траекторию. Используя
это приближение, а также (23.9), из
(23.8) получаем

mr 2ϕ& − B 0er 2 / 2 = const . (23.10)
Проведем в (23.10) усреднение
по периоду вращения электрона.
Введем обозначения а, r0 , Ф, как это
указано на рис. 23.3: а- мгновенный
радиус вращения электрона; r0 —
мгновенный радиус ведущего центра орбиты электрона; Ф — угол
вращения по орбите с радиусом а .
Тогда:
рис. 23.3.

r 2 = a 2 + r02 + 2ar0 cos Φ;
& r 2 − (r 2 + r 2 − a 2 ) / 2 ,
r 2ϕ& = Φ
0

& = Ω.
Φ

(23.11)

315

Усредним величины r 2 и r 2ϕ& по периоду вращения электрона:

1
r =
2π
2

2π

∫ r dΦ = a
2

2

+ r02 ;

0

1
r 2ϕ& =
2π

(23.12)

2π

∫ r ϕ& d Φ =Ωa .
2

2

0

Учитывая (23.12), (23.11), а также то, что Ω = B 0e / m, из (23.10) получаем
B 0 (a 2 − r02 ) = const .
(23.13)
Полученный результат (23.13) является усредненным орбитальнодрейфовым интегралом движения электрона в азимутально-симметричном
поле. Он связывает радиус ларморовской орбиты электрона а и радиус ведущего центра этой орбиты r0 .
Как следует из (23.13), при B 0 = const
a 2 − r02 = const
(23.14)
Закон сохранения (23.14) указывает на то, что при уменьшении а уменьшается и r0 , и наоборот. Таким образом, радиус ведущего центра тормозящегося электрона уменьшается, а ускоряющегося — увеличивается. По этой причине средний радиус ведущих центров трубчатого пучка в гиротроне следует
выбирать несколько большим радиуса, на котором достигается максимум рабочей гармоники поля. Тогда в дополнение к основному механизму взаимодействия в гиротроне будет иметь место механизм селекции электронов:
тормозящиеся электроны будут перемещаться в область более сильного поля, ускоряющиеся — в область более слабого поля.
Если ларморовский радиус намного меньше радиуса ведущего центра:
a << R , то из (23.13) следует
const
r0 =
(23.15)
B0
Уравнение (23.15) может использоваться в качестве первого приближения
для траектории ведущего центра электронной орбиты в гиротроне.

23.4. Вращающиеся поля
Среди многообразия видов взаимодействия мощных релятивистских и
слаборелятивистских электронных потоков с электромагнитными полями
особый интерес представляют такие, в которых осуществляется взаимодействие электронов с вращающимся электромагнитным полем в условиях резонанса на одной из гармоник циклотронной частоты. К приборам (схемам),
в которых осуществляются подобные виды взаимодействия, относятся гирорезонансные приборы, пениотрон,. усилители с магнитным преобразованием дрейфовой энергии в осцилляторную. В гирорезонансных приборах высокая эффективность взаимодействия обусловлена релятивистским механиз-

316

мом орбитальной группировки; в двух последних схемах идеальные условия
фазовой группировки достигаются благодаря действию специальных механизмов перемещения (дрейфа) ведущих центров электронных ротаторов во
вращающихся электромагнитных полях. Во всех указанных схемах для правильного описания (и тем более для количественных оценок) необходимо
корректное выделение уравнения дрейфа ведущего центра. Такое выделение
может быть осуществлено в форме орбитально-дрейфового интеграла движения, который получается ввиду пространственно-временной симметрии
вращающегося электромагнитного поля.
Рассмотрим случай вращающегося электромагнитного поля, которое в
частном случае может быть задано функцией Герца вида
& e,m = A J ( χ e,m , r )e j (ωt ± nϕ )
Π
m n

ν ni
µ
[ J n (ν ni ) = 0], χ m = ni [ J n′ ( µ ni ) = 0],
b
b
где b - радиус волновода.
Положим, что магнитостатическое поле направлено вдоль оси вращения
поля, т. е. вдоль z. Тогда функция Лагранжа L = L(r , z ,θ , r&, z&,ϕ& ) , где
θ = ω t ± n ϕ . Далее для упрощения записи положим θ = ω t − n ϕ , приписав
∂L ∂L
знак числу n. Определим
и
:
∂t
∂ϕ
∂L ∂L ∂L ∂θ
∂L
∂L ∂L ∂θ
.
(23.16)
= −n ,
=
⋅
=
⋅
=ω
∂θ ∂t ∂θ ∂t
∂θ
∂ϕ ∂θ ∂ϕ
Из (23.16) получаем:
∂L ω ∂L
∂ L ω ∂ pϕ
+
= 0 или
+
=0
(23.17)
∂ t n ∂ϕ
∂t n ∂t
Заменяя в (23.17) ∂ L / ∂ t на − dε / dt в соответствии с (23.3) приходим к
следующему интегралу движения:

χe =

ε − ω (mr 2ϕ& − erAϕ ) = const
n

или

mc 2 − eΦ −

ω
n

r 2 mϕ& + e

ω
n

rAϕ = const

(23.18)

1.

