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102 學年度指定科目考試試題

數學甲
作答注意事項
考試時間：80 分鐘
作答方式：˙選擇（填）題用 2B 鉛筆在「答案卡」上作答；更正時，應以橡皮擦擦拭，
切勿使用修正液（帶）。
˙非選擇題用筆尖較粗之黑色墨水的筆在「答案卷」上作答；更正時，可以
使用修正液（帶）。
˙未依規定畫記答案卡，致機器掃描無法辨識答案；或未使用黑色墨水的筆
書寫答案卷，致評閱人員無法辨認機器掃描後之答案者，其後果由考生自
行承擔。
˙答案卷每人一張，不得要求增補。
選填題作答說明：選填題的題號是 A，B，C，……，而答案的格式每題可能不同，考生
必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在一個格子畫記。請仔細
閱讀下面的例子。

3
，而依題意計算出來的答案是 ，則考生
8

18

例：若第 B 題的答案格式是

19

必須分別在答案卡上的第 18 列的

3

與第 19 列的

8

畫記，如：

18

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0





19

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0





20 21
50

例：若第 C 題的答案格式是
卡的第 20 列的



，而答案是
7

與第 21 列的

7
50

時，則考生必須分別在答案

畫記，如：

20

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

21

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0







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102 年指考
數 學 甲

第 壹 部 分 ： 選 擇 題 （ 單 選 題 、 多 選 題 及 選 填 題 共 占 76 分 ）
一 、 單 選 題 （ 占 24 分 ）
說明：第 1 題至第 4 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，
請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 6 分；答錯、
未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

5

1. 設 z 為 一 複 數 ， 且

z2
 i （ 其 中 i  1 為 虛 數 單 位 ） 。 試 問 z 的 絕 對 值 z 為 下
z2

列哪一個選項？
(1)

3

1
2

(2)

2
2

(3) 1

(4)

2

(5)

2

2 . 坐 標 平 面 上 ， 直 線 x  2 分 別 交 函 數 y  log10 x 、 y  log 2 x 的 圖 形 於 P 、 Q 兩 點 ； 直
線 x  10 分 別 交 函 數 y  log10 x 、 y  log 2 x 的 圖 形 於 R 、 S 兩 點 。 試 問 四 邊 形 PQSR
的 面 積 最 接 近 下 列 哪 一 個 選 項 ？ （ log10 2  0.3010 ）

(1) 10

-1-

( 2 ) 11

(3) 12

(4) 13

(5) 14

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數 學 甲

2

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3. 袋 中 有 大 小 相 同 編 號 1到 8 號 的 球 各 一 顆 。 小 明 自 袋 中 隨 機 一 次 取 出 兩 球 ， 設
隨 機 變 數 X 的 值 為 取 出 兩 球 中 的 較 小 號 碼 。 若 pk 表 X 取 值 為 k 的 機 率
1
（ k  1, 2, ,8 ）， 試 問 有 幾 個 pk 的 值 大 於 ？
5

(1) 1 個

2

(2) 2 個

(3) 3 個

(4) 4 個

0
4 . 考 慮 所 有 由 1、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 各 一 個 與 三 個 0 所 排 成 形 如  c
 e

(5) 5 個

a
0
f

0
為 0 的 三 階 方 陣。今 隨 機 選 取 這 樣 一 個 方 陣，試 問 其 行 列 式 值 c
e

b
d  對 角 線 均
0 
a
0
f

b
d 為奇數
0

的機率為下列哪一個選項？

(1)

1
20

(2)

1
10

(3)

1
2

(4)

9
10

(5)

19
20

-2-

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102 年指考
數 學 甲

二 、 多 選 題 （ 占 40 分 ）
說明：第 5 題至第 9 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正
確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所
有選項均答對者，得 8 分；答錯 1 個選項者，得 4.8 分；答錯 2 個選項者，
得 1.6 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

3,4,5

5 . 令 A(  2, 0) 、 B(0, 1) 、 C (2, 1) 、 D (4, 3) 為 坐 標 平 面 上 四 點 。 請 選 出 正 確 的 選 項 。
(1) 恰 有 一 直 線 通 過 A 、 B 、 C 三 點
(2) 恰 有 一 圓 通 過 A 、 B 、 D 三 點
(3) 恰 有 一 個 二 次 多 項 式 函 數 的 圖 形 通 過 B 、 C 、 D 三 點
(4) 恰 有 一 個 三 次 多 項 式 函 數 的 圖 形 通 過 A 、 B 、 C 、 D 四 點
(5) 可 找 到 兩 平 行 直 線 ， 其 聯 集 包 含 A 、 B 、 C 、 D 四 點

1,2,5

6 . 設 c 為 實 數 ， E1 、 E2 、 E3 皆 為 坐 標 空 間 中 的 平 面 ， 其 方 程 式 如 下 ：

E1 ：

cx  y  c

E2 ：

cy  z  0

E3 ：

x  cz  1

已 知 E1 、 E2 、 E3 有 一 個 交 點 的 z 坐 標 為 1 ， 請 選 出 正 確 的 選 項 。

( 1 ) (1,0,0) 是 E1 、 E2 、 E3 的 一 個 交 點
( 2 ) E1 、 E2 、 E3 有 無 窮 多 個 交 點
( 3 ) E1 、 E2 、 E3 中 一 定 有 兩 個 平 面 重 合
(4) c  1
( 5 ) E1 、 E2 、 E3 有 一 個 交 點 的 z 坐 標 為 2

-3-

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數 學 甲

2,4

7.

