Òîì 0 âûïóñê 0 èþíü 1966 ÓÄÊ 515.122.5 Èòåðàöèè ðåçîëüâåíò è îäíîðîäíûå ïðîñòðàíñòâà ðàçäåëÿþùèõ òî÷åê Ì. Ñ. Øóëèêèíà Àííîòàöèÿ. Ïðèâåäåí ïîäõîä, îïèñûâàþùèé ïðîñòðàíñòâà èòåðàöèé ðåçîëüâåíò ñ ïîñòîÿííûìè îòîáðàæåíèÿìè. Åãî èñïîëüçîâàíèå ïîçâîëÿåò ñòðîèòü (îäíîðîäíûå, íå àëãåáðàè÷åñêè îäíîðîäíûå) ïðîñòðàíñòâà ðàçäåëÿþùèõ òî÷åê ïðîèçâîëüíîãî ïîðÿäêà. ðåçîëüâåíòà, ñâÿçíîñòü, ðàçäåëÿþùàÿ òî÷êà, îäíîðîäíîñòü, îáðàòíàÿ è ïðÿìàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Abstract. We describe the topology of a space obtained by iterating resolutions with constant maps. This description is used to construct (homogeneous, not coset) cut-point spaces of any order. resolution, connectedness, cut point, homogeneity, inverse and direct sequences. Êëþ÷åâûå ñëîâà: Keywords: 1. Ââåäåíèå Ðåçîëüâåíòû òîïîëîãè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ øèðîêî èñïîëüçóþòñÿ äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïðèìåðîâ è êîíòðïðèìåðîâ, óäîâëåòâîðÿþùèõ ðàçëè÷íûì òîïîëîãè÷åñêèì ñâîéñòâàì. Ïîíÿòèå ðåçîëüâåíòû áûëî ââåäåíî Â. Â. Ôåäîð÷óêîì â [1], è âûðàæàåò èäåþ çàìåíû êàæäîé òî÷êè èñõîäíîãî ïðîñòðàíñòâà ýêçåìïëÿðîì íåêîòîðîãî äðóãîãî ïðîñòðàíñòâà. Èñïîëüçîâàíèå ïðîöåññà èòåðàöèè ðåçîëüâåíò ïîçâîëÿåò ïîëó÷àòü ïðîñòðàíñòâà, èíòåðåñíûå êàê ñâîèìè ðàçìåðíîñòíûìè, òàê è êàðäèíàëüíîçíà÷íûìè èíâàðèàíòàìè. Îáçîð ñâåäåíèé î ðåçîëüâåíòàõ è ïðèìåðàõ èõ ïðèìåíåíèÿ ìîæíî íàéòè â ðàáîòàõ [2,3].  íàñòîÿùåé ñòàòüå ïîêàçàíî, ÷òî ïðîñòðàíñòâà, ïîñòðîåííûå â [4], ÿâëÿþòñÿ èòåðàöèÿìè ðåçîëüâåíò ñ ïîñòîÿííûìè îòîáðàæåíèÿìè. Èñïîëüçóÿ îïèñàíèå èç ðàáîòû [4], ïðèâîäèòñÿ ïîëíîå ðåøåíèå çàäà÷è ïîñòðîåíèÿ ïðîñòðàíñòâ ðàçäåëÿþùèõ òî÷åê ïðîèçâîëüíîãî ïîðÿäêà. Îòìåòèì, ÷òî ïðîñòðàíñòâà ðàçäåëÿþùèõ òî÷åê ïîðÿäêà 3 ïîñòðîåíû â [5] è [6], ïðè ýòîì â [6] ïðèâåäåííûé ïðèìåð îäíîðîäåí, è ãîâîðèòñÿ î âîçìîæíîñòè ïîñòðîåíèÿ ïðîñòðàíñòâ ðàçäåëÿþùèõ òî÷åê ëþáîãî Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå ãðàíòà ÐÔÔÈ  08-01-90702 ìîá-ñò, ÷àñòè÷íî ïðè ïîääåðæêå ÔÖÍ íàó÷íûå è íàó÷íî - ïåäàãîãè÷åñêèå êàäðû èííîâàöèîííîé Ðîññèè íà 20092013 ãã., ãîñêîíòðàêò  Ï937 îò 20.08.2009. Ì. Ñ. ØÓËÈÊÈÍÀ êîíå÷íîãî ïîðÿäêà. Ïîñòðîåííûå íàìè ïðîñòðàíñòâà ðàçäåëÿþùèõ òî÷åê ïðîèçâîëüíîãî ïîðÿäêà  îäíîðîäíû, è îòìå÷åíî, ÷òî ïðîñòðàíñòâà ðàçäåëÿþùèõ òî÷åê ïîðÿäêà 3 è áîëåå íå ìîãóò áûòü àëãåáðàè÷åñêè îäíîðîäíûìè. Ïîëàãàåì, ÷òî âñå ðàññìàòðèâàåìûå â äàííîé ñòàòüå ïðîñòðàíñòâà  òèõîíîâñêèå, îòîáðàæåíèÿ ïðîñòðàíñòâ  íåïðåðûâíûå. Èñïîëüçóåì òåðìèíîëîãèþ è îáîçíà÷åíèÿ ` èç [7], ÷åðåç ω îáîçíà÷èì íåîòðèöàòåëüíûå öåëûå ÷èñëà, è ïóñòü A B  äèçúþíêòíàÿ ñóììà ïðîñòðàíñòâ A è B . Òî÷êà x ñâÿçíîãî òîïîëîãè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà X íàçûâàåòñÿ [8], åñëè ïîäìíîæåñòâî X \ {x} íåñâÿçíî. Åñëè X \ {x} èìååò n (n > 2) êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè, òî òî÷êà x íàçûâàåòñÿ ðàçäåëÿþùåé òî÷êîé ïîðÿäêà n. Ïðîñòðàíñòâîì ðàçäåëÿþùèõ òî÷åê íàçûâàåòñÿ ïðîñòðàíñòâî, âñå òî÷êè êîòîðîãî ðàçäåëÿþùèå. ðàçäåëÿþùåé òî÷êîé 2. Èòåðàöèè ðåçîëüâåíò (À) Îïðåäåëåíèå ðåçîëüâåíòû. (Íàïðèìåð, [2,3]) Ïóñòü X - òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, êàæäîé òî÷êå x êîòîðîãî