Рассмотрим случай, когда
~
~
Φ 0 = 0, Α ϕ << Aϕ0 , eΦ << (ω n )rm2ϕ& , Aϕ0 = B 0 (Z ) r 2 (слабонеоднородное
магнитостатическое поле). При перечисленных условиях из (23.18)
получаем
ω⎛
Ω⎞
e
mc 2 − ⎜ ϕ& − ⎟ mr 2 , Ω = B 0 ( z ) .
(23.19)
n⎝
2⎠
m

317

% =0 и интеграл (23.19) в этих
Заметим, что в узлах стоячего поля A%ϕ = Φ
точках является точным.
Интеграл (23.19) открывает широкие возможности для анализа особенностей взаимодействия электрона с вращающимися полями. Рассмотрим
некоторые из них.
Исследуем вопрос о возможности генерации на прямолинейном электронном потоке во вращающемся поле. Пусть индекс 1 соответствует входу в область взаимодействия, индекс 2 — выходу. Тогда r (0) = r1 = 0 и из (23.19)
получаем
ω
ϕ& − Ω 2
∆ε = m1c 2 − m2c 2 = − m 2 r22 2
.
(23.20)
n
2
Из (23.19) следует, что отбор энергии от пучка электронов при ω / n > 0
(направления вращения электронов в магнитном поле и поля совпадают) возможен лишь при ϕ&2 < Ω 2 / 2 , т.е. при смещении ведущего центра электронной
орбиты более чем на радиус этой орбиты. При ω / n < 0 (направления вращения электронов и поля противоположны), наоборот, необходимо выполнение условия ϕ& 2 > Ω 2 / 2 .
r r
r%
В случае плоских Т-волн A% z = 0, At ≠ f (rt ). Если положить также, что
r r
r
B0 = z0 B 0 = const , то нетрудно показать, что (mυ )t − (eA%t + eB% 0 rϕ 0 ) = const .
При взаимодействии прямолинейного электронного потока с вращаюr%
r%
r
щимся Т-полем резонатора r1 = 0, mυt1 = 0, At1 = At 2 = 0 (на поперечных стенках резонатора). В этом случае
r
m2υt 2 = eB0 rϕ 0 = m2 r2ϕ& 2ϕ 0 , т.е. ϕ& 2 = eB 0 / m2 = Ω 2
(23.21)
Результат (23.21) показывает, что развертка электронного потока в Тполе происходит точно вокруг направления z. Таким образом, для Т-волн
(23.20) дает
∆ε = −(ω / 2n)m2 r22Ω 2 .
(23.22)
Соотношение (23.22) указывает на то, что ∆ε >0 при ω Ω 2 < 0 т. е. отбор энергии от прямолинейного электронного пучка во вращающемся Тполе возможен только при встречном вращении поля и электрона в статичеr
r
ском поле В 0 . При В 0 =0 Ω 2 =0 и энергообмен отсутствует. Во вращающемся же Н-поле функцию B 0 выполняет компонент B% z , поэтому здесь энергоr
обмен возможен и при В 0 =0. При ω >0 и правильном фазировании электрона поле B% z в месте его нахождения имеет противоположное оси z направление, обеспечивая ωϕ& 2 < 0 и соответственно ∆ε >0.
2. Рассмотрим установившийся режим в цилиндрическом магнетроне. В
этом случае в (23.18) присутствуют члены Bz0 , Er0 , A%ϕ , и оно принимает вид

318

eU A ln r / rk ω r 2 mϕ& m0ω r 2Ω0
r 2ω 2
%
mc −
−
+
− eΦ (1 − 2 2 ) = const.
ln r0 / rk
n
2n
nc
2

~
Здесь UA – напряжение на анода; ra, rk - радиусы анода и катода; Φ ВЧ-потенциал замедляющей системы.
3. Исходя из (23.19) получаем усредненный орбитально-дрейфовый интеграл движения электрона во вращающихся полях. Используя (23.12), будем
иметь

nmc 2 B 0 ( z ) 2 2
(a − r0 ) = const .
−
eω
2

(23.23)

Преобразуем (23.23) к более удобному виду, выделив переменные одного
порядка

2n(m − m0 )c 2
− F ( z )(a 2 − r02 ) = const .
m0Ω0ω

(23.24)

B0 ( z )
e 0
0
;
B
=
B
(0);
Ω
=
B0 .
0
0
0
B00
m0
Выражение (23.24) является общей формой усредненного орбитальнодрейфового интеграла движения, связывающего параметры орбитального
движения m, а с изменением радиуса ведущего центра r0.
Рассмотрим некоторые модификации полученного интеграла движения. В
случае постоянного магнитного поля (т. е. F=l) положим, что в начальном
сечении области взаимодействия (z = 0) выполняются условия синхронизма с
попутной парциальной волной электромагнитного поля на k-й гармонике
циклотронной частоты
Здесь m0 —масса покоя электрона; F =

ω =k

Ω1

1 − β|| / βϕ

.