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令 f ( x)  x 3  x 2  2 x  1 。 設 a、 b、 c 為 方 程 式 f ( x)  0 的 三 個 實 根 ， 且 a  b  c ， 請
選出正確的選項。

( 1 ) 極 限 lim
x 1

f (x)
存在
x 1

(2) a、 b、 c 至 少 有 一 個 在 0 與 1 之 間
(3) a, a2, a3,…, an,…為 收 斂 數 列
(4) b, b2, b3,…, bn,…為 收 斂 數 列
(5) c, c2, c3,…, cn,…為 收 斂 數 列

1,2

8 . 考 慮 函 數 f (x) | sin x |  | cos x| ， 其 中 x 為 任 意 實 數 。 請 選 出 正 確 的 選 項 。
( 1 ) f ( x)  f ( x) 對 所 有 實 數 x 均 成 立
(2) f 的 最 大 值 為

2

(3) f 的 最 小 值 為 0
(4) f (





) f ( )
10
9

(5) 函 數 f 的 （ 最 小 正 ） 週 期 為 

-4-

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共 7 頁

1,3,5

102 年指考
數 學 甲



9 . 考 慮 向 量 u  (a, b,0) 、 v  (c, d ,1) ， 其 中 a2  b2  c2  d 2  1。 請 選 出 正 確 的 選 項 。

(1) 向 量 v 與 z 軸 正 向 的 夾 角 恆 為 定 值 （ 與 c 、 d 之 值 無 關 ）
 
(2) u  v 的 最 大 值 為

2

 
( 3 ) u 與 v 夾 角 的 最 大 值 為 135

( 4 ) ad  bc 的 值 可 能 為

5
4

 
(5) | u  v |的 最 大 值 為

-5-

2

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數 學 甲

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三 、 選 填 題 （ 占 12 分 ）
說明：1.第 A 與 B 題，請將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的
列號(10–15)。
2.每題完全答對給 6 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。
A . 設 A 、 B 、 C 、 D 為 空 間 中 四 個 相 異 點 ， 且 直 線 CD 垂 直 平 面 ABC 。 已 知

AB  BC  CD  10 ， sin ABC 

4
， 且 ABC 為 銳 角 ， 則 AD 6 10
5

11

5。

（化成最簡根式）

B . 設 m 為 實 數 。 若 圓 x 2  y 2  4 x  7 y  10  0 與 直 線 y  m( x  3) 在 坐 標 平 面 上 的
兩 個 交 點 位 於 不 同 的 象 限 ， 而 滿 足 此 條 件 的 m 之 最 大 範 圍 為 a  mb， 則
a

12 2
13

3

、 b

5
。（化成最簡分數）
15 3
14

─ ─ ─ ─ ─ ─ 以下第貳部分的非選擇題，必須作答於答案卷 ─ ─ ─ ─ ─ ─

-6-

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102 年指考
數 學 甲

第 貳 部 分 ： 非 選 擇 題 （ 占 24 分 ）
說明：本部分共有二大題，答案必須寫在「答案卷」上，並於題號欄標明大題號（一、
二）與子題號（(1)、(2)、……）
，同時必須寫出演算過程或理由，否則將予扣
分甚至給零分。作答務必使用筆尖較粗之黑色墨水的筆書寫，且不得使用鉛
筆。每一子題配分標於題末。

一 . 設 p (x ) 為 一 實 係 數 多 項 式 ， 其 各 項 係 數 均 大 於 或 等 於 0 。 在 坐 標 平 面 上 ， 已
知 對 所 有 的 t  1 ， 函 數 y  p(x) 、 y  1  x 2 的 圖 形 與 直 線 x  1 、 x  t 所 圍 成 有
界 區 域 的 面 積 為 t 4  t 3  t 2  t  C （ 其 中 C 為 常 數 ）。

( 1 ) 試 說 明 p (x)  1  x 2 對 所 有 的 x  1 均 成 立 。 （ 2 分 ）
( 2 ) 設 t  1， 試 求



t
1

(  1  x 2 )dx 。 （ 3 分 ）

(3) 試 求 C 。 （ 2 分 ）
( 4 ) 試 求 p (x ) 。 （ 5 分 ）

二. 設 A(1,0) 、 B (0,1) 為 坐 標 平 面 上 兩 點 ， C 為 直 線 AB 外 一 點 。 經 平 面 線 性 變 換 M 作
用 後 ， A 被 映 射 至 A (1, 2) 、 B 被 映 射 至 B (1, 2) ， 而 C 被 映 射 至 C  。

(1) 試 問 變 換 M 的 矩 陣 為 何 ？ （ 4 分 ）
( 2 ) 試 證 明 變 換 M 將 ABC 的 重 心 映 射 至 AB C  的 重 心 。 （ 4 分 ）
( 3 ) 若 ΔABC 的 面 積 為 3 ， 試 求 點 C  與 直 線 AB 的 距 離 。 （ 4 分 ）

-7-