ñîîòâåòñòâóþò òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî Yx è íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå hx : X \ {x} → Yx . Áàçó òîïîëîãèè íà ìíîæåñòâå R(X, Yx , hx ) = S {{x} × Yx : x ∈ X} çàäàþò ìíîæåñòâà [ U ⊗x V = ({x} × V ) ∪ {{x0 } × Yx0 : x0 ∈ U ∩ h−1 x (V )}, ãäå x ∈ X , U  îòêðûòîå ïîäìíîæåñòâî X è x ∈ U , V  îòêðûòîå ïîäìíîæåñòâî Yx . Ïðîñòðàíñòâî R(X) = R(X, Yx , hx ) íàçûâàåòñÿ X (â êàæäîé òî÷êå x â Yx ïîñðåäñòâîì îòîáðàæåíèÿ hx ). Îòîáðàæåíèå π : R(X) → X , ïåðåâîäÿùåå ïàðó (x, y) â òî÷êó x, íàçûâàåòñÿ . ðåçîëüâåíòîé îòîáðàæåíèåì ðåçîëüâåíòû Ïðîöåññ ïîñòðîåíèÿ ðåçîëüâåíò ìîæíî èòåðèðîâàòü. Îáîçíà÷èì R0 = X , R1 = R(X) è ïóñòü πnn+1 : Rn+1 → Rn  îòîáðàæåíèÿ ðåçîëüâåíò äëÿ n ∈ ω , Rn+1 = R(Rn ). Ïðåäåë Rω îáðàòíîãî ñïåêòðà S = {Rn , πnn+1 , n ∈ ω} åñòü ω -èòåðàöèÿ ðåçîëüâåíò. (Á) Èòåðàöèÿ ðåçîëüâåíò ñ ïîñòîÿííûìè îòîáðàæåíèÿìè. Ðàññìîòðèì ñåìåéñòâî {Yn : n ∈ ω} òîïîëîãè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ ñ îòìå÷åííûìè òî÷êàìè yn ∈ Yn è ïîäïðîñòðàíñòâàìè Mn ⊂ Yn , n ∈ ω , yn ∈ / Mn ïðè n > 1. Ïóñòü 0 1 R = Y0 è ðåçîëüâåíòà R åñòü ïðîñòðàíñòâî R (Y0 , Yx , hx ), â êîòîðîì êàæäîé òî÷êå x ∈ M0 ïîñòàâëåíî â ñîîòâåòñòâèå ïðîñòðàíñòâî Yx = Y1 , à òî÷êàì x ∈ Y0 \ M0 ñîîòâåòñòâóåò ïðîñòðàíñòâî Yx = {y1 }. Îòîáðàæåíèå hx : Y0 \ {x} → Yx äëÿ ëþáîãî x ∈ Y0 ïîëàãàåì ðàâíûì ïîñòîÿííîìó îòîáðàæåíèþ â òî÷êó y1 . Ïðîñòðàíñòâî R0 åñòåñòâåííûì îáðàçîì îòîæäåñòâèì ñ ïîäïðîñòðàíñòâîì R0 × {y1 } ïðîñòðàíñòâà R1 . S Ïîëîæèì T1 = {{x} × M1 : x ∈ M0 } ⊂ R1 . Äàëåå ïðîâåäåì ïîñòðîåíèå ðåçîëüâåíò {Rn : n > 2} ïî èíäóêöèè. Äëÿ êàæäîãî n > 1 ïîëàãàåì Rn+1 = R (Rn , Yx , hx ), ãäå êàæäîé òî÷êå x ìíîæåñòâà Tn ñîîòâåòñòâóåò ïðîñòðàíñòâî Yx = Yn+1 , à òî÷êàì x ∈ Rn \ Tn ñîîòâåòñòâóåò ïðîñòðàíñòâî Yx = {yn+1 }; îòîáðàæåíèå hx : Rn \ {x} → Yx äëÿ ëþáîãî x ∈ Rn ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííûì S îòîáðàæåíèåì â òî÷êó yn+1 . Ïîëàãàåì Tn+1 = {{x} × Mn+1 : x ∈ Tn }. ÈÒÅÐÀÖÈÈ ÐÅÇÎËÜÂÅÍÒ È ÎÄÍÎÐÎÄÍÛÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀ ÐÀÇÄÅËßÞÙÈÕ ÒÎ×ÅÊ Îïðåäåëåíû îòîáðàæåíèÿ ðåçîëüâåíò πnn+1 : Rn+1 → Rn è âëîæåíèÿ in,n+1 : Rn → Rn+1 , n ∈ ω , ïðè êîòîðûõ äëÿ êàæäîãî n ∈ ω ïðîñòðàíñòâî Rn îòîæäåñòâëÿåòñÿ ñ ïîäïðîñòðàíñòâîì Rn × {yn+1 } ïðîñòðàíñòâà Rn+1 .  ïðîñòðàíñòâå Rn+1 , n ∈ ω , (ñ÷èòàåì R−1 = ∅ è T0 = M0 ) (à) áàçó îêðåñòíîñòåé òî÷åê z ∈ Tn ñîñòàâëÿþò ìíîæåñòâà: ({z} × V ) ∪ [ {{z 0 } × Yn+1 : z 0 ∈ (U \ {z}) ∩ Tn } ∪ [ {{z 0 } × {yn+1 } : z 0 ∈ U \ Tn }, ãäå U  îòêðûòîå ïîäìíîæåñòâî Rn \ Rn−1 , z ∈ U , V  îòêðûòîå ïîäìíîæåñòâî Yn+1 , yn+1 ∈ V ; (á) áàçó îêðåñòíîñòåé òî÷åê z ∈ Rn \ Tn ñîñòàâëÿþò ìíîæåñòâà âèäà [ {{z 0 } × Yn+1 : z 0 ∈ U ∩ Tn } ∪ [ {{z 0 } × {yn+1 } : z 0 ∈ U \ Tn }, ãäå U  îòêðûòîå ïîäìíîæåñòâî Rn è z ∈ U ; (â) è áàçó îêðåñòíîñòåé òî÷åê z = (x, y) ∈ Rn+1 \ Rn , ãäå x ∈ Tn è y ∈ Yn+1 , ñîñòàâëÿþò ìíîæåñòâà âèäà {x} × V, ãäå V  îòêðûòîå ïîäìíîæåñòâî Yn+1 , yn+1 6∈ V è y ∈ V . Òàêèì îáðàçîì, îïðåäåëåíû ïðÿìàÿ {Rn , in,n+1 , n ∈ ω} è îáðàòíàÿ {Rn , πnn+1 , n ∈ ω} ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è èõ ïðåäåëû Rω è Rω , ñîîòâåòñòâåííî. (Â) Ïðîñòðàíñòâà, ïîñòðîåííûå