Здесь β|| =υ / c ; βϕ = υϕ / c; Ω1 = Ω 0 R1; R1 = 1 − β||2 − β ⊥2 ; β ⊥ = υ ⊥ / c; υ|| , υ ⊥ —
||

значения υ z и υt при z = 0.
При перечисленных условиях из (23.24) получаем
⎡ 2n 1 − β || / βϕ R(1 − R ) ⎤
− 1⎥ = const
r02 + a 2 ⎢
2
β
k
R
1
t
⎣
⎦
где R = 1 − β t2 − β z2 ; β z2 = υ z2 / c 2 ; β t2 = a 2Ω 02 R 2 / c 2 .
Запишем также слаборелятивистское приближение этого интеграла:

319

⎧⎪ n (1 − β / β ) 2 ⎡ β 2 1 ⎛ β 2 ⎞2 ⎤ ⎫⎪
||
ϕ
⎢1 + z2 − β z2 ⎜1 + z2 ⎟ ⎥ − 1⎬ = const (23.25)
r02 + a 2 ⎨
R1
⎢⎣ β t 4 ⎝ β t ⎠ ⎥⎦ ⎪⎭
⎪⎩ k
Используя (23.25), получаем также нерелятивистское приближение орбитально-дрейфового интеграла для ТЕ- и Т-полей. В этом случае
β z = β || = const → 0; β t = β ⊥ → 0; β z2 / β t2 = β||2c 2 / a 2Ω = const / a 2 и из (23.25)
следует
r02 + a 2 [n / k − 1] = const .
Рассмотрим теперь случай слабонеоднородного магнитостатического
поля, причем на F(z) наложим условие, сохранения синхронизма по всей
области взаимодействия для изофазной электронной трубки
F ( z ) / m(1 − β z / βϕ ) = const
(23.26)
Тогда комбинируя (23.24), (23.26), получаем
⎡
β Φ − β z ⎧⎪ 2
β z ⎞ 1 − R ⎤ ⎫⎪
2 2n ⎛
r
a
1
+
−
− 1⎥ ⎬ = const .
(23.27)
⎨
⎢ ⎜
⎟
2
β Φ R ⎩⎪ 0
k
β
β
Φ ⎠
t
⎣ ⎝
⎦ ⎭⎪
В слаборелятивистском приближении (23.27) дает
⎡
β Φ − β z ⎪⎧ 2
β z ⎞ ⎛ β z2 ⎞ ⎤ ⎪⎫
2 n⎛
⎨r + a ⎢ ⎜1 −
⎟ ⎜1 + 2 ⎟ − 1⎥ ⎬ = const .
β Φ R ⎩⎪ 0
k
β
β t ⎠ ⎦ ⎭⎪
Φ ⎠ ⎝
⎣ ⎝

23.5. Бегущие в направлении z волны
Рассмотрим случай, когда электронный поток взаимодействует с группой
бегущих волн (возможно, разных частот) , имеющих одинаковую фазовую скорость υф . Такая ситуация возможна как в свободном пространстве, так и в
направляющих системах. В этом случае L( z ± υфt ) и поэтому имеет место
связь производных ∂L / ∂t и ∂L / ∂z вида
∂L
∂L
= 0.
m υф
(23.28)
∂t
∂z
Учитывая (23.1), (23.28) и (23.4), получаем
ε m υф ( mz& − eAz ) = const , ε = mc 2 − eΦ .
(23.29)
Рассмотрим некоторые следствия интеграла (2.29).
Для ламп бегущей и обратной волны типа О (ЛБВ-О, ЛОВ-О) в нерелятивистском случае (υф / c << 1, υ z / c << 1 )

1 2
e %
υ z m υфυ z − Φ
= const.
2
m0
% — ВЧ потенциал замедляющей системы.
Здесь Φ
Для ламп бегущей и обратной волны типа М (ЛБВ-М, ЛОВ-М) планарного
r
r
r
r
типа Bt0 = x0 B 0 , E 0 = − y0 E 0 , и из (23.29) следует

