1 Получение передаточной функции объекта на примере RLC цепи Получение передаточных функций наглядно представляется на примере электрической цепи. Таблица 1. Связь мгновенных значений напряжений и токов на элементах Резистор u R = RiR i g = Ru R iR Катушка индуктивности uL = L di L dt iL = 1 u L dt L∫ iL Конденсатор iC uC = 1 iC dt C∫ iC = C du C dt Процедуру получения передаточной функции объекта можно разбить на следующие этапы: 1. получение дифференциальных уравнений системы; 2. запись уравнений в операторной форме; 3. запись передаточной функции. 1.1 Примеры Пример 1.1 Записать уравнения математической модели, определить передаточную функцию для объекта, приведенного на рисунке 1.1, при R1 = R2 = 1 кОм, R3 = 2 кОм, С1 = С 2 = 1 мкФ: PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com Рисунок 1.1. Эквивалентная схема объекта 1. Выходной величиной будем считать напряжение на выходе цепи, т.е. y = U вых , входным воздействием – напряжение на входе u = U вх . Физическими законами, в силу которых развиваются процессы в объекте, являются законы Киргофа и Ома. 2. Запишем дифференциальные уравнения, характеризующие процессы, протекающие в цепи, выразив сопротивления с помощью оператора дифференцирования, согласно таблице 1, заменяя операцию дифференцирования на p. 3. Запишем сопротивление R∗ при параллельном соединении элементов: R2 R∗ = . R2 C1 p + 1 Запишем сопротивление в контуре, считая, что известно: 1 R0 = . R∗ 1 1 + 1 R∗ + R3 C2 p Ток до разветвления по закону Ома равен: U вх U вх (( R2 C1 p + 1)( R3 C 2 p + 1) + R2 C 2 p )) I= = R1 + R0 R1 ( R2 C1 p + ( R3 C 2 p + 1)( R2 C1 p + 1)) + R2 ( R3C 2 p + 1) , Тогда напряжение в контуре будет равно: U 0 = IR0 = U вх R2 ( R3 C2 p + 1) , R1 ( R2 C1 p + ( R3 C2 p + 1)( R2 C1 p + 1)) + R2 ( R3C2 p + 1) Ток после разветвления равен: U вх R2 C 2 p U0 == I0 = 1 + R3 C2 p R1 ( R2 C1 p + ( R3 C 2 p + 1)( R2 C1 p + 1)) + R2 ( R3C 2 p + 1) PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com , нам Запишем выходное напряжение: U вых = I 0 R3 = U вх R2 R3 C 2 p . R1 ( R2 C1 p + ( R3 C 2 p + 1)( R2 C1 p + 1)) + R2 ( R3C 2 p + 1) 4. Запишем окончательную передаточную функцию, как отношение входа к выходу и раскроем скобки в знаменателе: U вых R2 R3C 2 p = 2 U вх R1 R2 R3C1C 2 p + ( R1 R2 C1 + R1 R2 C 2 + R1 R3 C 2 + R2 R3 C 2 ) p + R1 + R2 5. W ( p) = Подставив численные значения, получим: 2000 p . 2 2000 p + 6000 p + 2000 1.2 Задания на самостоятельную подготовку Задача 1.1 Записать уравнения математической модели, определить передаточную функцию для объекта, приведенного на рисунке 1.2, при R1 = R2 = 1 кОм, R3 = 2 кОм, С1 = С 2 = 1 мкФ, L1=1 МГн: а) б) в) г) PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com д) е) ж) з) и) к) PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com Рисунок 1.2. Эквивалентные схемы объекта PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com