À. Ñîêîëîâñêîé â ðàáîòå [4]. Ïî ñåìåéñòâó F = {(Yn , Mn , yn ) : n ∈ ω}, ãäå Yn åñòü ïðîñòðàíñòâî, Mn ⊂ Yn , n ∈ ω , è òî÷êà yn 6∈ Mn ïðè n > 1, îïðåäåëÿþòñÿ ñåìåéñòâà ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé Xn äëèíû n + 1 òàêèå, ÷òî X0 = {(t0 ) : t0 ∈ Y0 } è Xn = {(t0 , . . . , tn ) : (t0 , . . . , tn ) ∈ M0 × M1 × · · · × Mn−1 × (Yn \ {yn })} äëÿ ëþáîãî n > 1. Ìíîæåñòâî êîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé îáîçíà÷àåòñÿ [ XF = {Xn : n ∈ ω}. Äëÿ òî÷êè P ∈ XF ÷åðåç |P | ∈ ω îáîçíà÷àåòñÿ èíäåêñ, äëÿ êîòîðîãî P ∈ X|P | . Ìíîæåñòâî áåñêîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé îáîçíà÷àåòñÿ DXF = {(t0 , t1 , . . . ) ; tn ∈ Mn , n ∈ ω} è bXF = XF ∪ DXF . Äëÿ òî÷êè P = (p0 , . . . , pn ) ∈ Xn è ïîäìíîæåñòâà U ⊂ Yn , pn ∈ U , îïðåäåëÿåòñÿ ìíîæåñòâî ↑ BP,U = {(t0 , . . . , tl ) ∈ bXF : n 6 l 6 ∞, ti = pi ïðè i < n, tn ∈ U } . ( ñëó÷àå l = ∞ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (t0 , . . . , tl ) ñ÷èòàåòñÿ áåñêîíå÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ (t0 , t1 , . . . ) ). Ïðè îïðåäåëåíèè òîïîëîãèè íà bXF ìíîæåñòâî U ïðåäïîëàãàåòñÿ îòêðûòûì â Yn , ïðè÷åì, åñëè n > 1 , òî U ⊂ Yn \ {yn }. Ì. Ñ. ØÓËÈÊÈÍÀ Äëÿ òî÷êè Q = (q0 , . . . , qn ) ∈ Xn , ãäå qn ∈ Mn , è ïîäìíîæåñòâà V ⊂ Yn+1 , ñîäåðæàùåãî òî÷êó yn+1 îïðåäåëÿåòñÿ ìíîæåñòâî ↓ ↑ BQ,V = bXF \ BQ 0 ,F ,  0 0 ãäå F = Yn+1 \ V è qn+1 ∈ F äëÿ òî÷êè Q0 = q0 , . . . , qn , qn+1 . Åñëè V = Yn+1 (ò.å. ↓ F = ∅) èëè qn 6∈ Mn , òî BQ,V = bXF . Òîïîëîãèÿ ïðîñòðàíñòâà bXF çàäàåòñÿ ïðåäáàçîé, ñîñòîÿùåé èç ìíîæåñòâ B = ↑ ↓ {BP,U , BQ,V }, ãäå P è Q  òî÷êè ïðîñòðàíñòâà XF , ìíîæåñòâà U è V îòêðûòû â Y|P | èëè Y|Q|+1 , ñîîòâåòñòâåííî. n S Ïðîñòðàíñòâà XF è XFn = Xk , n ∈ ω , ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê ïîäïðîñòðàíñòâà k=0 bXF . Îòìåòèì, ÷òî ïðè îïðåäåëåíèè ïðîñòðàíñòâà bXF ê ñåìåéñòâó F íàìè ïðåäúÿâëåíî òðåáîâàíèå yn 6∈ Mn , n > 1, îòëè÷íîå îò îðèãèíàëüíîãî â ðàáîòå [4]. Îäíàêî, òàêèì îáðàçîì ââåäåííàÿ ôîðìàëèçàöèÿ ðàâíîñèëüíà èñõîäíîé è óïðîùàåò èçëîæåíèå. (Ã) Ãîìåîìîðôèçì ïðîñòðàíñòâ bXF è Rω . Îïðåäåëèì áèåêöèþ ω -èòåðàöèè ðåçîëüâåíò Rω (ïðåäåëà îáðàòíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {Rn , πnn+1 , n ∈ ω}) íà ïðîñòðàíñòâî bXF . Q Òî÷êà z = (z0 , z1 , z2 , . . . ) ∈ Rω ⊂ {Rn : n ∈ ω} â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, åñëè zk+1 = (zk , tk+1 ) ∈ Rk+1 . Ïðè ýòîì, åñëè tk+1 = yk+1 , òî tm = ym ïðè m > k + 1. Òàêèì îáðàçîì, êàæäîé òî÷êå z = (z0 , z1 , z2 , . . . ) ∈ Rω ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (z0 , t1 , . . . , tn , . . . ) è îïðåäåëèòü áèåêöèþ g ïðåäåëà Rω íà bXF , ïîëàãàÿ g(z) = (z0 , t1 , . . . , tn(z) ), åñëè äëÿ z ñóùåñòâóåò ÷èñëî n(z) > 1 òàêîå, ÷òî tn(z)+1 = yn+1 , à tn(z) 6= yn(z) ; g(z) = (z0 ) ïðè n(z) = 0; è g(z) = (z0 , t1 , . . . , tn , . . . ) èíà÷å. Îòîáðàæåíèå g  ãîìåîìîðôèçì Rω íà bXF. ×åðåç πn : Rω → Rn , n ∈ ω , îáîçíà÷èì ïðåäåëüíûå ïðîåêöèè. Áàçó òîïîëîãèè íà Rω îáðàçóþò ìíîæåñòâà πn−1 O, ãäå O  îòêðûòûå áàçèñíûå ïîäìíîæåñòâà ïðîñòðàíñòâà Rn , n ∈ ω . ↑ Ïðîîáðàç ïðè îòîáðàæåíèè g îòêðûòîãî ìíîæåñòâà BP,U , îïðåäåëÿåìîãî òî÷êîé P = (z0 , . . . , tn ) ∈ Xn , n > 1, è îòêðûòûì ïîäìíîæåñòâîì U ⊂ Yn , tn ∈ U , yn 6∈ U ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì òî÷åê â Rω âèäà (z0 , z1 = (z0 , t1 ), z2 = (z1 , t2 ), . . . , zn−1 = (zn−2 , tn−1 ), zn0 = (zn−1 , t0n ), . . . ), ãäå t0n ∈ U . Îíî ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì πn−1 ({zn−1 }× U ), ãäå {zn−1 } × U  îòêðûòîå ïîäìíîæåñòâî Rn . Ñëó÷àé n = 0 î÷åâèäåí. ↓ Ïðîîáðàç ïðè îòîáðàæåíèè g îòêðûòîãî ìíîæåñòâà BQ,V , îïðåäåëÿåìîãî òî÷êîé Q = (z0 , . . . , tn ) ∈ Xn , tn ∈ Mn , è îòêðûòûì ïîäìíîæåñòâîì V ⊂ Yn+1 , yn+1 ∈ V , ÿâëÿåòñÿ äîïîëíåíèåì äî ìíîæåñòâà òî÷åê â Rω âèäà (z0 , z1 = (z0 , t1 ), z2 = 0 (z1 , t2 ), . . . , zn = (zn−1 , tn ), zn+1 = (zn , t0n+1 ), . . . ), ãäå t0n+1 ∈ Yn+1 \ V . Îíî ñîâïàäàåò −1 ñ äîïîëíåíèåì äî ìíîæåñòâà πn+1 ({zn }×(Yn+1 \V )), ãäå {zn }×(Yn+1 \V )  çàìêíóòîå n ïîäìíîæåñòâî R . Òàê êàê ïðîîáðàçû ìíîæåñòâ, îáðàçóþùèõ ïðåäáàçó bXF , îòêðûòû, òî îòîáðàæåíèå g íåïðåðûâíî. Èíäóêöèåé ïî n ∈ ω äîêàæåì, ÷òî îáðàçû îòêðûòûõ áàçèñíûõ ìíîæåñòâ ïðîñòðàíñòâà ω R îòêðûòû â bXF . Äîêàçàòåëüñòâî. ÈÒÅÐÀÖÈÈ ÐÅÇÎËÜÂÅÍÒ È ÎÄÍÎÐÎÄÍÛÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀ ÐÀÇÄÅËßÞÙÈÕ ÒÎ×ÅÊ Â ñëó÷àå n = 0 îáðàç ìíîæåñòâà π0−1 (O), ãäå O îòêðûòîå ïîäìíîæåñòâî R0 , åñòü ↑ îòêðûòîå â bXF ìíîæåñòâî BP,O äëÿ íåêîòîðîé òî÷êè P = (z0 ) ∈ O. Ïóñòü äëÿ k < n îáðàç ìíîæåñòâà πk−1 (O), ãäå O îòêðûòîå ïîäìíîæåñòâî Rk , îòêðûò â bXF . Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî πn−1 (O), ãäå O îòêðûòîå áàçèñíîå ïîäìíîæåñòâî â Rn . Òî÷êà z = (z0 , z1 = (z0 , t1 ), z2 = (z1 , t2 ), . . . ) ∈ πn−1 O, åñëè zn ∈ O. Ïóñòü O = ({zn−1 } × V ), ãäå V îòêðûòîå ïîäìíîæåñòâî Yn è yn 6∈ V . Òîãäà ìíîæåñòâî g(πn−1 (O)) ñîäåðæèò òî÷êè (z0 , t1 , . . . , tn−1 , t0n , . . . ), ãäå t0n ∈ V . Çíà÷èò ↑ g(π −1 (O)) = BP,V , ãäå P = (z0 , t1 , . . . , tn ), tn ∈ V , îòêðûòîå â bXF ìíîæåñòâî. S S Ïóñòü O = ({zn−1 }×V )∪ {{z 0 }×Yn : z 0 ∈ (U \{zn−1 })∩Tn−1 }∪ {{z 0 }×{yn } : z 0 ∈ U \ Tn−1 }, ãäå V  îòêðûòîå ïîäìíîæåñòâî ïîäìíîæåñòâî S Yn0 , yn ∈ V ,0 U  îòêðûòîåS n−1 R , zn−1 ∈ U è zn−1 ∈ Tn−1 , èëè O = {{z } × Yn : z ∈ U ∩ Tn−1 } ∪ {{z 0 } × {yn } : z 0 ∈ U \ Tn−1 }, ãäå U  îòêðûòîå ïîäìíîæåñòâî Rn−1 , zn−1 ∈ U è zn−1 ∈ Rn−1 \ Tn−1 . Òîãäà ìíîæåñòâî g(πn−1 (O)) ñîäåðæèò âñå òî÷êè âèäà (zn−2 , t0n−1 , . . . ) ∈ U , çà èñêëþ÷åíèåì òî÷åê (zn−1 , t0n , . . . ), ãäå t0n 6∈ V , åñëè zn−1 ∈ Tn−1 . Ñëåäîâàòåëüíî, ↓ −1 g(πn−1 (O)) = g(πn−1 (U ))∩BQ,V , ãäå Q = (z0 , t1 , . . . , tn−1 , yn ) (åñëè zn−1 ∈ Rn−1 \Tn−1 , ↓ −1 òî BQ,V = bXF ). Ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè ìíîæåñòâî g(πn−1 (U )) îòêðûòî â bXF . Çíà÷èò è ìíîæåñòâî g(πn−1 (O)) îòêðûòî â bXF . Äîêàçàíî, ÷òî îòîáðàæåíèå g  îòêðûòî, à çíà÷èò ÿâëÿåòñÿ ãîìåîìîðôèçìîì.  Îáîçíà÷èì Rfωin ⊂ Rω  ìíîæåñòâî òî÷åê z = (z0 , z1 , z2 , . . . ) ∈ Rω , äëÿ êîòîðûõ  ñóùåñòâóåò íîìåð n(z) ∈ N òàêîé, ÷òî zn(z)+1 = zn(z) , yn(z)+1 . ω Ïîëîæèì Rinf = Rω \ Rfωin . Èç îïðåäåëåíèÿ ãîìåìîðôèçìà g èìååì. (a) (b) (c) , (çäåñü îòîæäåñòâëÿåòñÿ ñ ïîäìíîæåñòâîì â Rω ). g(Rn ) = XFn Rn {(z0 , z1 , z2 , . . .) ∈ R ; zk+1 = (zk , yk+1 ), k > n)} g(Rfωin ) = XF ω g(Rinf ) = DXF . ω . Ïðÿìîé ïðåäåë Rω ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {Rn, in,n+1, n ∈ ω} óïëîòíÿåòñÿ íà ïðîñòðàíñòâî XF. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðÿìûì ïðåäåëîì Rω ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðåçîëüâåíò {Rn : ` n ∈ ω} ñ âëîæåíèÿìè in,n+1 : Rn → Rn+1 ÿâëÿåòñÿ ôàêòîð-ïðîñòðàíñòâî {Rn : n ∈ ω}/∼ ïî îòíîøåíèþ ýêâèâàëåíòíîñòè: x ∼ y , x ∈ Rn , y ∈ Rm , n < m, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà in,m (x) = (im−1,m ◦ · · · ◦ in,n+1 ) (x) = y [9]. Ðåêêóðåíòíî çàäàäèì íåïðåðûâíûå îòîáðàæåíèÿ fn : Rn → Rfωin . Äëÿ zn = (zn−1 , tn ) ïîëàãàåì fn (zn ) = (z0 , . . . , zn−1 , zn , zn+1 = (zn , yn+1 ), . . . ), ãäå ïåðâûå n êîîðäèíàò ñîâïàäàþò ñ êîîðäèíàòàìè òî÷êè fn−1 (zn−1 ), n > 1 (ïðè n = 0 è z0 ∈ Y0 ` ïîëàãàåì f0 (z0 ) = (z0 , z1 = (z0 , y1 ), . . . )). ×åðåç f : {Rn : n ∈ ω} → Rfωin îáîçíà÷èì êîìáèíàöèþ îòîáðàæåíèé fn , n ∈ ω . Îáðàçû ýêâèâàëåíòíûõ òî÷åê ïðè îòîáðàæåíèè f ñîâïàäàþò. Ïîýòîìó êîððåêòíî îïðåäåëåíî íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå Rω íà ïðîñòðàíñòâî Rfωin , ãîìåîìîðôíîå XF .  Óïëîòíåíèå â òåîðåìå 2 íå îáÿçàíî áûòü ãîìåîìîðôèçìîì. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü F = {(Yn = [0, 1], Mn = (0, 1], yn = {0}) : n ∈ ω}. Çàíóìåðóåì ðàöèîíàëüíûå S ÷èñëà Q = {rk : k ∈ N} èíòåðâàëà (0, 1) è ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî F = {πk−1 (g −1 (t0 (= rk ), . . . , tk−1 (= rk )) × [1/2, 1]) : k ∈ ω \ {0}} ⊂ Rω . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî f (Rn ) ∩ F Ì. Ñ. ØÓËÈÊÈÍÀ çàìêíóòî äëÿ ëþáîãî n ∈ ω (ëèøü ïåðâûå n ýëåìåíòîâ îáúåäèíåíèÿ ïåðåñåêàþòñÿ ñ f (Rn )). Òåì ñàìûì, f −1 (Rfωin \ F ) åñòü îòêðûòîå ïîäìíîæåñòâî ïðÿìîãî ïðåäåëà Rω . Îäíàêî, R0 ⊂ Rω \ F , íî ñàìî ïðîñòðàíñòâî Rω \ F íå ÿâëÿåòñÿ îêðåñòíîñòüþ â Rω íèêàêîé òî÷êè èç R0 (â ñèëó ïëîòíîñòè Q â [0, 1]). 3. Ðàçäåëÿþùèå òî÷êè ïðîñòðàíñòâà XF . Ïðîñòðàíñòâà Yn , n ∈ ω , ñåìåéñòâà F = {(Yn , Mn , yn ) : n ∈ ω} ñ ôèêñèðîâàííûìè òî÷êàìè yn ∈ Yn è ïîäïðîñòðàíñòâàìè Mn ⊂ Yn ,n ∈ ω , ãäå yn 6∈ Mn ïðè n > 1, âñþäó íèæå ñ÷èòàåì ñâÿçíûìè. Ñëåäóåì ïîíÿòèÿì, ââåäåííûì â [4]. Ïî òî÷êå P = (p0 , p1 , . .S. pn ) ∈ XF , ãäå pn ∈ Mn , îïðåäåëèì ñëîé CP = {(p0 , p1 , . . . , pn , t) : t ∈ Yn+1 \ {yn+1 }} {P }. Îòìåòèì, ÷òî êàæäûé ñëîé CP ãîìåîìîðôåí ñîîòâåòñòâóþùåìó ïðîñòðàíñòâó Yn+1 [4]. Ïîëàãàåì C∅ = {(t) : t ∈ Y0 }. Ñëîé C∅ ãîìåîìîðôåí Y0 . Ïóñòü P, Q ∈ XF , òîãäà • P < Q, åñëè Q ∈ CP è P 6= Q (ñëîè CP è CQ ïåðåñåêàþòñÿ, åñëè ñëîé CQ îïðåäåëåí); • P  Q, åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ êîíå÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü P1 , . . . , Pn òî÷åê XF , ÷òî P = P1 < P2 < · · · < Pn = Q (ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîïàðíî ïåðåñåêàþùèõñÿ ñëîåâ CP = CP1 è CP2 , CP2 è CP3 , . . . , CPn−1 è CPn = CQ , åñëè ñëîé CQ îïðåäåëåí). Äëÿ òî÷êè P = (p0, p1, . . . , pn) ∈ XF èìååì (a) Åñëè E ⊂ Yn \↑ {yn}  ñâÿçíîå ïîäìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå òî÷êó pn, òî ìíîæåñòâî BP,E  ñâÿçíîå ïîäìíîæåñòâî XF. (b) Åñëè E ⊂ Yn+1  ñâÿçíîå ïîäìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå òî÷êó yn+1, è pn ∈ ↓ Mn , òî ìíîæåñòâî BP,E  ñâÿçíîå ïîäìíîæåñòâî XF . (a) Ïóñòü P 0 = (p0 , p1 , . . . pn−1 ) ⊂ CP 0 è E 0 = {(p0 , p1 , . . . , pn−1 , t) : S t ∈ Yn ∩ E}. Òîãäà = E 0 ∪ {CQ : P 00  Q, P 00 ∈ E 0 , è ñëîé CQ îïðåäåëåí}. ↑ Ìíîæåñòâî E 0 ñâÿçíî, è äëÿ êàæäîãî ñëîÿ CQ ∈ BP,E ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîïàðíî ïåðåñåêàþùèõñÿ ñâÿçíûõ ñëîåâ CP1 , CP2 , CP3 , . . . CPn−1 , CPn = CQ ìíîæåñòâà ↑ ↑ BP,E , CP1 ∩ E 0 6= ∅. Òåì ñàìûì, BP,E ñâÿçíî. 0 0 0 (b) Ïóñòü P0 = (p0 ), P1 = (p0 , p1 ), . . . Pn−1 = (p0 , p1 , . . . , pn−1 ) è E 0 = {(p0 , p1 , . . . , pn , t) : t ∈ Yn+1 ∩ E}. Òîãäà [ [ ↓ BP,E = {CQ : P0  Q, P0 = (t) ∈ C∅ , t 6= p0 , è ñëîé CQ îïðåäåëåí} C∅ ∪ Äîêàçàòåëüñòâî. ↑ BP,E [ [ ∪ {CQ : P1  Q, P1 = (p0 , t) ∈ CP00 , t 6= p1 , è ñëîé CQ îïðåäåëåí} CP00 ∪ . . . [ [ 0 0 ∪ {CQ : Pn  Q, Pn = (p0 , p1 , . . . , pn−1 , t) ∈ CPn−1 , t 6= pn , è ñëîé CQ îïðåäåëåí} CPn−1 ∪ [ [ ∪ {CQ : P 00  Q, P 00 ∈ E 0 , è ñëîé CQ îïðåäåëåí} E 0 . S S Ñîãëàñíî ðàññóæäåíèÿì â ñëó÷àå (a), êàæäîå èç ìíîæåñòâ âèäà {CQ } CPk0 , k = S S ∅, 1, . . . n − 1 à òàêæå ìíîæåñòâî {CQ } E 0 ñâÿçíû. Ïðè ýòîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 0 C∅ , CP00 , . . . CPn−1 ñëîåâ èç äàííûõ ìíîæåñòâ è ìíîæåñòâî E 0 ïåðåñåêàþòñÿ. Òåì ↓ ñàìûì, ìíîæåñòâî BP,E ñâÿçíî.  ÈÒÅÐÀÖÈÈ ÐÅÇÎËÜÂÅÍÒ È ÎÄÍÎÐÎÄÍÛÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀ ÐÀÇÄÅËßÞÙÈÕ ÒÎ×ÅÊ Ïðîñòðàíñòâî XF ÿâëÿåòñÿ ñâÿçíûì. Åñëè äëÿ íåêîòîðîãî n ∈ ω è òî÷êè pn ∈ Mn ïîäïðîñòðàíñòâî Yn \ {pn } èìååò k êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè, à ïîäïðîñòðàíñòâî Yn+1 \ {yn+1 } èìååò m êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè, òî òî÷êà P = (p0 , . . . , pn−1 , pn ), ãäå p0 ∈ Y0 , . . . , pn−1 ∈ Yn−1  ëþáûå äîïóñòèìûå òî÷êè, ÿâëÿåòñÿ ðàçäåëÿþùåé òî÷êîé ïðîñòðàíñòâà XF ïîðÿäêà k + m. Äðóãèìè ñëîâàìè, åñëè òî÷êà pn  ðàçäåëÿþùàÿ òî÷êà ïðîñòðàíñòâà Yn ïîðÿäêà k > 2, à òî÷êà yn+1  ðàçäåëÿþùàÿ òî÷êà ïðîñòðàíñòâà Yn+1 ïîðÿäêà m > 2, òî òî÷êà P = (p0, . . . , pn−1, pn), ãäå p0 ∈ Y0, . . . , pn−1 ∈ Yn−1  ëþáûå äîïóñòèìûå òî÷êè, ÿâëÿåòñÿ ðàçäåëÿþùåé òî÷êîé ïðîñòðàíñòâà XF ïîðÿäêà k + m. Ïî óñëîâèþ òåîðåìû ìíîæåñòâî Yn \ {pn } èìååò k êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè Yn,j , j = 1, 2, . . . , k , ãäå áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ðàññóæäåíèé ñ÷èòàåì, ÷òî yn ∈ Yn,1 ; à ìíîæåñòâî Yn+1 \ {yn+1 } èìååò m êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè Yn+1,l , l = 1, 2, . . . , m. Òîãäà ïîäìíîæåñòâî XF \ {P } ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå Äîêàçàòåëüñòâî. XF \ {P } = k a j=2 ↑ BQ n,j ,Yn,j ∪ m a ↑ ∪ BP↓ 0 ,Yn,1 , BQ n+1,l ,Yn+1,l l=1 ãäå P 0 = (p0 , . . . , pn−1 ), Qn,j = (p0 , . . . , pn−1 , yn,j ), yn,j ∈ Yn,j , j = 2, . . . , k , è Qn+1,l = (p0 , . . . , pn , yn+1,l ), yn+1,l ∈ Yn+1,l , l = 1, . . . , m. Âñå ñëàãàåìûå ñóììû  îòêðûòûå, ïîïàðíî äèçúþíêòíûå è ñâÿçíûå, ïî ëåììå 1, ìíîæåñòâà.  