320

⎡
⎤
⎞
y⎛ E
% (1 − β 2 ) = const .
mc 2 ⎢1 − 2 ⎜ Ω 0 m υфΩ ⎟ m β ф β z ⎥ − eΦ
ф
⎠
⎣ c ⎝ B0
⎦
r r
В случае Н-волн, продольного магнитного поля B0 = z0 B 0 , B 0 = const ,
% = 0 (23.29) дает
отсутствия электростатических полей, A% z = 0, Φ
m(1 m β ф β z ) = const.
(23.30)
Для попутных волн [нижний знак в (23.30)] продольные и поперечные
составляющие силы Лоренца синфазны — тормозящиеся поперечными силами электроны тормозятся и продольными; для встречных волн продольные
и поперечные составляющие противофазны. С другой стороны, если бы продольных сил не было, продольный импульс электрона оставался бы неизменным ( mβ z = const ) и при уменьшении m возрастала бы величина β z (релятивистское ускорение). Продольные силы уменьшаются с увеличением β ф и
при некотором β ф кр = 1/ β 0 z торможение, вызываемое ими, компенсируется
релятивистским ускорением в случае попутных волн.
r
r
В случае Е-волн, продольного магнитного поля B 0 = z0 B 0 , B0 = const, от% = 0 (один из
сутствия электростатических полей (только A% ≠ 0 ) полагаем Φ
z

возможных видов калибровки потенциалов). Тогда из (23.29) имеем
υ eA
(23.31)
m(1 m β ф β z ) ± ф 2 z = const .
c
В случае гирорезонансных приборов можно считать, что eAzυф << mc 2 и
при выполнении условий циклотронного резонанса имеет место усредненΩ

ный интеграл типа (23.30): m(1 ± β ф β z ) = const .
Для комбинированного интеграла движения в случае вращающихся (поляризованных по кругу) Е-волн вместе с (23.31) можно использовать интеграл (23.18) и при этом учесть, что для Е-волны имеет место связь компонентов векторного потенциала вида (на эту возможность обратил внимание авторов В. А. Жураховский)
cβ
ω
(23.32)
rAф = m 2 ф A% z .
βф − 1
n
Комбинируя (23.31), (23.18) и (23.32), получаем следующий точный интеграл движения в случае Е-волн, в котором отсутствуют силовые ВЧ составляющие:
⎧ 2
⎫
⎡ ωr2 ⎛
Ω ⎞⎤
m ⎨( β ф − 1) ⎢1 − 2 ⎜ ϕ& − ⎟ ⎥ + (1 m β ф β z ) ⎬ = const.
2 ⎠⎦
⎣ nc ⎝
⎩
⎭
Использование (23.1), (23.4) часто оказывается полезным и в тех случаях, когда в (23.2) имеются «возмущающие» зависимости от координат, не позволяющие сформулировать точные законы сохранения. В специальных случаях соотношение (23.4) дает возможность полностью или частично исклю-

321

чить явно входящие силовые составляющие в уравнениях для одной или нескольких фазовых переменных.
Для иллюстрации рассмотрим случай бегущих волн и слабонеоднородного азимутально-симметричного магнитостатического поля

r r%
% (r ,ϕ , mυ t − z ) − eυ A0 (r , z ) =
L = − m0c 2 1 − υ 2 / c 2 − eυ A(r ,ϕ , mυфt − z ) + eΦ
ф
ф ф

= L1 (r ,ϕ ,θ , r&,ϕ& , z& ) + L2 (r ,ϕ , z ,ϕ& ),

θ = mυфt − z.

Образуем частные производные:

∂L ∂L1 ∂θ ∂L2
∂L ∂L
=
+
=− 1 + 2
(23.33)
∂z ∂θ ∂z ∂z
∂θ
∂z
∂L ∂L1 ∂θ
∂L
=
= ±υф 1
(23.34)
∂t ∂θ ∂t
∂θ
Умножая обе части (23.33) на ±υф и складывая получившиеся с (23.34), находим
∂L
∂L
∂L
= mυф
± υф 2
∂t
∂z
∂z
∂L dpz
∂L
dε
=
Поскольку
в соответствии с (23.1), a
=−
в соответствии с
∂z
dt
dt
∂t
(23.4), окончательно имеем
∂L
±υф p& z − ε& = ±υф 2 .
(23.35)
∂z
Используя связи pz = mυ z − eA% z ,

ε = mc 2 − eΦ% ,

Ω=

e
B0 ( z ),
m

B0 ( z)
B 0 ( z ) & υ z ∂F
, F=
, F=
Aϕ = r
2
BS
∂z
(23.35) можно записать в следующем виде:
&
&%
m& 1 m β Ф β z r 2Ωϕ& F& eΦ
eA% z
&
βz = ±
− 2
+
(23.36)
m
m βФ
2c β z F mc 2 mc
В случае, когда поддерживается условие синхронизма ( Ω = ω / k ) и перемещение электрона происходит в среднем вдоль силовой линии магнитостатического поля,
&% = 0, A&% = 0, r 2Ωϕ& = β 2c 2 и из (23.35) следует
Φ
t
m& 1 m β ф β z β t2 F&
&
.
−
βz = ±
m βф
2β z F
0

