r v III. Законы сохранения. Работа и мощность. r r m - масса материальной точки p = m ⋅ v 1. Импульс материальной точки r v - скорость этой материальной точки 2. Импульс системы материальных точек равен векторной сумме импульсов всех точек, входящих в эту систему. Пример: импульс однородного диска, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через центр r r r r pсист = p1 + p2 + K + pn m r p3 r r r r r r p диск = p1 + p2 + p3 + p4 + K + pn = 0 r r p ↑↑ v m1 m3 m4 r p1 r 3. Теорема об изменении импульса материальной точки r p 4 m p2 2 r r r ∆p = p 2 − p1 - изменение импульса материальной точки. r точку. ∑ F - сумма всех сил, действующих на материальную r r r r r Выводится из II закона Ньютона : m a = F . Если F = const , то a = const и ∑ ∑ ∑ F = const r r r r ∆v v 2 − v 1 Подставив в уравнение↑ и, домножив обе части на ∆t , получим … a= = ∆t - время действия сил. r ∆t ∆t F ⋅ ∆t - импульс силы. 4. Теорема об изменении импульса системы материальных точек r r r r r r K ∆ p = ∆ p + ∆ p + + ∆ p = F ∆t ; Из п. 2: сист 1 2 n ∑ F — сумма всех сил, действующих на все мат. точки системы r r ∆p = ∑ F ⋅ ∆t ∑ Из п.3: r r r r ∆p1 = ∑ F1∆t , ∆p2 = ∑ F2 ∆t , … r r ∑F = ∑F r − сумма внешних сил, действующих на все мат. точки системы ∑ F внеш r r + ∑ F внутр = ∑ F внеш + 0 r — сумма внутренних сил, действующих на все мат. ∑ F внеш внутр r r r r r r r r r r точки r системы ∑ F внутр = F21 + F31 + K + F12 + F32 + K + F13 + F23 + K = 0 − по III закону Ньютона F12 + F21 = 0, F13 + F31 = 0, K r r r F ∆pсист = ∑ Fвнешн ⋅ ∆t ∑ ∆t r ∑ F внеш = const r r ′ = pсист ′′ pсист 1) r ∑F внеш =0 2) ∆t ≈ 0 - при быстрых взаимодействиях (взрывах, выстрелах, соударениях), если внешние силы не возрастают до больших значений и остаются малы по сравнению с внутренними силами. 6. Работа силы Единица измерения работы в СИ: 1 Дж = 1 Н⋅м r F = const F А < 0, если α — тупой угол. r r F1 r F2 r dr2 r dr1 — изменение импульса системы материальных точек за время ∆t Импульс системы материальных точек сохраняется, если 1) Сумма внешних сил, действующих на эту систему равна нулю. 2) Время действия внешних сил мало так, что изменение импульса системы незначительно по сравнению с изменениями импульсов входящих в систему тел - выстрелы, взрывы, соударения, при которых внешние силы малы по сравнению с внутренними силами. Кроме того, 3) сохраняется проекция импульса на ту координатную ось, к которой перпендикулярна сумма внешних сил. r ′ x = pсист ′′ x , если ∑Fвнеш⊥OX pсист О Х r r r A Fr = F ⋅ ∆ r = F ⋅ ∆ r ⋅ cos α = F x ∆ x + F y ∆ y + F z ∆ z A r — работа силы Fr F А > 0, если α — острый угол. r А = 0, если α = 90о. — сумма внешних сил, действующих на все мат. точки системы — время, в течение которого действовали силы. r ∆pсист 5. Закон сохранения импульса: Если, внеш F r ∆r r ∆r r F r ∆r начальное и конечное положения точки r F α r ∆r r ∆r — перемещение материальнойrточки, на F. r r F и перемещением ∆r которую действует сила α — угол между силой Чтобы найти работу не постоянной силы над точкой, которая движется по произвольной траектории, r r надо мысленно разбить движение на такие малые перемещения dr1 , dr2 , K , чтобы на каждом из них с достаточной точностью можно было бы считать