Òåîðåìà 3 îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâîé è äëÿ íåðàçäåëÿþùèõ òî÷åê ñâÿçíîãî ïðîñòðàíñòâà (ñ÷èòàÿ èõ ðàçäåëÿþùèìè ïîðÿäêà 1). Äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè K = {n1 , n2 , . . . }, ni ∈ ω ∪ {∞}, ni > 2, i ∈ N, ñóùåñòâóåò ïðîñòðàíñòâî ðàçäåëÿþùèõ òî÷åê, ïîðÿäêè êîòîðûõ ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè K , è òîëüêî èõ. W Îáîçíà÷èì ÷åðåç i áóêåò i îêðóæíîñòåé S 1 ñ îáùåé òî÷êîé bi , i ∈ ω ∪ {∞}, i > 1.  ñëó÷àå êîíå÷íîãî W ÷èñëà i òîïîëîãèÿ íà Vi åñòåñòâåííàÿ. Áàçó òîïîëîãèè â òî÷êå b∞ ïðîñòðàíñòâà ∞ ñîñòàâëÿþò ìíîæåñòâà, ñîäåðæàùèå âñå îêðóæíîñòè, êðîìå èõ êîíå÷íîãî ÷èñëà, è ïåðåñåêàþùèå êàæäóþ îêðóæíîñòü ïî îòêðûòîìó ìíîæåñòâó. Áàçà òîïîëîãèè â îñòàëüíûõ òî÷êàõ ñîâïàäàåò ñ òîïîëîãèåé îêðóæíîñòè. W Î÷åâèäíî, ÷òî åäèíñòâåííîé ðàçäåëÿþùåé òî÷êîé ïðîñòðàíñòâà i ÿâëÿåòñÿ òî÷êà W bi ïîðÿäêà i ïðè i > 2. Ïðè i = 1 ó ïðîñòðàíñòâà 1 = S 1 ðàçäåëÿþùèõ òî÷åê íåò. Èñêîìûì áóäåò ïðîñòðàíñòâî XF , ïîñòðîåííîå ïî ñåìåéñòâó F = {(Yi , Mi , yi ) : i ∈ ω} ñ ôèêñèðîâàííûìè òî÷êàìè yi ∈ Yi è ïîäïðîñòðàíñòâàìè Mi ⊂ Yi , ãäå Y0 = M0 = S 1 , W y0  ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà îêðóæíîñòè, Yi = ni −1 , yi = bni −1 , è Mi = Yi \ {yi }, i > 1.  [6] ïîñòðîåí ïðèìåð îäíîðîäíîãî ïðîñòðàíñòâà ðàçäåëÿþùèõ òî÷åê ïîðÿäêà 3 è óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî ïðåäëîæåííûì ñïîñîáîì ìîæíî ïîñòðîèòü ïðîñòðàíñòâî ðàçäåëÿþùèõ òî÷åê ïîðÿäêà n äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî n > 3. Ïîêàæåì, ÷òî èñïîëüçîâàíèå èòåðàöèé ðåçîëüâåíò ïîçâîëÿåò ðåøèòü ýòî âîïðîñ. X Fn Äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n > 2 ñóùåñòâóåò îäíîðîäíîå ïðîñòðàíñòâî ðàçäåëÿþùèõ òî÷åê ïîðÿäêà n. Ì. Ñ. ØÓËÈÊÈÍÀ Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì èíäóêóöèåé ïî n > 2. . Ïðè n = 2 ïîëàãàåì F2 = { Yi = S 1 , Mi , yi : i ∈ ω}, yi  ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà S 1 , i ∈ ω , M0 = S 1 , Mi = S 1 \ {yi } ïðè i > 1. Òîãäà XF2  ïðîñòðàíñòâî ðàçäåëÿþùèõ òî÷åê ïîðÿäêà 2 ïî òåîðåìå 3 è îäíîðîäíîå ïî ëåììå 10 èç [4]. . Äîïóñòèì, ÷òî äëÿ âñåõ k 6 n ñóùåñòâóåò îäíîðîäíîå ïðîñòðàíñòâî ðàçäåëÿþùèõ òî÷åê ïîðÿäêà k . . Ïóñòü k = n. Îïðåäåëèì ñåìåéñòâî Fn = {(Yi , Mi , yi ) : i ∈ ω} ñ ôèêñèðîâàííûìè òî÷êàìè yi ∈ Yi è ïîäïðîñòðàíñòâàìè Mi ⊂ Yi ñëåäóþùèì îáðàçîì. Äëÿ êàæäîãî i ∈ ω ïîëàãàåì Y2i+1 = XFn−1 , Y2i = S 1 . Òî÷êè yi ∈ Yi , i ∈ ω , âûáèðàåì ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì, M0 = Y0 , Mi = Yi \ {yi } ïðè i > 1. Ïî òåîðåìå 3 ïðîñòðàíñòâî XFn ÿâëÿåòñÿ ïðîñòðàíñòâîì ðàçäåëÿþùèõ òî÷åê ïîðÿäêà n. Îíî îäíîðîäíî ïî ëåììå 10 èç [4].  Ïðèâåäåì ïðèìåð ïðîñòðàíñòâà ðàçäåëÿþùèõ òî÷åê ïîðÿäêà 2, íå ÿâëÿþùåãîñÿ îäíîðîäíûì.  êà÷åñòâå ïåðâîãî ïðîñòðàíñòâà Y1 âîçüìåì äâóìåðíûé îòêðûòûé äèñê (îí íå èìååò ðàçäåëÿþùèõ òî÷åê), âñå ïðîñòðàíñòâà Yi , i > 1,  îêðóæíîñòè, Mi = Yi , òî÷êè yi ôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì. Ïðèìåíèì ñ÷åòíîå ÷èñëî èòåðàöèé.  ýòîì ñëó÷àå òî÷êó P = (p0 ) íåëüçÿ îòîáðàçèòü íè âîäíó èç òî÷åê, íàïðèìåð Q = (q0 , q1 ). Òàê êàê ëþáàÿ îêðåñòíîñòü òî÷êè P ñîäåðæèò ïîäìíîæåñòâî ãîìåîìîðôíîå äèñêó, ò.