322

ЛИТЕРАТУРА
1. Рамо С. и Уиннери Дж. Поля и волны в современной радиотехнике.
М., Л.: ОГИЗ, 1948, 631с.
2. Стрэттон Дж.А. Теория электромагнетизма. М., Л.: ОГИЗ, 1948, 539с.
3. Кисунько Г.В. Электродинамика полых систем. Л.: ВКАС, 1949,
426с.
4. Никольский В.В. Теория электромагнитного поля. М.: Высшая школа, 1961, 371с.
5. Никольский В.В. Электродинамика и распространение радиоволн.
М.: Наука, 1973, 607с.
6. Никольский В.В. Вариационные методы для внутренних задач электродинамики. М.: Наука, 1967, 460с.
7. Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Наука, 1989, 544с.
8. Никольский В.В., Никольская Т.И. Декомпозиционный подход к задачам электродинамики. М.: Наука, 1983, 304с.
9. Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны. М.: Советское радио,
1957, 581с.
10. Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны. М.: Радио и связь, 1988,
440с.
11. Вайнштейн Л.А. Открытые резонаторы и открытые волноводы. М.:
Советское радио, 1966, 475с.
12. Миттра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов. М.:
Мир, 1974, 327с.
13. Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1966, 624с.
14. Гольдштейн Л.Д., Зернов Н.В. Электромагнитные поля и волны. М.:
Связь, 1971, 602с.
15. Вольман В.И., Пименов Ю.В. Техническая электродинамика. М.:
Связь, 1971, 486с.
16. Марков Г.Т., Петров Б.М., Грудинская Г.П. Электродинамика и
распространение радиоволн. М.: Советское радио, 1979, 376с.
17. Каценеленбаум Б.З. Высокочастотная электродинамика. М.: Наука,
1966, 240с.
18. Фиалковский О.И. Техническая электродинамика. М.: Связь, 1978,
430с.
19. Семенов Н.А. Техническая электродинамика. М.: Связь, 1973, 470с.
20. Машковцев Б.М., Цибизов К.Н., Емелин Б.Ф. Теория волноводов.
М.: Наука, 1966, 351с.
21. Левин Л. Теория волноводов. М.: Радио и связь, 1981, 312с.
22. Сушкевич В.И. Нерегулярные линейные волноводные системы. М.:
Советское радио, 1967, 295с.
23. Коган Н.А., Машковцев Б.М., Цибизов К.Н. Сложные волноводные
системы. Л.: Судпром ГИЗ, 1963, 356с.

323

24. Марков Г.Т., Чаплин А.Ф. Возбуждение электромагнитных волн.
М.,Л.: Энергия, 1967, 376с.
25. Кураев А.А. Теория и оптимизация электронных приборов СВЧ.
Мн.: Наука и техника, 1979, 336с.
26. Кураев А.А. Мощные приборы СВЧ. М.: Радио и связь, 1986, 208с.
27. Кураев А.А., Байбурин В.Б., Ильин Е.М. Математические модели и
методы оптимального проектирования СВЧ приборов. Мн.: Наука и техника,
1990, 392с.
28. Демидчик В.И. Электродинамика СВЧ. Мн.: Университетское,
1992, 255с.
29. Колесников П.М. Теория неоднородных световодов и резонаторов.
Мн.: Наука и техника, 1982, 296с.
30. Ильинский А.С., Слепян Г.Я. Колебания и волны в электродинамических системах с потерями. М.: Издательство МГУ, 1983, 232с.
31. Илларионов Ю.А., Раевский С.Б., Сморгонский В.Я. Расчет гофрированных и частично заполненных волноводов. М.: Советское радио, 1980,
200с.
32. Нефедов Е.И., Фиалковский А.Т. Полосковые линии передачи. М.:
Наука, 1980, 312с.
33. Неганов В.А., Нефедов Е.И., Яровой Г.П. Полосково-щелевые
структуры сверх- и крайневысоких частот. М.: Наука, 1996, 304с.
34. Кураев А.А. Сверхвысокочастотные приборы с периодическими
электронными потоками. Мн.: Наука и техника, 1971, 312с.
35. Кац Б.М., Мещанов В.П., Фельдштейн А.Л. Оптимальный синтез
устройств СВЧ с Т-волнами. М.: Радио и связь, 1984, 288с.
36. Хёнл Х., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. М.: Мир, 1964,
428с.
37. Фок В.А. Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн. М.: Советское радио, 1970, 520с.
38. Шестопалов В.П. Метод задачи Римана-Гильберта в теории дифракции и распространения электромагнитных волн. Харьков: Издательство
ХГУ, 1971, 400с.
39. Уфимцев П.Я. Метод краевых волн в физической теории дифракции. М.: Советское радио, 1962, 243с.
40. Курутин Е.П., Нефедов Е.И., Фиалковский А.Т. Дифракция электромагнитных волн на анизотропных структурах. М.: Наука, 1975, 196с.
41. Нефедов Е.И. Дифракция электромагнитных волн на диэлектрических структурах. М.: Наука, 1979, 272с.
42. Гончаренко А.А., Кравченко В.Ф., Пономарев В.И. Дистанционное
зондирование неоднородных сред. М.: Машиностроение, 1991, 256с.
43. Грудинская Г.П. Распространение радиоволн. М.: Высшая школа,
1975, 280с.
44. Долуханов М.П. Распространение радиоволн. М.: Связь, 1972, 336с.
45. Черный Ф.Б. Распространение радиоволн. М.: Советское радио,
1972, 464с.
324