движение прямолинейным, а силу постоянной. Тогда r r r r r r A = F1dr1 + F2 dr2 + K Например, если F = const и ∠( F ;v ) = α = const, то Fs = F⋅cosα − проекция силы на направление вектора скорости А = F⋅s⋅cosα = Fs⋅s , где s — путь 7. Мощность Единица измерения мощности в СИ 1 Вт = 1Дж/с A N= t Работа, совершенная за время t. r F α Если мощность не постоянна, то вычисляется средняя мощность: N = const N ср = 8. Механическая энергия мгновенная мощность: r r r r Fdr N= = F ⋅v N = F ⋅ v dt A t r v ⋅ cosα Потенциальная энергия − этой энергией обладают тела и системы тел, на которые действуют консервативные силы: Fграв (Fтяж), Fупр, Fэлектр Емех = Ек + Ер (Эти силы консервативны, если каждому положению тела (системы) соответствует неизменное во времени значение этих сил. Например, если эти силы являются внутренними для системы.) Кинетическая энергия Этой энергией обладают движущиеся тела. Силы, работа которых над системой (телом) при ее перемещении зависит только от начального и конечного положений этой системы (тела). сист Работа консервативных сил не зависит от того, каким способом (по какой mv 2 Ek = Ek1 + Ek 2 + K Ek = траектории) система была переведена из начального положения в конечное. 2 Кинетическая энергия Основное свойство консервативных сил: работа консервативных сил системы материальных точек над системой, совершившей движение по замкнутой траектории Кинетическая энергия (когда конечное положение совпадает с начальным), равна нулю. материальной точки массой m, движущейся со скоростью v. Потенциальная энергия — это такая функция от расположения Теорема о кинетической системы, убыль которой при перемещении системы равна работе Работа всех сил, энергии: ∆E k = Aвсех сил Изменение кинетической энергии системы конс консервативных сил на этом перемещении. Еp1 – Ep2 = A1−2 Чтобы вычислить конкретное значение Ер , договариваются в каком положении системы "О" считать Ер(О) = 0. Тогда в произвольном положении "М" потенциальная энергия системы Ер(М) = Аконс М–О действующих в системе. 9. Теорема о механической энергии ∆E мех = ∆E k + ∆E p = Aвсех сил − Aконс = Aнеконс. сил ∆Eмех = Анеконс E pтяж = ±mghцентра масс над нулевым уровнем E упр p k∆l 2 = 2 10. Закон сохранения механической энергии h (+) Ер = 0 h (–) ′ = Eмех ′′ Eмех Механическая энергия системы материальных точек сохраняется, если в системе совершают работу только консервативные силы (Анек = 0) Если Анеконс = 0 11. Диссипативные силы — неконсервативные силы, работа которых сопровождается выделением Fтрения скольжения ; Fсопр. жидк. и г.; Fнеупруг. взаимод. тепла. Авнутр. дис = – Q — не зависит от системы отсчета E′мех – E″мех = Q Если Анеконс = Авнутр. дис. 12. Методы вычисления работы r r r r AF = F ⋅ ∆ r = F ⋅ ∆ r ⋅ cos α А Aконс 1−2 = Еp1 – Ep2 Анеконс = ∆Eмех A всех сил = ∆Ek AFr = ± Sпод графиком Fs ( s ) Численно «+» − если график выше оси s «−» − если график ниже оси s A1тяж −2 r F = const = mg(h1 – h2) A1упр −2 = Fs 13. Средняя по времени сила k (∆l12 − ∆l22 ) 2 r r ∆pсист Fср = ∆t Средняя по времени сумма внешних сил, действующих на систему материальных точек Изменение импульса системы за время ∆t Fs = F⋅cosα − проекция силы на направление вектора скорости s пройденный путь