å. ïîäìíîæåñòâî áåç ðàçäåëÿþùèõ òî÷åê. Ïðè ýòîì ó òî÷êè Q åñòü îêðåñòíîñòü, ëþáîå ïîäìíîæåñòâî êîòîðîé ñîäåðæèò ðàçäåëÿþùèå òî÷êè. Ïîýòîìó íå ñóùåñòâóåò ãîìåîìîðôèçìà, îòîáðàæàþùåãî P â Q. Äîêàçàòåëüñòâî. Áàçà èíäóêöèè Ïðåäïîëîæåíèå èíäóêöèè Øàã èíäóêöèè  [8, Ãë. 5, Ÿ46, IX, Òåîðåìà 1] äîêàçàíî, ÷òî åñëè X ñåïàðàáåëüíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, òî ÷èñëî ðàçäåëÿþùèõ òî÷åê ïîðÿäêà > 3 íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíî. Ñëåäîâàòåëüíî, â ïðèâåäåííûõ âûøå ïðèìåðàõ ïðîñòðàíñòâà íå ÿâëÿþòñÿ ñåïàðàáåëüíûìè ìåòðè÷åñêèìè. Ðåçîëüâåíòà R(S 1 ) = R(S 1 , Yx = S 1 , hx : S 1 \ {x} → {?}) îêðóæíîñòè â êàæäîé òî÷êå â îêðóæíîñòü ïîñðåäñòâîì ïîñòîÿííîãî îòîáðàæåíèÿ åñòü íåñåïàðàáåëüíûé áèêîìïàêò [2], âëîæèìûé â ïðîñòðàíñòâà, ïîñòðîåííûå â òåîðåìå 4 è ïðèìåðå 1. Òàêèì îáðàçîì, ïðîñòðàíñòâà XFn è XF íåìåòðèçóåìû. Ïðîñòðàíñòâà XFn è XF , â ñëó÷àå ni ∈ ω , i ∈ N, ÿâëÿþòñÿ ñ÷åòíûì îáúåäèíåíèåì ïîäìíîæåñòâ: R0 , R1 \ R0 , . . . , Rn+1 \ Rn , . . . , êàæäîå èç êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ ñ÷åòíûì îáúåäèíåíèåì ìåòðèçóåìûõ ïîäìíîæåñòâ.  [10] äëÿ ïðîèçâîëüíîãî òîïîëîãè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà ïîêàçàíî, ÷òî ïðîñòðàíñòâî ðàçäåëÿþùèõ òî÷åê íå ìîæåò áûòü áèêîìïàêòíûì. Ïðîñòðàíñòâà â ïðèìåðå 1 ÿâëÿþòñÿ σ -áèêîìïàêòíûìè (ðåçîëüâåíòû R0 , R1 , . . . , Rn , . . . áèêîìïàêòíû). Ïðîñòðàíñòâî, ÿâëÿþùååñÿ ïðîñòðàíñòâîì ëåâûõ ñìåæíûõ êëàññîâ òîïîëîãè÷åñêîé ãðóïïû, íàçûâàåòñÿ . àëãåáðàè÷åñêè îäíîðîäíûì Îäíîðîäíîå ïðîñòðàíñòâî Xn ðàçäåëÿþùèõ òî÷åê ïîðÿäêà n > 3 íå ÿâëÿåòñÿ àëãåáðàè÷åñêè îäíîðîäíûì. Èç çàìå÷àíèÿ 2 [11] ñëåäóåò, ÷òî ïðîñòðàíñòâî àëãåáðàè÷åñêè îäíîðîäíî, åñëè íà íåì âîçìîæíî òðàíçèòèâíîå è (x ∈ int(Ox), ãäå Ox = ∪{g(x) : g ∈ O}, äëÿ ëþáîé îêðåñòíîñòè åäèíèöû O, äåéñòâóþùåé ãðóïïû). Äëÿ x ∈ X3 âîçüìåì â êàæäîé êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè ìíîæåñòâà X3 \ {x} = Y1 ∪ Y2 ∪ Y3 ïî òî÷êå yi ∈ Yi , i = 1, 2, 3. Òîãäà ïðè ëþáîé òîïîëîãèçàöèè íåïðåðûâíî äåéñòâóþùåé íà X3 ãðóïïû åå îêðåñòíîñòüþ åäèíèöû áóäåò ìíîæåñòâî O = {h : Äîêàçàòåëüñòâî. îòêðûòîå äåéñòâèå ÈÒÅÐÀÖÈÈ ÐÅÇÎËÜÂÅÍÒ È ÎÄÍÎÐÎÄÍÛÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀ ÐÀÇÄÅËßÞÙÈÕ ÒÎ×ÅÊ h(yi ) ∈ Yi , i = 1, 2, 3}. Äëÿ ëþáîãî h ∈ O èìååì h(x) = x. Äåéñòâèòåëüíî ìíîæåñòâà Y1 ∪ {x} ∪ Y2 , Y2 ∪ {x} ∪ Y3 è Y1 ∪ {x} ∪ Y3 ñâÿçíû; h(Y1 ∪ {x} ∪ Y2 ) ∩ Y1 6= ∅, h(Y1 ∪ {x} ∪ Y2 ) ∩ Y2 6= ∅, è h(Y1 ∪ {x} ∪ Y2 ) ñâÿçíî. Çíà÷èò, x ∈ h(Y1 ∪ {x} ∪ Y2 ) (èíà÷å ìíîæåñòâî h(Y1 ∪ {x} ∪ Y2 ) áóäåò íåñâÿçíî). Àíàëîãè÷íî x ∈ h(Y2 ∪ {x} ∪ Y3 ) è x ∈ h(Y1 ∪ {x} ∪ Y3 ). Òåì ñàìûì, h(x) = x äëÿ ëþáîãî h ∈ O è äåéñòâèå íå îòêðûòî. Äëÿ x ∈ Xn , n > 4, âîçüìåì â êàæäîé êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè ìíîæåñòâà Xn \ {x} = Y1 ∪ · · · ∪ Yn ïî òî÷êå yi ∈ Yi , i = 1, . . . , n. Òîãäà ïðè ëþáîé òîïîëîãèçàöèè íåïðåðûâíî äåéñòâóþùåé íà Xn ãðóïïû åå îêðåñòíîñòüþ åäèíèöû áóäåò ìíîæåñòâî O = {h : h(yi ) ∈ Yi , i = 1, . . . , n}. Äëÿ ëþáîãî h ∈ O èìååì h(x) = x. Äåéñòâèòåëüíî ìíîæåñòâà Y1 ∪ {x} ∪ Y2 è Y3 ∪ {x} ∪ Y4 ñâÿçíû; h(Y1 ∪ {x} ∪ Y2 ) ∩ Y1 6= ∅, h(Y1 ∪ {x} ∪ Y2 ) ∩ Y2 6= ∅, è h(Y1 ∪ {x} ∪ Y2 ) ñâÿçíî. Çíà÷èò, x ∈ h(Y1 ∪ {x} ∪ Y2 ) (èíà÷å ìíîæåñòâî h(Y1 ∪ {x} ∪ Y2 ) áóäåò íåñâÿçíî). Àíàëîãè÷íî x ∈ h(Y3 ∪ {x} ∪ Y4 ). Òåì ñàìûì, h(x) = x äëÿ ëþáîãî h ∈ O è äåéñòâèå íå îòêðûòî.  Ì. Ñ. ØÓËÈÊÈÍÀ G