46. Фейнберг Е.Л. Распространение радиоволн вдоль земной поверхности. М.: Издательство АН СССР, 1961, 546с.
47. Фельдштейн А.Л., Явич Л.Р., Смирнов В.П. Справочник по элементам волноводной техники. М.: Советское радио, 1967, 651с.
48. Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. Сборник задач по электродинамике.
М.: ГИФМЛ, 1962, 480с.
49. Говорков В.А., Купалян С.Д. Теория электромагнитного поля в упражнениях и задачах. М.: Высшая школа, 1963, 371с.
50. Автоматизированное проектирование устройств СВЧ // Под редакцией В.В. Никольского. М.: Радио и связь, 1982, 272с.
51. Микроэлектронные устройства СВЧ // Под редакцией Г.И. Веселова. М.: Высшая школа, 1988, 280с.
52. Векштейн Е.Г. Сборник задач по электродинамике. М.: Высшая
школа, 1966, 287с.
53. Справочник по расчету и конструированию СВЧ полосковых устройств // Под редакцией в.и. Вольмана. М.: Радио и связь, 1982, 328с.
54. Бергер М.Н., Капилевич Б.Ю. Прямоугольные волноводы с диэлектриками. М.: Советское радио, 1973, 254с.
55. Гвоздев В.И., Нефедов Е.И. Объемные интегральные схемы СВЧ.
М.: Наука, 1985, 256с.
56. Лавров В.М. Теория электромагнитного поля и основы распространения радиоволн. М.: Связь, 1964, 368с.
57. Федоров Н.Н. Основы электродинамики. М.: Высшая школа, 1980,
399с.
58. Князь А.И. Электродинамика информационных систем. М.: Радио и
связь, 1994, 392с.
ТЕМАТИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ
ПО ГЛАВАМ
Глава 1: [1…10, 14…23, 27, 28, 55…57].
Глава 2: [1…10, 14…22, 27, 28, 55,56].
Глава 3: [1…10, 14…22, 55, 56].
Глава 4: [4…10, 55, 56].
Глава 5: [1…10, 14…23, 27, 28, 55…57].
Глава 6: [1…12, 14…23, 27…33, 55, 56].
Глава 8: [2, 24…26, 29, 30].
Глава 9: [31, 32, 34].
Глава 10: [31, 32, 34].
Глава 11: [3…11, 14…19, 27, 28, 55, 56].
Глава 12: [5…7, 16…19, 27, 55, 56].
Глава 13: [5…8, 16…23, 55…57].
Глава 14: [5…8, 16…23, 55…57].
Глава 15: [5…8, 14…16].
325

Глава 16: [4…10, 14…16, 55…57].
Глава 17: [42…45].
Глава 18: [35…45].
Глава 19: [4…7, 41…44].
Глава 20: [6, 7, 16, 36, 38, 41…44].
Глава 21: [6, 7, 16, 41…44].
Глава 22: [6, 7, 16, 42…44].
Глава 23: [24…26, 33].

326

ОГЛАВЛЕНИЕ
ЧАСТЬ I ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
1.1. Интегральная формулировка УМ
1.2. Закон сохранения заряда. Уравнение непрерывности
1.3. Физическое содержание первого УМ
1.4. Материальные уравнения
ГЛАВА II. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ВЕКТОРОВ ЭМП
2.1. ГУ для тангенциальных составляющих векторов ЭМП
2.2. ГУ для нормальных составляющих векторов ЭМП
ГЛАВА III. ЭНЕРГИЯ ЭМП
3.1. Удельная мощность сторонних источников в ЭМП.
Мощность сторонних источников
3.2. Баланс энергии в ЭМП. Теорема Умова-Пойтинга
ГЛАВА IV. КОМПЛЕКСНЫЕ АМПЛИТУДЫ И ТЕОРЕМА
О КОМПЛЕКСНОЙ МОЩНОСТИ
4.1. УМ в комплексной форме
4.2. Теорема о комплексной мощности
ГЛАВА V. ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ И
ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
5.1. Волновые уравнения
5.2. Электродинамические потенциалы
5.3. Электричеcкий вектор Герца или поляризационный потенциал
5.4. Фиктивные магнитные точки и заряды. Перестановочная
двойственность УМ. Магнитный вектор Герца
5.5. Граничные условия для П ez , П mz на идеально проводящих
продольных и поперечных поверхностях
ЧАСТЬ 2 НАПРАВЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ ИЛИ ВОЛНОВОДЫ
ГЛАВА VI. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РЕГУЛЯРНЫХ ВОЛНОВОДОВ
6.1. Типы направляющих систем
6.2. Постановка и схема решения волноводных задач (регулярные
ВВ)
6.3. Общие свойства электрических (Е) волн
в регулярных волноводах
6.4. Общие свойства магнитных (Н) волн в регулярных ВВ
6.5. Т-волны в направляющих системах
6.6. Дисперсия собственных волн в регулярных ВВ. Докритический и закритический диапазоны волновода
6.7. Электрические (Е) типы волн в прямоугольном волноводе
6.8. Магнитные волны в прямоугольном волноводе
6.9. Вырождение волн в прямоугольном волноводе. Доминантная
волна и рабочий диапазон прямоугольного волновода

327

6.10. Электрические (Е) волны в волноводах с круговыми сечением
6.11. Магнитные (Н) волны в круглом волноводе
6.12. Потери и затухание волн в волноводах
ГЛАВА VII. ВОЗБУЖДЕНИЕ РЕГУЛЯРНЫХ ВОЛНОВОДОВ
СТОРОННИМИ ИСТОЧНИКАМИ
7.1. Лемма Лоренца. Теорема взаимности
7.2. Ортогональность собственных волн в регулярных волноводах
7.3. Уравнения возбуждения регулярных волноводов
сторонними токами
7.4. Способы возбуждения волноводов (примеры)
ГЛАВА VIII. НЕРЕГУЛЯРНЫЕ ВОЛНОВОДЫ
8.1. Неортогональные координатные системы
8.2. Дифференциальные операторы
8.3. Продольно-азимутально нерегулярный волновод.
Контравариантные компоненты уравнений Максвелла
8.4. Уравнение возбуждения произвольно-нерегулярного
волновода сторонними токами
8.5. Самосогласованные нелинейные уравнения ЛБВ-0 с замедляющей системой в виде продольно-нерегулярного волновода
8.6. Уравнения возбуждения произвольно-нерегулярного
коаксиального волновода
8.7. Уравнения возбуждения нерегулярных замедляющих системах
8.8. Нерегулярные волноводы с прямоугольным сечением.
Теория и приложения
8.9. Т-функции для решения двухточечных задач в теории
нерегулярных волноводов Т-функции для решения двухточечных
задач в теории нерегулярных волноводов
ГЛАВА IX. ПОПЕРЕЧНЫЕ ВОЛНЫ В ЛИНИЯХ ПЕРЕДАЧИ
9.1. Телеграфные уравнения
9.2. Расчет параметров коаксиальной и двухпроводной линий
9.3. Трансформирующие свойства отрезков линий передачи
9.4. Короткозамкнутые и разомкнутые на конце
отрезки линии передачи (шлейфы)
9.5. Частичное отражение волн в линиях передачи
ГЛАВА X. ПЛАНАРНЫЕ ЛИНИИ ПЕРЕДАЧИ
10.1. Понятие планарных линий передачи
10.2. Симметричная полосковая линия
10.3. Несимметричная полосковая линия
10.4. Симметричная щелевая линия
10.5. Несимметричная щелевая линия
10.6. Модифицированный метод неортогональных рядов
для расчета характеристик полосковых линий передачи
10.6.1. Общая формулировка метода
328

10.6.2. Расчет физических параметров полосковых линий
передачи
10.6.3. Пример использования метода неортогональных рядов:
расчет характеристик области сильной связи
трехдецибельного направленного ответвителя
10.7. Копланарная линия передачи
10.8. Четная и нечетная моды в связанных полосковых линиях
ЧАСТЬ 3 ОБЪЕМНЫЕ РЕЗОНАТОРЫ
ГЛАВА XI. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОБЪЕМНЫХ РЕЗОНАТОРОВ
11.1. Типы объемных резонаторов
11.2 Поля в ОР как в отрезках регулярных волноводов с
короткозамыкающими крышками
11.3 Расчет полей в резонаторах с помощью потенциалов Герца
11.3.1. Прямоугольный резонатор
11.3.2. Цилиндрический резонатор
11.4 Добротность собственных колебаний в резонаторах.
Внешняя и нагруженная добротности
ГЛАВА XII. ВОЗБУЖДЕНИЕ ОБЪЕМНЫХ РЕЗОНАТОРОВ СТОРОННИМИ ТОКАМИ
12.1. Постановка задачи
12.2. Свойства собственных функций резонатора
12.3. Уравнение возбуждения резонатора
12.4. Способы возбуждения резонаторов
ЧАСТЬ 4 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ В СВОБОДНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
ГЛАВА XIII. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ЭЛЕМЕНТАРНОГО
ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ИЗЛУЧАТЕЛЯ В СВОБОДНОМ ПРОСТАНСТВЕ
13.1. Расчет полей с помощью электрического вектора Герца
13.2. Анализ поля ЭЭИ в квазистатической (ближней) зоне
13.3. Анализ поля ЭЭИ в волновой (дальней) зоне
ГЛАВА XIV. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ЭЛЕМЕНТАРНОГО МАГНИТНОГО ИЗЛУЧАТЕЛЯ (ЭМИ)
14.1. Расчет поля ЭМИ
14.2. Анализ поля ЭМИ в квазистатической (ближней) зоне
14.3. Анализ поля ЭМИ в волновой (дальней) зоне
ГЛАВА XV. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ИСТОЧНИКИ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
ГЛАВА XVI. ПЛОСКИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
16.1. Определение плоских электромагнитных волн
16.2. Плоские волны в однородной изотропной среде без потерь.
Поляризация плоских волн
16.3. Плоские волны в среде с потерями
ЧАСТЬ 5 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
В ПРИРОДНЫХ УСЛОВИЯХ
329

ГЛАВА XVII. ДИАПАЗОНЫ ВОЛН. КЛАССИФИКАЦИЯ
РАДИОВОЛН ПО МЕХАНИЗМУ РАСПРОСТРАНЕНИЯ
ГЛАВА XVIII. ДИФРАКЦИЯ РАДИОВОЛН
18.1. Принцип Гюйгенса. Формула Кирхгофа
18.2. Зоны Френеля. Область, существенная для
распространения радиоволн
18.3. Дифракция электромагнитных волн от края
непрозрачного экрана
ГЛАВА XIX ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ВОЛН
НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ДВУХ СРЕД
19.1. Отражение и прохождение волн при нормальном падении на
плоскую границу раздела
19.2. Наклонное падение горизонтально-поляризованной волны
на плоскую границу раздела двух сред
19.3. Наклонное падение вертикально-поляризованной волны
на плоскую границу раздела двух сред
19.4. Отражение плоских волн от плоской границы среды с
потерями
ГЛАВА XX. ВЛИЯНИЕ ЗЕМНОЙ ПОВЕРХНОСТИ НА РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
20.1. Характеристики направленности реальных излучателей
в свободном пространстве
20.2. Напряженность поля излучателя, поднятого над плоской и
однородной поверхностью Земли на высоту
20.3. Поле вертикального вибратора над плоской
отражающей поверхностью
20.4. Поле горизонтального вибратора, поднятого над плоской
поверхностью земли на высоту h1
20.5. Распространение радиоволн над неоднородной и негладкой отражающей поверхностью
20.6. Формула Введенского
20.7. Учет сферичности земной поверхности
20.8. Распространение радиоволн вблизи земной поверхности.
Поверхностные волны
20.9. Дифракция радиоволн вокруг сферической земной
поверхности
ГЛАВА XXI. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В ТРОПОСФЕРЕ
21.1. Строение тропосферы
21.2. Поглощение радиоволн в тропосфере
21.3. Рефракция радиоволн в тропосфере
ГЛАВА XXII. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В ИОНОСФЕРЕ
22.1. Строение ионосферы
22.2. Механизм ионизации и рекомбинации на больших высотах

330

22.3. Электронная диэлектрическая проницаемость ионизированного газа без учета столкновений электронов с ионами и нейтральными молекулами
22.4. Электронная диэлектрическая проницаемость ионизированного газа с учетом столкновения электронов с тяжелыми частицами
22. 5. Преломление и отражение радиоволн в ионосфере
22.6. Влияние магнитного поля Земли на распространение волн в
ионосфере. Двойное лучепреломление
ГЛАВА XXIII. ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ ЗАРЯЖЕННЫХ
ЧАСТИЦ В ЭМП ОБЛАДАЮЩИХ СИММЕТРИЕЙ
23.1. Уравнения движения электрона в форме Лагранжа
23.2. Поступательная (трансляционная) симметрия
23.3. Азимутальная симметрия
23.4. Вращающиеся поля
23.5. Бегущие в направлении z волны
ЛИТЕРАТУРА

331